精品解析：浙江宁波市镇海中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷

镇海中学2025-2026学年学年第一学期期末考试高二数学试卷 镇海中学2025学年第一学期期末考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，求（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】因为函数，所以， 根据导数的定义可得：. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. 35 B. 70 C. 210 D. 420 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项公式，求出，即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 故，， 故. 故选：B. 3. 的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数性质利用排除法得到选项 【详解】因为函数的定义域为，时，B错误； ，定义域为，当时，，C错误； ，定义域，当时，，D错误； 验证A选项：，定义域，当时，函数递增速度远小于函数，， 当时，，符合图像特征，A正确； 故选：A 4. 小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用“正难则反”策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己名同学相约体育馆一起坐一排看村BA篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有（ ）种 A. 144 B. 192 C. 216 D. 288 【答案】A 【解析】 【分析】利用捆绑法处理甲乙，根据“特殊元素优先考虑”原则先安排丙，利用排列组合与计数原理即可得解. 【详解】把甲乙捆绑在一起处理共有种方法，此时相当于有个元素， 丙不坐在两端则丙有种选法， 然后对剩下的三名同学和甲乙一起进行全排列即可，共有种方法. 不同的排列方式共有种. 故选：A 6. 已知函数，则的极值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求极值. 【详解】函数， 则 ， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值. 故选： 7. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（ ） A. 450 B. 540 C. 630 D. 900 【答案】B 【解析】 【分析】先将6人分成3组，即分为；或，再把三组分配到3个不同项目. 【详解】先将6人分成3组，即分为；或， 共有种分组方法， 再把三组分配到3个不同项目， 则有种不同的报名方法. 故选：B 8. 已知函数，方程的两个不相等的根为．若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性可知，方程的两个不等根满足，从而得到，结合条件可解得的取值范围为，由于在区间上单调递减，将的端点值代入函数即可得到的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 且满足 故是方程的根，则也是根，故，设 由，得 已知 设，在上单调递减， 解方程得，解得， 因此 又，，时，， 故在区间上，单调递减， ， ， 又在上单调递减， 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件与相互独立 B. 两个变量X、Y的相关系数为，若越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱 C 线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 D. 经验回归直线可能不经过样本点，但一定会经过样本点的中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用条件概率公式可得，再根据事件相互独立的定义即可判断；对于B，由相关系数的概念即可判断；对于C，由决定系数的概念即可判断；对于D，由经验回归直线方程的性质可判断. 【详解】对于A：由，可得， 故事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，故A正确； 对于B：两个变量X、Y的相关系数为，若越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱，故B错误； 对于C：越趋近于1，说明模型对数据的解释能力越强，拟合效果越好，故C正确； 对于D：经验回归直线恒过样本中心点，但不一定经过样本点，故D正确. 故选：ACD. 10. 镇海中学在新一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式和条件概率公式，以及概率的加法公式求解即可. 【详解】事件表示第一位出场和第二位出场的都是男教师，，A错误； 表示第一位出场是男教师的情况下，剩余男女，第二位出场是男教师的概率为， 故，B正确； ，有两种情况， 第一种：第一位出场的男教师，且第二位出场的是男教师，概率为， 第二种：第一位出场的女教师，第二位出场的是男教师，概率为， 故，，C选项正确； ，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知，其中为的导函数，则下列正确的是（ ） A. 时，则对，均有 B. C. 当时，则为单调函数的充要条件是 D. 当且有唯一零点时，有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数的单调性、利用导数判断函数的零点等逐项计算判断. 【详解】对于A，当时，， 所以求导得，令. 求导得，因为，所以根据均值不等式可得， 所以，所以在上单调递增，所以， 即，所以A正确； 对于B，由A知，令，得 . 化简左边. 对求和得 而. 所以， 即，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以. 求导得，要使得为单调函数，那么恒正或恒负， 若，则，要使得恒成立，需，解得； 若，则，，，此时导数恒负， 所以为单调函数的充要条件是或，C错误； 对于D，因为，所以，所以. 因为，要使得函数有唯一零点，则是单调函数或者的最小值为0， 若是单调函数由C可知，或，因为，所以，所以； 又当与互为倒数，即,可得时，，所以的最小值为0， 综上，有最小值，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知随机变量，且，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可得解. 【详解】由题意有正态分布曲线的对称轴是， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知有三个零点，则的范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为方程有三个实根，设函数，利用导数研究函数性质，结合图象得解. 【详解】函数有三个零点， 等价于关于x的方程有三个实根．显然， ∴方程有三个实根． 设函数， 则． 当和时，，在和为减函数； 当时，，在为增函数； ∴在时取极小值3， 当时，， 当时，，当时，， 如图， 所以的范围是. 故答案为： 14. 一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，取球次数为可能为，，7，计算出不同取值下的概率，即可得出随机变量的期望值. 【详解】， ， ， . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．（第15题13分，16到17题每题15分，18到19题每题17分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂有两台机床生产同种产品，产品按质量分为特优级产品和优级产品，为比较两台机床生产的产品质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300件产品，产品的质量统计如下表： 特优级品 优级品 合计 一号机床 225 75 300 二号机床 180 120 300 合计 405 195 600 （1）能否有的把握认为两台机床的产品质量有差异？ （2）现考虑让一号机床生产4件产品，若用上述样本中的频率作为概率进行估计，用表示这4件产品中的特优级品数量，求的期望与方差． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异 （2）期望为3，方差为0.75 【解析】 【分析】（1）通过卡方独立性检验判断两台产品质量是否有差异 （2）根据期望与方差公式求值 【小问1详解】 零假设为：两台机床的产品质量没差异， 根据列联表数据，计算卡方统计量： ，其中，（一号机床特优级品），（一号机床优级品），（二号机床特优级品），（二号机床优级品），（总样本量）， 代入得，， 99.9%的把握的临界值为（对应）， 由于， 故有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异 【小问2详解】 一号机床生产特优级产品的频率为，故 期望： 方差： 16. 在二项式的展开式中，所有项的系数之和为． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中所有项的系数绝对值的和； （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项式的展开式的通项公式可得答案； （2）将二项式中负号改为正号后，再令  可得答案； （3）利用数列最大项的求法列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 所有项的系数之和可以通过令  来得到： ， 根据题意：， 解得：. 二项式的展开式通项公式为 令指数 ，解得 ， 常数项系数为 所以展开式中的常数项为 . 【小问2详解】 对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，其绝对值为 ， 所有项的系数绝对值的和为： 构造二项式 ，其展开式为： 代入 ，得： ， 因此，. 所以展开式中所有项的系数绝对值的和为 . 【小问3详解】 对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，由于负系数小于正系数，系数最大的项必为正系数， 因此只需考虑偶数 ，记 （ 为偶数）， 设展开式中系数最大的项的系数为（ 为偶数）， 则，即， 化简得：， 整理得：， 又因为 为偶数， 所以只有满足上式， 所以 最大值出现在  处。计算： 对应项为： 17. 在汽车生产过程中，合金钢的性能直接影响车身结构的安全性和耐久性．其中，碳含量是影响合金钢屈服强度的关键因素之一．为研究二者之间的关系，某实验室制备了9组不同碳含量的合金钢样本，并测量了对应的屈服强度（MPa），数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 碳含量 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 屈服强度 481 512 532 573 604 635 656 687 719 （1）求合金钢屈服强度关于碳含量的回归方程，并预测碳含量为（即）时的合金钢屈服强度； （2）为了综合评估材料性能，需要同时考虑强度收益、脆性损失和冶炼成本2x，为此工程师定义了一个综合性能指标．为便于运算，屈服强度用近似计算（其中为（1）问中计算所得数据，［］表示不小于的最小整数），请根据上述优化模型计算最大的综合性能指标值． 附：参考数据： 参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1），碳含量为时的合金钢屈服强度为(MPa) （2）最大综合性能指标值约为 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法计算回归系数和，得到线性回归方程，再代入预测屈服强度. （2）将回归系数代入取整近似公式得到近似表达式，代入后求导，结合区间的端点与驻点，计算函数最大值. 【小问1详解】 由题意可得，，， 由参考公式可得，， ， 所以回归方程为， 当时，. 小问2详解】 由（1）可得，，，所以近似公式中的系数为： ，，， 所以屈服强度近似为：， 又综合性能指标为：， 所以，， 所以，， 令，则，化简可得，， 即，解得或（舍去）， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，在时，取得最大值，最大值为， 所以最大综合性能指标值约为. 18. 镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： （1）求甲第2天选择羽毛球的概率； （2）已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率； （3）求甲第天选择羽毛球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可； （2）利用贝叶斯公式计算求解即可； （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，对所有均成立，从而选择篮球的概率为，进而由全概率公式可得，，计算可求得. 【小问1详解】 设第1天选择羽毛球，乒乓球和篮球的事件分别为， 第二天选择羽毛球的事件为， 由题意，， ， 根据全概率公式得 ； 【小问2详解】 根据贝叶斯公式，所求概率为：； 【小问3详解】 设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由题意无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为， 故对所有均成立，从而选择篮球的概率为， 根据全概率公式，的递推关系为， 代入，，化简得，， 所以， 所以是以为首项，公比的等比数列， 所以，所以. 所以甲第天选择羽毛球的概率为． 19. 已知对，定义的余切值为，函数在处的切线为直线． （1）求切线的方程； （2）证明：对始终在切线下方； （3）证明：至少存在3个整数，使得恒成立． （参考：） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】1.利用导数求切线斜率，用点斜式求切线方程即可.2.构造差函数法，验证端点趋势，研究函数在区间内的单调性，两者结合即可.3.转化为最值问题即可. 【小问1详解】 函数，导数. 在处，，且， 故切线方程为：. 【小问2详解】 构造差函数， 求导得在上恒成立，函数在单调递减， 故，有，故， 即对，始终在切线的下方. 【小问3详解】 令，， 且， ，显然； ，有，故， 为使恒成立，只需； 故只需要研究： 若，则，显然， 有， 对于，先证明引理：， 令，，所以在上递增， 故，引理得证，则. 令，， 故在上递减，故，故， 故时，在成立，故符合题意. 若时，有，故， 右边式子即情形，对于的情形，前文已证其值恒大于，故也符合. 综上：符合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2025-2026学年学年第一学期期末考试高二数学试卷 镇海中学2025学年第一学期期末考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，求（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 35 B. 70 C. 210 D. 420 3. 图象如图所示，则的解析式可能是（ ）． A. B. C. D. 4. 小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己名同学相约体育馆一起坐一排看村BA篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有（ ）种 A. 144 B. 192 C. 216 D. 288 6. 已知函数，则的极值为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（ ） A. 450 B. 540 C. 630 D. 900 8. 已知函数，方程的两个不相等的根为．若，则的取值范围是（） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件与相互独立 B. 两个变量X、Y的相关系数为，若越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱 C. 线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 D. 经验回归直线可能不经过样本点，但一定会经过样本点的中心 10. 镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，其中为的导函数，则下列正确的是（ ） A. 时，则对，均有 B. C. 当时，则为单调函数的充要条件是 D. 当且有唯一零点时，有最小值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知随机变量，且，则_________________． 13. 已知有三个零点，则的范围是________________． 14. 一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．（第15题13分，16到17题每题15分，18到19题每题17分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂有两台机床生产同种产品，产品按质量分为特优级产品和优级产品，为比较两台机床生产的产品质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300件产品，产品的质量统计如下表： 特优级品 优级品 合计 一号机床 225 75 300 二号机床 180 120 300 合计 405 195 600 （1）能否有把握认为两台机床的产品质量有差异？ （2）现考虑让一号机床生产4件产品，若用上述样本中的频率作为概率进行估计，用表示这4件产品中的特优级品数量，求的期望与方差． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10828 16. 在二项式的展开式中，所有项的系数之和为． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中所有项的系数绝对值的和； （3）求展开式中系数最大的项． 17. 在汽车生产过程中，合金钢的性能直接影响车身结构的安全性和耐久性．其中，碳含量是影响合金钢屈服强度的关键因素之一．为研究二者之间的关系，某实验室制备了9组不同碳含量的合金钢样本，并测量了对应的屈服强度（MPa），数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 碳含量 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 屈服强度 481 512 532 573 604 635 656 687 719 （1）求合金钢屈服强度关于碳含量的回归方程，并预测碳含量为（即）时的合金钢屈服强度； （2）为了综合评估材料性能，需要同时考虑强度收益、脆性损失和冶炼成本2x，为此工程师定义了一个综合性能指标．为便于运算，屈服强度用近似计算（其中为（1）问中计算所得数据，［］表示不小于的最小整数），请根据上述优化模型计算最大的综合性能指标值． 附：参考数据： 参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 18. 镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： （1）求甲第2天选择羽毛球的概率； （2）已知甲第2天选择羽毛球条件下甲第1天选择篮球的概率； （3）求甲第天选择羽毛球的概率． 19. 已知对，定义的余切值为，函数在处的切线为直线． （1）求切线的方程； （2）证明：对始终在切线下方； （3）证明：至少存在3个整数，使得恒成立． （参考：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $