精品解析：福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高二下期末模拟检测数学试题

2024-2025学年（下）厦门大学附属科技中学期末模拟检测 高二数学试题 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列下标的性质求解. 【详解】等差数列中，，则. 故选：B. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式计算即可. 【详解】由题可得， 故选：A 3. 学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理即可求解. 【详解】学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往， 则每人有4种选法，所以3个好朋友的选法共有种， 故选：B. 4. 小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据： 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） A. 与正相关 B. 经验回归直线经过点 C. 当时，残差为1.8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数据或者求得，可知正相关，从而判定A；利用样本中心点在回归直线上，可以判定B；求出的估计值，进而计算残差，从而判定CD. 【详解】选项A：观察数据，增大时也增大，说明正相关，故A正确； 选项B： 易得，，样本中心点为，回归直线方程经过样本中心点，故B正确； 对于CD：将样本中心点坐标代入回归直线方程得 ，故D正确. 计算预测值，实际值， 残差. 题目中残差为1.8（未考虑符号），故C错误， 故选：C 5. 已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 1 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正态分布的对称性确定的值，再根据二项展开式的特点求常数项. 【详解】因为，所以， 所以. 所以二项式的展开式中，常数项为：. 故选：D 6. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象得到的取值情况，即可得到的单调性，即可得到极值点数. 【详解】由图可知，当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减. 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 故极值点的个数为. 故选：B 7. 点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，由易知，根据线面角的定义可得点坐标满足双曲线方程，进而可得结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，所以，， 故，即，所以点在面（四点均为所在边的中点）， 过点作于点，易知面， 即，所以，即， 化简得：，即点P的轨迹的形状是双曲线， 故选：C. 8. 已知，点是直线和的交点，若存在点使，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与都过定点且，可得交点的轨迹是圆（除去一点），又点满足，求得点在另一个圆上，存在点满足，即两圆有公共点即可，由此得解. 【详解】因为直线过定点，直线过定点，且， 所以直线与的交点的轨迹是以，为直径端点的圆，除去， 所以点的轨迹方程为：， 设其圆心为，半径， 若点满足，设，可得， 化简整理得，，设其圆心为，半径， 由题存在点满足，即圆与圆有公共点即可， 由于点的轨迹为圆除去点， 所以得，即， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项即可. 【详解】由题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得， 则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由于不存在实数，使得，则与不平行，故B错误； 对于C，由，则， 因为平面，所以平面，故C正确； 对于D，由， 则直线与所成角不为，故D错误. 故选：AC． 10. 一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中无放回地依次取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. ，相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式及古典概型公式计算可判断ABD；利用相互独立事件的意义判断C. 【详解】对于A，由题，，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，因为，，，所以不互相独立，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点，过点作准线的垂线，垂足为，直线（为坐标原点）与交于点（异于点），则（ ） A. B. 直线过抛物线的焦点 C. 当为等腰三角形时，或 D. 过点且与抛物线相切的直线平分 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据准线方程可得A正确，利用斜率相等可得B正确，结合等腰三角形的情况可得C错误，求出切线的斜率，根据两条直线斜率的关系得出倾斜角的关系，从而可得D正确. 【详解】因为准线方程为，所以，A正确； 抛物线的焦点为，设，则,直线， 由，可得，，即, 当时，，即，此时直线过抛物线的焦点； 当时，直线的斜率分别为， 则， 所以直线过抛物线的焦点，B正确； 由抛物线定义可知, 当时，则在的中垂线上，则，即， 解得（设）或，此时,C不正确； 设过点的切线方程为， 联立，得， 易知，令，可得； 直线的斜率即为直线的斜率，即. 设直线过点的切线的倾斜角分别为， 则， 而，即， 因为点在第一象限，所以，所以； 因为直线的斜率为0，所以过点且与抛物线相切的直线平分. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为： 13. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用全概率公式计算求解. 【详解】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 14. 已知且，若集合，，且，则实数的取值范围是______. 【答案】或. 【解析】 【分析】先构造函数，再应用导函数得出函数单调性及最值，再应用指对数转化计算求解. 【详解】依题意，，， 令，当时，函数在上单调递增， 而，，则，使得， 当时，，当时，， 此时，因此，， 当时，若，，则恒成立，，满足， 于是当时，，当且仅当，即不等式对成立， ，由得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， ，于是得， 即，变形得，解得， 从而得当时，恒成立，，满足， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我校随机抽取100名学生，对其学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示： 学习积极性 对待班级工作的态度 合计 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 学习积极性高 40 学习积极性一般 30 合计 100 已知随机抽查这100名学生中的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是0.6． （1）请将上表补充完整（不用写计算过程）； （2）依据小概率值的独立性检验，分析学生的学习积极性是否与对待班级工作的态度有关． 【答案】（1）答案见解析 （2）有关 【解析】 【分析】（1）由题意，通过加减，结合列联表，可得答案； （2）根据独立性检验的解题步骤，可得答案. 【小问1详解】 由题意，积极参加班级工作的学生人数为，故列联表如下： 学习积极性 对待班级工作的态度 合计 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 学习积极性高 40 10 50 学习积极性一般 20 30 50 合计 60 40 100 【小问2详解】零假设：学习积极性与对待班级工作态度无关． 由（1）中列联表得． 由小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学习积极性与对待班级工作的态度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 16. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】（1） 的分布列为： ， 的分布列为： ； （2）甲面试通过的可能性大 【解析】 【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可； （2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论. 【小问1详解】 设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； 【小问2详解】 由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，． （1）证明：； （2）若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 由题意知， 因为， 所以，又平面，又平面， 所以，又平面，且， 所以平面，又平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积证得，再利用线面垂直的性质与判定定义即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系得平面的一个法向量，再设，根据垂直关系得值，最后利用体积公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，又平面， 所以，又，所以两两垂直， 如图以A为原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为 则， 不妨令，则所以 设，则， 因为四点共面，则，解得， 即，所以. 18. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点，. （1）求的方程； （2）若. （i）证明：l恒过定点； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程. （2）（i）设直线，与椭圆方程联立，利用向量垂直的坐标表示，结合韦达定理计算推理；（ii）结合（i）的结论求出三角形的面积的函数关系，再求出最大值. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）依题意，直线的斜率存在，设直线， 由，消去得， 则，即， ，而， 由，得，即， 整理得， 则，而， 于是，解得，且满足， 所以直线过定点. （ii）面积 ，令，则， 因此，函数在内单调递增， ，，当且仅当时等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：求解椭圆中三角形面积问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、三角形面积公式等表示出三角形面积，再进行求解即可.有时也需要将三角形分割成小三角形，由小三角形的面积和表示出大三角形面积. 19. 已知数列的前项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 由已知， ， 所以数列为首项，公差的等差数列． （2） （3）不存在，理由如下： 显然数列为递增数列， 若存在正整数，使得成等差数列，不妨设， 则， 即， 因为，所以，显然不成立， 所以数列中不存在不同的三项构成等差数列． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可； （2）首先求得，然后结合分组求和法以及错位相减法即可求解； （3）利用反证法，假设存在导出矛盾即可说明不存在. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），且时，， ，也符合，所以 所以， 所以， 因为， 所以， ，所以， 记数列的前项和为， 则， ， 所以， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（下）厦门大学附属科技中学期末模拟检测 高二数学试题 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 4. 小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据： 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） A. 与正相关 B. 经验回归直线经过点 C. 当时，残差为1.8 D. 5. 已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 1 D. 24 6. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 8. 已知，点是直线和的交点，若存在点使，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 10. 一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中无放回地依次取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. ，相互独立 D. 11. 已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点，过点作准线的垂线，垂足为，直线（为坐标原点）与交于点（异于点），则（ ） A. B. 直线过抛物线的焦点 C. 当为等腰三角形时，或 D. 过点且与抛物线相切的直线平分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______. 13. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 14. 已知且，若集合，，且，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我校随机抽取100名学生，对其学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示： 学习积极性 对待班级工作的态度 合计 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 学习积极性高 40 学习积极性一般 30 合计 100 已知随机抽查这100名学生中的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是0.6． （1）请将上表补充完整（不用写计算过程）； （2）依据小概率值的独立性检验，分析学生的学习积极性是否与对待班级工作的态度有关． 16. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，． （1）证明：； （2）若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点，. （1）求的方程； （2）若. （i）证明：l恒过定点； （ii）求面积的最大值. 19. 已知数列的前项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $