暑假培优：四边形中的线段最值问题培优讲义-2025-2026学年人教版八年级数学下册

暑假培优：四边形中的线段最值问题培优讲义 暑假培优：四边形中的线段最值问题培优讲义 知识点解析 一、核心基础知识点（四大模型全覆盖） 1. 基础定理（所有最值的理论依据） （1）两点之间，线段最短：折线段＞直线段，将军饮马核心； （2）垂线段最短：定点到定直线，垂线长度最小； （3）三角形三边关系 两边之和＞第三边，两边之差＜第三边； 固定两定点，动点： （共线时差最大），（共线时和最小）； 2. 四边形专属常用性质 （1）平行四边形：对边相等、对角线互相平分； （2）矩形：对角线相等且平分，直角； （3）菱形：四边相等、对角线垂直平分； （4）正方形：兼具矩形、菱形所有性质，对称极强； （5）直角梯形、等腰梯形：底边平行，等腰梯形两腰相等、对角线相等。 3. 四大必考几何模型（四边形最值全部依托这四类） 模型1：将军饮马（轴对称转化折线段和最小） 特征：两定点，一条定直线，动点在直线上，求最小。 操作：作其中一点关于直线对称，对称点与另一点连线长度即为最小值。 模型2：垂线段最短（单动点在直线/边上） 定点，动点在四边形某条边上运动，求线段最小长度，直接作垂线。 模型3：三角形三边差最大（最大值） 两定点，动点在定直线上，延长连线交直线，交点处差值最大。 二、分题型解题原理 题型1：折线段和最小值（将军饮马，四边形高频） 1. 观察动点在哪条边/对角线上（定直线）； 1. 利用四边形对称性（正方形、菱形对称轴多）作对称点； 1. 连接对称点与另一个定点，线段与动点所在边交点为取最值位置； 1. 用勾股定理计算线段长度。 题型2：单条线段最小（定点，在四边形边上动） 1. 定点向动点所在直线作垂线段； 1. 判断垂足是否落在四边形的边（线段）上： · 垂足在线段内：垂线段长就是最小值； · 垂足在线段延长线上：最小值取线段靠近垂足的端点。 题型3：两条线段差的最大值 1. 连接两定点并延长，交动点所在直线于； 1. 此时，达到最大值； 1. 依据：三角形两边之差小于第三边，共线时取等。 题型4：四边形内动线段（中点类最值） 1. 中位线模型：线段为三角形中位线，最值转化为第三边的最值； 1. 直角三角形斜边中线=斜边一半，斜边最长最短直接决定中线最值。 三、标准通用解题步骤 1. 定点动点区分：找出固定不变的点、运动的点、动点运动的边界（四边形的边/对角线）； 1. 匹配最值模型： 求和最小→将军饮马； 求单线段最小→垂线段最短； 求差最大→三边差模型； 1. 几何变换（对称/找圆/中位线），把动线段转化为固定可求线段； 1. 锁定取最值时动点位置，利用勾股、相似、特殊三角形计算长度。 四、高频易错点 1. 将军饮马忘记对称，直接连两点，结果错误； 1. 求垂线段最小值，不判断垂足是否在线段上，直接用垂线长； 1. 混淆“和最小”与“差最大”的取点位置； 1. 忽略四边形边界限制，动点不能跑到边的延长线上。 例题分析 例1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． (1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． (2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． (4)结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 例2．（25-26八年级下·陕西安康·期中）【问题探究】 (1)如图①，P，Q是正方形的对角线上的点，且，连接，，若，则的长为______； (2)如图②，在梯形中，，E为边上一点，且，，P，Q是对角线上的两个动点，且，连接，，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，某地计划在一片空地上修建一个森林生态公园平行四边形，并沿其对角线修建一条景观水渠，其中，，．现计划在水渠上找两个点P，Q，且，沿修建健身步道，沿修建塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元/，修建塑胶跑道的费用是40万元/．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 例3．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，并且实数a、b满足，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形．点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)求点C的坐标； (2)如图1，当点D落在线段上时，求点H的坐标； (3)如图2，点K是的三等分点（靠近点B处），点T、点M是线段上的动点，且，求出的最小值． 例4．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）问题提出 (1)如图①，在中，D，E分别是边，的中点，若，则的长为________； 问题探究 (2)如图②，在菱形中，连接，P，Q分别是，边上的动点，连接，M，N分别是，的中点，若，，求的最小值； 问题解决 (3)如图③，莫莫家有一块边长为600 m的正方形菜地，爸爸计划对其进行改造，P为菜地内一动点，且，E为的中点，F，G分别为，边上的动点，在改造的过程中始终要满足，Q为的中点，他计划在区域内种植茄子，在区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿，修建灌溉水渠，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 变式训练 变式1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 变式2．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形中，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，． (1)若，求证点恰好落在正方形的对角线上； (2)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，记交于点，过作交于点，四边形是平行四边形，点在上，，且．求的最小值． 变式3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，四边形中，，，，，点和点分别在边和边上，连接，，．    (1)求的长； (2)若平分，求的度数； (3)若四边形的面积为10，求的最小值． 变式4．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中，是上一点，过点作的垂线，交、于点、，连接、、． (1)求证：； (2)若，在边上且满足，求的长度． (3)若，求的最小值． 实战演练 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：四边形中的线段最值问题培优讲义 暑假培优：四边形中的线段最值问题培优讲义 知识点解析 一、核心基础知识点（四大模型全覆盖） 1. 基础定理（所有最值的理论依据） （1）两点之间，线段最短：折线段＞直线段，将军饮马核心； （2）垂线段最短：定点到定直线，垂线长度最小； （3）三角形三边关系 两边之和＞第三边，两边之差＜第三边； 固定两定点，动点： （共线时差最大），（共线时和最小）； 2. 四边形专属常用性质 （1）平行四边形：对边相等、对角线互相平分； （2）矩形：对角线相等且平分，直角； （3）菱形：四边相等、对角线垂直平分； （4）正方形：兼具矩形、菱形所有性质，对称极强； （5）直角梯形、等腰梯形：底边平行，等腰梯形两腰相等、对角线相等。 3. 四大必考几何模型（四边形最值全部依托这四类） 模型1：将军饮马（轴对称转化折线段和最小） 特征：两定点，一条定直线，动点在直线上，求最小。 操作：作其中一点关于直线对称，对称点与另一点连线长度即为最小值。 模型2：垂线段最短（单动点在直线/边上） 定点，动点在四边形某条边上运动，求线段最小长度，直接作垂线。 模型3：三角形三边差最大（最大值） 两定点，动点在定直线上，延长连线交直线，交点处差值最大。 二、分题型解题原理 题型1：折线段和最小值（将军饮马，四边形高频） 1. 观察动点在哪条边/对角线上（定直线）； 1. 利用四边形对称性（正方形、菱形对称轴多）作对称点； 1. 连接对称点与另一个定点，线段与动点所在边交点为取最值位置； 1. 用勾股定理计算线段长度。 题型2：单条线段最小（定点，在四边形边上动） 1. 定点向动点所在直线作垂线段； 1. 判断垂足是否落在四边形的边（线段）上： · 垂足在线段内：垂线段长就是最小值； · 垂足在线段延长线上：最小值取线段靠近垂足的端点。 题型3：两条线段差的最大值 1. 连接两定点并延长，交动点所在直线于； 1. 此时，达到最大值； 1. 依据：三角形两边之差小于第三边，共线时取等。 题型4：四边形内动线段（中点类最值） 1. 中位线模型：线段为三角形中位线，最值转化为第三边的最值； 1. 直角三角形斜边中线=斜边一半，斜边最长最短直接决定中线最值。 三、标准通用解题步骤 1. 定点动点区分：找出固定不变的点、运动的点、动点运动的边界（四边形的边/对角线）； 1. 匹配最值模型： 求和最小→将军饮马； 求单线段最小→垂线段最短； 求差最大→三边差模型； 1. 几何变换（对称/找圆/中位线），把动线段转化为固定可求线段； 1. 锁定取最值时动点位置，利用勾股、相似、特殊三角形计算长度。 四、高频易错点 1. 将军饮马忘记对称，直接连两点，结果错误； 1. 求垂线段最小值，不判断垂足是否在线段上，直接用垂线长； 1. 混淆“和最小”与“差最大”的取点位置； 1. 忽略四边形边界限制，动点不能跑到边的延长线上。 例题分析 例1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． (1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． (2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． (4)结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)成立，理由如下： 在上取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，． ， ，是等腰直角三角形， ， ． 是的外角平分线， ， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ； (3) (4) 【分析】（1）通过构造中点，连接辅助线，利用正方形性质、等腰直角三角形性质以及角的关系，找到全等三角形的判定条件，使用角边角的证明方法，证明从而猜想并证明； （2）沿用（1）中构造全等三角形的方法，利用正方形基本性质和角的关系，使用角边角的证明方法，证明，证明无论在上什么位置，都成立； （3）将绕点逆时针旋转得到，借助图形变换的思想，把分散的线段通过变换集中到一起，再利用几何图形的各种性质来探究它们之间的数量关系，通过延长线段构造全等三角形，由边角边的证明方法证明，将与，转化到一条线段上找关系即可； （4）延长至，使，连接，，，得到垂直平分，通过对称变换将两条线段的和进行转化，再利用三点共线原理找到最小值的情况． 【详解】（1）解：点、点分别为、中点， ，， 四边形为正方形， ，则， ， ， ， ， ，， ，则， 为正方形外角的角平分线， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，， 则点、、三点共线， 在和中， ， ， ， 即， 故答案为：； （4）如图3，延长至，使，连接，，， ，， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值是的长， ，，， ， ． 例2．（25-26八年级下·陕西安康·期中）【问题探究】 (1)如图①，P，Q是正方形的对角线上的点，且，连接，，若，则的长为______； (2)如图②，在梯形中，，E为边上一点，且，，P，Q是对角线上的两个动点，且，连接，，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，某地计划在一片空地上修建一个森林生态公园平行四边形，并沿其对角线修建一条景观水渠，其中，，．现计划在水渠上找两个点P，Q，且，沿修建健身步道，沿修建塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元/，修建塑胶跑道的费用是40万元/．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)2 (2) (3)修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元 【分析】（1）证明，即可得到； （2）连接、，同理求得，再利用三角形三边关系求解即可； （3）取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接，利用三角形中位线定理求得，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接、， ， ∴， ， ， ， ， ，     ， ∴，， 在中，， ， ∴当位于与的交点处时，取得最小值，最小值为； （3）解：由题意知，修建健身步道与塑胶跑道的总费用． 如图3，取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ，， ， ， ， ，，是的中位线， ， 关于对称， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ， 在中，， ， ， ， ． ， 的最小值为， 故修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元． 例3．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，并且实数a、b满足，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形．点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)求点C的坐标； (2)如图1，当点D落在线段上时，求点H的坐标； (3)如图2，点K是的三等分点（靠近点B处），点T、点M是线段上的动点，且，求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得，即可求解； （2）先证明，可得，再证明，可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解； （3）连接交于点P，结合矩形的性质可得为等边三角形，从而得到，作，交y轴上于点G，连接，则，根据直角三角形可得，从而得到，进而得到，，可证明四边形为平行四边形，可得，从而得到，即当点A，T，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴点； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）得：点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点； （3）解：如图，连接交于点P， ∵点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 如图，作，交y轴于点G，连接，则， ∴， ∴， ∵点K是的三等分点（靠近点B处）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即当点A，T，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为． 例4．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）问题提出 (1)如图①，在中，D，E分别是边，的中点，若，则的长为________； 问题探究 (2)如图②，在菱形中，连接，P，Q分别是，边上的动点，连接，M，N分别是，的中点，若，，求的最小值； 问题解决 (3)如图③，莫莫家有一块边长为600 m的正方形菜地，爸爸计划对其进行改造，P为菜地内一动点，且，E为的中点，F，G分别为，边上的动点，在改造的过程中始终要满足，Q为的中点，他计划在区域内种植茄子，在区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿，修建灌溉水渠，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线定理即可求解； （2）利用中位线定理，连接得，根据垂线段最短找到最短的情况，然后利用等面积法即可求解； （3）取的中点T，作射线，交延长线于点H，在的延长线上截取，连接，可得四边形是矩形，，利用勾股定理可得，根据得，则可推得，据此可判断最小时的位置，利用垂线段最短和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，D，E分别是边，的中点， ∴; （2）解：如图，连接，连接交于点O， ∵M，N分别是，的中点， ∴为的中位线，即， ∴当时，最小，从而最小， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，取的中点T，作射线，交延长线于点H，在的延长线上截取，连接，过点W作于点V ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，，Q为的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， , 在中，由勾股定理，，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴最小值是的长， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，，即， 即灌溉水渠总长度的最小值为． 变式训练 变式1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点作交于点， 可证出，得，，利用勾股定理得到，进而可证得结论； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，则， ∵四边形是正方形，O为的中点， ∴，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为的长， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 变式2．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形中，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，． (1)若，求证点恰好落在正方形的对角线上； (2)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，记交于点，过作交于点，四边形是平行四边形，点在上，，且．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）通过正方形的性质结合旋转的性质证明，推出，即可得证； （2）过点作交于，证明，得出，再通过四边形的内角和证明，推出，最后根据平行线的判定定理即可得证； （3）如图，连接，先证明四边形是正方形，得到，过点作交延长线于，过点作交于，连接，证明，得到，是等腰直角三角形，推出，作点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，得到当，，三点共线时，最小，最小值为的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转可知，， 四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， ， 与重合，即点恰好落在正方形的对角线上； （2）解：，理由如下： 如图，过点作交于，设交于点， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，即， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， ，，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， 过点作交延长线于，过点作交于，连接， ， ， ， ，，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 作点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则，， 是等腰直角三角形， ， ， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即最小值为． 变式3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，四边形中，，，，，点和点分别在边和边上，连接，，．    (1)求的长； (2)若平分，求的度数； (3)若四边形的面积为10，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点D作于点E，易证明四边形为矩形，进而得到、，在中，利用勾股定理求出长； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质定理，易证明和，进而得到、，利用求出的度数即可； （3）连接，设、，则、，根据列出方程，进而得到：，利用勾股定理求出、长，进而得到表示点到点、点的距离和，利用“将军饮马“问题求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点E， ， ，， ， 四边形为矩形， 、， ， 在中，由勾股定理得：； （2）解：过点D作于点F， ， ， 平分，、， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知，四边形为矩形， ， ， ， ， 即； （3）解：连接， 设、，则、， ， 即， 整理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 则表示点到点、点的距离和， 作点关于轴的对称点， 当点P、、R三点共线时，值最小，最小值为， ， 即的最小值为． 变式4．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中，是上一点，过点作的垂线，交、于点、，连接、、． (1)求证：； (2)若，在边上且满足，求的长度． (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正方形的边与直角性质，结合同角的余角相等推出等角，通过证明△，进而证得； （2）由第一问的全等结论得到，结合正方形性质推导线段等量关系，用证明△得到等腰直角，最终通过勾股定理求出的长度； （3）设正方形边长为、，利用勾股定理由得，将配方为常数加非负完全平方项，即可利用非负性求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设正方形边长为，，则， 在中， ， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 实战演练 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1），；（2） ；直线与的夹角度数为；理由见解析；（3）线段的最小值为． 【分析】（1）由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （2） 由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （3）如图，由于菱形绕点旋转，所以点的运动轨迹，是以点为圆心，半径为的圆，连接圆心点与圆外一点，当点在上时，线段取得最小值，连接，交于点，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 直线与的夹角度数为， 故答案为：，； （2）；直线与的夹角度数为；理由如下： 四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，， ， 直线与的夹角度数为； （3）如图，∵ ∴当点在上时，线段取得最小值， 连接，交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即线段的最小值为． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解； （2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决； （3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）证明：，理由如下： 如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $