福建厦门大学附属科技中学2025-2026学年高二下学期6月期末考前模拟测试数学试题

**基本信息** 本试卷为高二数学期末模拟卷，以“类心脏曲线”“工厂仪器检测”等创新情境设计综合性大题，融合函数、数列、立体几何等核心知识，通过数据分析、逻辑推理考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|函数极值、正态分布、线性回归等|多选题结合二项式定理与函数性质，考查推理能力| |填空题|3题/15分|二项式系数、双曲线离心率、向量概率|向量概率题需抽象集合关系，体现数学眼光| |解答题|5题/77分|数列求和、立体几何面面垂直、概率统计、解析几何|概率统计题含独立性检验与费用期望计算，强化数据观念；解析几何题以“类心脏曲线”为载体，培养创新意识|

厦门大学附属科技中学2025-2026学年下学期期末考前模拟测试 高二数学 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 高二数学备课组命制 高二数学备课组审核 1、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知函数，则 A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于 A. B. C. D. 3. 已知是等差数列，且，则数列前 12 项和 A. B. C. D. 4. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为， 3 4 6 7 20 40 60 那么当时的残差为 A. B. C. D. 5. 甲，乙两人向同一目标各射击 1 次，已知甲命中目标的概率为 0.6，乙命中目标的概率为 0.5，已知目标至少被命中 1 次，则甲命中目标的概率为 A. B. C. D. 6. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为 A. B. C. D. 7. 现有 6 张分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的不同卡片，从中有放回地取 3 次，每次取 1 张，将 3 次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于 3，则抽取卡片的所有不同方法种数为 A. B. C. D. 8. 已知只有 2 个零点，则的取值范围为 A. B. C. D. 2、 选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. 的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C. 被 8 除所得的余数是 1 D. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 存在，使得点为曲线的对称中心 D. 存在，，使得为曲线的对称轴 11. 点是棱长为 2 的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上，且满足时，二面角的最大角的正切值为 2 3、 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 13. 双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为 2，则双曲线的离心率为__________. 14. 集合（为向量），若，定义. 若从集合中任取两个不同的向量，则的概率为__________；若从集合中任取两个不同的向量，记，则__________. 4、 解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13 分）已知数列的前项和为，. (1) 求数列的通项公式； (2) 数列满足，求数列的前项和. 16. （15 分）已知函数，. (1) 讨论函数的极值； (2) 设函数，若在上单调递增，求的取值范围. 17. （15 分）在四棱锥中，平面，，，，. (1) 求证：平面平面； (2) 若点到平面的距离为，求平面与平面所成的角. 18. （17 分）某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为 “可靠” 的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立. (1) 为调查某零件的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了 100 台仪器检测，请根据下述列联表，判断是否有 99% 的把握认为 “仪器可靠” 与 “某零件达优等” 有关？ 仪器可靠 仪器不可靠 合计 零件达优等 40 10 50 零件未达优等 30 20 50 合计 70 30 100 0.10 0.01 0.001 2.706 6.65 10.828 附：； (2) 若，现从某批 100 台仪器中抽取 4 台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差； (3) 为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测。若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废。其余情况，仪器需要回厂返修。拟定每台仪器检测费用为 100 元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费 300 元的维修费。现以此方案实施，且抽检仪器为 100 台，工厂预算 2.3 万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100 台机器所需的总费用是否有可能会超过预算 2.3 万元？说明理由. 19. （17 分）由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为 “类心脏曲线”。在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点。已知半圆和的半径均为 1. (1) 求半椭圆的方程和离心率； (2) 若直线交曲线于，两点，动点在曲线上，求面积的最大值； (3) 分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点，和点，，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $