浙江宁波市九校2025-2026学年高二下学期期末联考数学试题

绝密★考试结束前 宁波市2025学年第二学期期末九校联考 高二数学试题 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知A、B为两个随机事件，则“A、B为互斥事件”是“A、B为对立事件”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 2．已知集合，则U的所有子集中的元素之和为 A．6 B．12 C．18 D．24 3．下列说法中正确的是 A．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 B．若随机变量X服从正态分布，且，则 C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 4．已知，则实数 A． B． C． D． 5．已知（），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为 A． B． C． D． 6．在中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，已知，，，则的面积为 A． B． C． D． 7．现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色、绿色和蓝色．同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为X，绿色骰子掷出的点数为Y，下列结论中正确的是 A． B． C． D． 8．已知三棱锥中，为正三角形，，且P在底面内的射影在的内部（不包括边界），二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，则 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，满足，，，则下列说法正确的是 A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 10．在四棱锥中底面为菱形，，，，，则下列说法正确的是 A．异面直线与所成角的正切值为2 B．异面直线与垂直 C．直线与平面所成角为 D．四棱锥的棱上恰有3个异于A的点（，2，3），使得直线与直线所成角均为 11．已知函数的定义域为，且．当时，设k为大于1的正整数，则下列四个结论中正确的是 A．存在，使得且 B．方程的解的个数为k C．若为方程的解，则k的最小值为4 D．对任意有理数，存在k，使得 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知i是虚数单位，则 ▲ ． 13．在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则 ▲ ． 14．平面中的3个单位向量，，满足（其中表示不超过实数x的最大整数），则的取值范围是 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在范围的人数，求X的分布列； （2）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在范围的人数，求Y的分布列． 16．已知函数，且定义域为． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递减； （3）求不等式的解集． 17．在长方体中，，，E为棱上一动点． （1）求证：； （2）当平面时，求线段的长度； （3）在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值． 18．设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求角A的大小； （2）若边上中线的长度为，求面积的最大值； （3）若点O为所在平面内一点，且满足，求的取值范围． 19．一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为，死亡的概率也为，分裂生成的新细菌亦如此，当细菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化．记第n（）分钟后，该实验室拥有此种细菌数为． （1）求的概率； （2）已知，求的概率； （3）求的数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $宁波市2025学年第二学期期末九校联考高二数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 题目 1 2 4 6 8 答案 B D A C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题目 9 10 11 答案 ACD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.53.214.U(5,2+ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解： (1)由频率分布直方图可得(0.016+0.024+a+0.020+0.010)×10=1 解得a=0.03 3分 因为评分在(80,90]的频率为0.02×10=0.2，抽取的人数为50x0.2=10, 评分在[90,10]的频率为0.01×10=0.1，抽取的人数为50×0.1=5， 所以X的可能取值为0,1,2， x=0是-x=答-品x=%员 所以X的分布列为 X 0 1 2 10 ò 3 2 21 21 8分 (2)因为评分在[80,100]的频率为0.2+0.1=0.3，用领率估计概率. 则全校学生评分在[80,10]的频率为0.3， 所以Y的可能取值为0,1,2，且YB(2,0.3) 所以P(V=0)=Cgx0.7=0.49,P(Y=)=Cgx0.3x0.7=0,42,P(Y=2)=Cx0.32=0.09,所 以Y的分布列为 P 0 P 0.49 0.42 0.09 13分 16.解： (1)f(x)的定义域为(1，)， 关于原点对称， i-f网 ,所以了()为奇函数 4分 (2)x∈(-l,1),且<5， e京京产 =(-)+(s-x)_(G5+s-x) (x2-(x号-1)(x2-1(x号-1) 因为-x>0,x3+1>0,x-1<0,号-1<0 所以f(G)-f(:)>0,即f()>f(), 所以f(x)在（1,1)上单调递减 9分 g)因为/✉为奇西数.且-血m+f-(仙m）<0 故了-nm)f血m-.又f)在-)上年调造藏， -1<1-lnm<1 -1<(nm)2-1<1 所以1-hm>(hm-1,解得0<1hm<1,即l<m<e, 所以不等式的解集为(1，) 15分 17.解： (I)因为长方体ABCD-ABCD,且AB=BC, 所以CC1平面AB,CD,且BD⊥AC, 因为BDC平面ABCD,所以CC⊥BD, 因为4GC平面4CC,CCc平面4C,C, 且4G∩CC=C,所以B,DL平面4CC, 因为ACC平面4CC,所以B,D,1AC 4分 (2)以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,,z轴建立空间直角坐标系. 则4(2,0,0)，B(2,2,0),C(0,2,0）.A(2,03).C(0,2,3) 设4E=t(0≤1≤2)，则E(2,10), BC1=(-2,0,3).4C=(-2,2,-3).AE=(0,4-3) 设平面4CE的法向量为刀=（化，少2），则： i·AC=-2x+2y-3z=0 n·AE=y-3z=0 令2=21，解得y=6,x=6-31,故元=(6-3t,6,21) 因为BC∥平面ACE,所以BC·i=0 即-2(6-3)+0+3(2)=0，解得1=1. 所以线段AE的长度为19分 (3)由1)知1=1，E(2,10),4(20,3),平面4CE的法向量i=(6,6,2), 底面正方形ABCD的内切圆圆心为O(11,0）,半径r=1. 设内切圆上的点P坐标为：P(1+cos8,1+sin8,0）0e[0,2m), 则4P=(-1+cos6,1+sin6,-3) 所以4P.i=(-1+cos0)x3+(1+sin0)x6+(-3)×2=3cos0+6sim0-3 -4D.列_3cos8+6sin0-3到_35sn(e+0)-3 点P到平面ACE距离 V32+62+22 V32+62+22 设f(0)=3cos6+6sin6-3.0∈[0,2π) =35(sinocos0+cososin0)-3 =35smer小-3.4mp 5 cs-25 当si血(o+0)=-一时，/(O八取最大值，为35+3， 所以点P到平面ACE距离的最大值为 =35+3_35+1) 7 7 15分 D 18.解： (1)由正弦定理 sin AcosC+sin C=sin B acosC+1 ，得 因为sinB=sin(4+C)=-sin cosC+cosAsinC sin 4cosC+C=sin AcosC+cos 4sin C 所以 1 sin C=cos Asin C 即2 又C∈(0，π)，所以sinC>0,所以cos4 2 ,A=π 而A∈(0，)，所以4=3.4分 y B D (2)因为D是BC中点，所以 而-(a6+ac) 所以 D=4(B+4c=B+Ac+26.4C 6-e+42cs2B4C.m5+c+=24 又24=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,当且仅当b=c=2V2时等号成立， 所以bc≤8， w-如ds2w6 所以 即△ABC面积的最大值为25.9分 (3因为(O1+0B)小AB=(OB+0C)BC=0 所(O1+0)(oB-01=(O6+0C)oc-0B)=0 所以o-o,Oi2=0c,即lD-o丽-0d 所以O为△ABC的外心，所以 2B0C=2ZBAC元，∠40C=22ABC <∠ABC<T 由锐角三角形可知6 2,则os∠40C∈[0,1). 137 所以 n'∠B0C-cos2∠A0Ce44 17分 19.解： (1)定义状态概率：记a,=P(X,=0）,b=P(X。=2）,c=P(X。=4),nN an+=an+ 由细菌分裂规则，得递推关系： 4 1b=2 1 4= 初始条件：2 2,G=0 1,1 依次计算状态概率： 2=4,9=4 b2 -1k1P(X2=4)=c2=。 =8,因此 4分 ,1,1,15 1,5,111 （2》依次计算零状态概率.4=a+4-288.4=4+4色-8+1616， 4 1,11,123 a,=4+4=16十3232.由条件概率公式， Px,=0x=0)=70n=0P（X,=0-2=s=20 P(X,=0)a42323 32 9分 (3)由数学期望定义，E(X,)=26,+4c, 代入递推关系推导： E(X)=20+4c=2+4c,+=26+4c=E(X)】 即{E(X.}为常数列. 0X)-24=2×1.8(X)-1.分