四川宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末模拟数学试卷一

宜宾市一中2024级高二下期期末模拟试卷—数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C A B B A D AC ACD ABD 12． 13．96 14． 15．【详解】（1）设等比数列的公比为，且， ，，由等比性质可知， 因为，所以，， ． 6分 （2）因为，则， 所以， 所以 ． 13分 16．【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面，底面， 所以平面， 因为平面，所以． 又因为是正三角形，是的中点，所以． 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以． 6分 （2）解法1：作，垂足为，连接． 因为平面平面，平面平面，且平面，， 则平面． 所以为在平面上的射影，为直线与平面所成的角． 因为平面，平面，所以． 因为，，所以， 因为，所以． 在中，． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15分 解法2：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．已知底面边长为，是正三角形， 所以，，，，则， 因为是的中点，故，所以，， 设平面的法向量为， 所以，即，令， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15分 17．【详解】（1）因为甲每道题答对的概率均为，则， 所以，． 6分 （2）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则，， ，， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为． 15分 18．【详解】（1）依题意可知，解得，， 所以椭圆的标准方程为． 4分 （2）（i）设，，，依题意，得， ，，， 所以，即得直线的方程为：①． 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上， 所以令代入①，可得， 由（）得， 所以得， 所以直线恒过定点 12分 （ii）由（i）可知直线恒过定点， 所以， 将（*）代入得， 设，则． 因为，所以， 所以． 17分 19．【详解】（1）当时，，， 当时，，所以在上单调递增， 所以，． 4分 （2）（i）由题知， 则，， 当时，，方程只有唯一解1，显然不合题意； 当时，由，可得，或， 令，，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以在处取得最大值，此时， 又当时，，当时，， 要使在定义域内有三个不同的极值点，，， 需使的图象与直线有两个不同的交点，即得， 所以实数的取值范围是． 10分 （ii）不妨设，则，所以，即，， 所以，， 所以 ， 令，，则， 易知在上单调递增， 所以，又， 所以，即在上单调递增， 因为，则当时，恒有， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市一中2024级高二下期期末模拟试卷一 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．已知函数，那么等于（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 3．为了解性别与体育锻炼是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值的独立性检验，附： ，，下列结论正确的是（ ） 锻炼 合计 不经常 经常 女生 15 5 20 男生 10 20 30 合计 25 25 50 A．性别与体育锻炼有关 B．性别与体育锻炼有关，此推断犯错误的概率不超过0.001 C．性别与体育锻炼无关 D．性别与体育锻炼无关，此推断犯错误的概率不超过0.001 4．为调查某企业年利润（单位：万元）和它的年研究费用（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据，如表所示： 1 2 3 4 5 50 60 70 80 100 由上表中数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则的系数为（ ） A． B． C． D． 6．有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．已知函数，若且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，．则下列说法正确的是（ ） A．在处取得最小值 B．对任意，都有 C．对任意，函数关于单调递增 D．方程有且仅有一个实根 11．将函数的所有极值点按照从小到大的顺序排列，得到数列，则对于任意的正整数，有（ ） A． B．是极小值点 C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．若随机变量且，则________________． 13．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙只能跑第2，3棒．那么合适的选择方法种数为________________． 14．若恒成立，则实数的取值范围为________________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知公比不为1的等比数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． （1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求和． （2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 18．（17分）已知椭圆的右焦点，短轴长为2． （1）求椭圆的方程； （2）记为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （i）求证：直线恒过定点； （ii）求面积的取值范围． 19．（17分）已知函数，． （1）当时，求在区间上的最大值与最小值； （2）若函数有三个不同的极值点，，． （i）求实数的取值范围； （ii）若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $