浙江宁波市镇海中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

**基本信息** 镇海中学高二数学期末卷以复数、立体几何、统计等知识为载体，通过膳食指南肥胖率数据、几何体折叠等情境，实现基础概念与综合应用的梯度考查，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、向量关系、斜二测画法|基础辨析，如向量充要条件判断| |多选|3/18|函数性质、平行六面体|多维考查，如函数奇偶性与不等式恒成立| |填空|3/15|三角函数周期、不等式最值|抽象思维，如分段函数根的个数问题| |解答|5/77|数列求和、统计分析（膳食指南）、立体几何折叠、函数综合|情境化与综合应用，如统计题结合肥胖率数据，立体几何折叠考查空间观念|

镇海中学2025学年第二学期期末考试 高二数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则 A． B． C． D．1 2．若为非零向量，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，梯形是用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到的直观图，，且梯形的面积为3，则原图形的面积为 A．3 B． C．6 D． 4．设等比数列的前项和为，若，，则 A．75 B．150 C．180 D．210 5．连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件为“第一次的点数是1”，事件为“两次的点数之积为偶数”，事件为“两次的点数之和为偶数”，则 A．与互斥 B．与相互独立 C． D．与相互独立 6．如图，已知四面体中，平面，，，，点为线段中点，则四面体外接球球心到平面距离为 A． B． C． D． 7．已知的内角的对边分别为，满足，则的最大值为 A． B． C． D． 8．在平面中，，，，则的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知函数，则 A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 10．在平行六面体中，，，为的中点，则 A．当时，异面直线与所成角的余弦值为 B．当时， C．当时，四边形的面积为 D．无论为何值时，过三点的平面将平行六面体分成两个几何体的体积之比（体积较小部分：体积较大部分）都为7：17 11．已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是 A． B．为奇函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的相邻的两个对称中心之间的距离是，则满足条件的的值为_____． 13．已知正实数满足，则的最大值是_____． 14．已知函数，若关于的方程有且仅有5个不同的实根，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的前项和为； （2）记，数列的前项和为，求，并证明． 16．（15分）《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）根据频率分布直方图求； （2）根据调查的数据，估计该地中学生体重的众数和上四分位数； （3）根据调查，样本数据落在区间的平均数是57，方差是2，落在区间的平均数是63，方差是5，据此求样本数据落在区间的总平均值和方差． 17．（15分）已知函数． （1）求在上的单调递减区间； （2）设分别是锐角内角的对边，且满足，．若的面积是，周长是，求的取值范围． 18．（17分）如图，在平行四边形中，，，，分别是的中点，将平行四边形沿折至的位置，连接，得到斜三棱柱． （1）若为中点，证明：直线平面； （2）当时， ①求二面角的大小； ②在三棱柱中有内切球与各个侧面和底面都相切，球与侧面，侧面以及上底面都相切，且与球外切，求球的表面积． 19．（17分）已知函数． （1）若的解集为，求的解集； （2）当，，时，是否存在，使得函数定义域和值域均为，若存在，求出，的值，不存在请说明理由； （3）记，当时，对任意的，，都存在使得关于的不等式有解，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2025学年第二学期期末考试 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C D C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 题号 9 10 11 答案 BCD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．3 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）由已知解得：， 所以，， 当时，，； 当时，， ． 综上：． （2）， ， 又得证． 16．【解析】 （1），解得； （2）众数估计：52.5；上四分位数估计：58.75 （3）总平均值；方差． 17．【解析】 （1）由已知， 令，解得：， 所以单调递减区间是． （2）由锐角，，得，，， 又，即，所以， 则， ， 因为锐角，，所以，，所以． 18．【解析】（1）法一：取中点， 因为且，所以平行四边形，所以，所以平面， 因为且，所以平行四边形， 所以，所以平面， 又因为，所以平面平面，所以平面． 法二：连交于点， 因为且，所以平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面且平面，所以平面． （2）法一：连，取中点， 因为，所以且， 因为且，所以为二面角的平面角， 所以，所以． 法二：因为，所以， 取中点，以为轴正方向，以为轴正方向，轴满足右手系，建立空间直角坐标系． 故． 设点满足，解方程得． 因为，所以， 平面的法向量，平面的法向量，（一进一出）， 所以，所以二面角为． 法三：因为，所以， 三面角余弦定理， 所以，所以二面角为． （3）法一：因为且，所以为球的过球心的外接，所以． 又因为为中点，所以，所以． 法二：因为，所以点在平面中，所以， 因为，，， 所以，，所以． 在中， ； ； …… ； ； 作差得， 因为，所以． 19．【解析】 （1） （2）情况一：； 由题意得且，解得； 情况二：； 因为，所以，又因为，所以，所以； 情况三：； 由题意得且；舍． （3）因为不等式有解，所以． 因为对任意的，都存在使得，所以． 因为在当中，二次项系数1决定函数形状，一次项系数与常数项对函数只产生平移作用，所以当对称轴为，且时取到等号； 解得，故． 学科网（北京）股份有限公司 $