第二十一章 四边形（复习课件）数学人教版新教材八年级下册

单元复习课件 第二十一章 四边形 人教版2024·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握多边形的内角、外角、对角线等概念并能利用相应公式解决问题； 3.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定之间的联系和区别. 2. 能利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题； 单元学习目标 四边形 四边形与多边形 特殊平行四边形 其它 凹多边形 凸多边形 四边形：内角和：360°；对角线条数：4；外角和：360° 多边形：内角和：;对角线条数：;外角和：360° 正多边形:每个内角度数：;每个外角度数： 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 性质：1.对边平行且相等；2.对角相等，邻角互补；3.对角线互相平分； 判定：1.两组对边分别平行；2.两组对边分别相等； 3.一组对边平行且相等；4.对角线互相平分。 矩形 菱形 正方形 定义：有一个角是直角的平行四边形 判定:1.对角线相等的平行四边形；2.三个角是直角的四边形 定义：有一组邻边相等的平行四边形 判定:1.对角线互相垂直的平行四边形；2.四边相等的四边形 定义：有一个角是直角，且一组邻边相等的平行四边形 性质:1.四边相等；2.四个角都是90°；3.对角线相等，互相平分且垂直 两条平行线之间距离相等 三角形中位线平行且等于第三边的一半 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 单元知识图谱 四边形 定义：在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四边形 凸多边形：画出任意一边所在的直线,整个多边形都在直线的同侧,这样的多边形叫做凸多边形 凹多边形：画出任意一边所在的直线,整个多边形不都在直线的同侧,这样的多边形叫做凸多边形 正多边形：每个角相等且每条边都相等的多边形是正多边形 考点串讲 多边形 一个顶点处所引对角线条数 总对角线数 一个顶点处所引对角线将多边形分成几个三角形 多边形的内角和 外角和 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形 0 1 2 3 4 0 2 5 9 14 1 2 3 4 5 考点串讲 性质二：平行四边形的_____________________。 几何语言：∵四边形是平行四边形 ∴∠A=∠C，∠B=∠D ，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° 平行四边形 定义：两组对边__________的四边形叫做平行四边形； 性质一：平行四边形的对边__________。 几何语言：∵四边形是平行四边形 分别平行 ∴, 平行且相等 对角相等、邻角互补 考点串讲 平行四边形 性质三：平行四边形的对角线__________。 几何语言：∵四边形是平行四边形 ∴, 平行线的性质： 两条平行线间的距离______ 互相平分 O A B C D H G a b 相等 考点串讲 平行四边形 判定一：两组对边分别_______的四边形是平行四边形 几何语言：∵, ∴四边形是平行四边形 判定二：两组对边分别_______的四边形是平行四边形 几何语言：∵, ∴四边形是平行四边形 平行 相等 考点串讲 平行四边形 判定三：一组对边__________的四边形是平行四边形 几何语言：∵, ∴四边形是平行四边形 判定四：对角线________的四边形是平行四边形 几何语言：∵, ∴四边形是平行四边形 平行且相等 互相平分 O 考点串讲 中位线 定义：连结三角形__________的线段叫做三角形的中位线。 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 几何语言：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点 ∴, 两边中点 D E 考点串讲 矩形 定义：有一个________的平行四边形叫矩形 性质一：矩形的对边____________ 几何语言：∵四边形是矩形 直角 A B D C ∴, 性质二：矩形的四个角______________。 几何语言：∵四边形是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 都是直角 平行且相等 考点串讲 矩形 性质三：矩形的对角线_________________ 几何语言：∵四边形是矩形 ∴ 定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的____ 几何语言：∵在中，为的中点， ∴ O A B D C 相等且互相平分 一半 考点串讲 矩形 判定一：有三个角为_____的四边形是矩形 几何语言：∵ ∴四边形为矩形 判定二：对角线______的平行四边形是矩形 几何语言：∵在中，， ∴四边形为矩形 O A B D C 直角 相等 考点串讲 菱形 定义：有一组________的平行四边形叫菱形 性质一：菱形的对边平行，且四条边都_____ 几何语言：∵四边形是菱形 ∴,, 性质二：菱形的对角相等，邻角互补 几何语言：∵四边形是菱形 ∴∠A=∠C，∠B=∠D ，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° 邻边相等 相等 A B C D 考点串讲 菱形 性质三：菱形的两条对角线________________ 几何语言：∵四边形是菱形 ∴,,⊥ 性质四：菱形的面积 菱形的面积=_____________=_______________ 互相平分且垂直 A B C D O 底高 考点串讲 菱形 判定一：四条边都______的四边形是菱形 几何语言：∵ ∴四边形是菱形 判定二：对角线________的平行四边形是菱形 几何语言：∵在中， ∴四边形是菱形 A B C D O 相等 互相垂直 考点串讲 正方形 定义：有一组________，且有一个角为____的平行四边形是正方形 性质一：正方形的对边平行，且四条边都_____ 几何语言：∵四边形是正方形 ∴,, 性质二：正方形的四个角都是_______ 几何语言：∵四边形是正方形 ∴ 邻边相等 直角 相等 A D C B 直角 考点串讲 正方形 性质三：正方形的对角线___________________________ 几何语言：∵四边形是正方形 ∴,⊥ A O D C B 互相平分相等且垂直 考点串讲 正方形的判定思路 A O D C B O A B C D O O A B D C 考点串讲 题型一、多边形的内角、外角和对角线 例1.(1)若从多边形的一个顶点出发可以画出8条对角线，则这个多边形是___________,其内角和为_________,外角和为_______，其对角线总数为________. (2)若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形是____边形,其的内角和的度数是__________,其对角线总数为________. 十一边形 十二 方法指导：遇正多边形每个内角问题，可将内角转化为外角问题思考，更利于计算的简便. 题型剖析 1.下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（   ） A．四边形的内角和与外角和相等 B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C．四边形的外角和是 D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是 2.若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为______． C 针对训练 3.若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有______条 4.如图，以正五边形ABCDE一边AB为边在其内部作等 边△ABF，延长AF交CD于点G，则∠CGF的度数为_______ 5.小明从点O出发，前进10米后右转，再走10米后右转，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为____ 6.佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 80米 针对训练 7.在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？ 解：由题意可知，这个多边形各内角都相等，各外角也相等． 设这个多边形的边数为n，则， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 故这个多边形是十边形． 针对训练 题型二、截去一个角 例2.若一个五边形截去一个角后，不可能变成（ ）边形 A．3 B．4 C．5 D．6 A 方法指导：解决此种问题分三种情况讨论， 当截线不经过多边形的顶点时，多边形边数加1； 当截线经过多边形的一个顶点时，多边形边数不变； 当截线经过多边形的两个顶点时，多边形边数减1. 题型剖析 1.一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 2.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 A D 针对训练 题型三、不规则多边形内角和 方法指导：解决问题的关键是利用三角形内角与外角的关系把所 求的角的度数归结到五边形中，利用五边形的内角和定理解答 例3.下图为某公司的产品标志图案，求的度数． 解：如图所示． ，， ． 题型剖析 1.根据下列各图求值 (1)如图1，则=_________； (2)如图2，则=_________； (3)如图3，则=________； (4)如图4，则=_________． 针对训练 题型四、多加或少加一个角 例4.小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． ， 因为n为自然数，且少加了一个角，故取得． 题型剖析 题型四、多加或少加一个角 例4.小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 解：方法二：由条件，得， 解得： 且n为自然数， 故． 题型剖析 小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为， 又因为n为自然数，且多加了一个角， 故取得． 题型剖析 小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 解：方法二：由条件，得， 解得：且n为自然数， 故． 方法指导：设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 题型剖析 1.小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，求少算的这个内角的度数 法一、解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为．由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式，得． 内角和为， 故． 针对训练 1.小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，求少算的这个内角的度数 法二、解：设凸多边形的边数为，且为整数，少算的角为则得+， ∵ 又∵少加了一个角 ∴多边形的边数是14， 则这个内角是． 针对训练 2.如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容求他们少加的内角的度数． 解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为 针对训练 题型五、平行四边形的性质和判定 例5.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. (1)如图①，若四边形ABCD为平行四边形， AC＝BC，∠ABC＝70°，则∠ACD＝___° (2)如图① ，已知□ABCD的周长为32， ，AC=8 ①△AOD的周长比△AOB的周长多2，则AB的长为________； ②若∠BAC=90°，则△OBC的周长为________________ 题型剖析 题型五、平行四边形的性质和判定 例5.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. (2)如图② ，已知□ABCD的周长为32， ，AC=8，E为边BC上一点 ③若∠BAE＝∠DAE，且EC＝4，则四边形ABCD 的面积为________； ④若∠BAC＝90°，AE⊥BC，则BE的长为________． ⑤过O点做AC的垂线段MO与AD交于点M若______ M 题型剖析 1.如图，在中，和的平分线交于点，且分别交直线于点、．若，，则的值是______． 64 2.如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 方法指导：平行+平分推等腰 针对训练 3.如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点． (1)求证：； 证明(1)：∵四边形是平行四边形， ∴，，，即， ∵，∴，即， 在和中，∴； 针对训练 3.如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点． (2)若，求的大小． 解(2)：由（）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 针对训练 题型六、平行四边形的判定 例6.如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； 证明(1)：，， ． ， ， ． 题型剖析 题型六、平行四边形的判定 平分，， ． 为边的中点，． 在和中，， ， 四边形是平行四边形． 题型剖析 题型六、平行四边形的判定 例6. (2)若，求的长． 解(2)：平分，， ，， ∴，，即得． ，， ，即． 四边形是平行四边形， ． 题型剖析 1.如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． ①④ 针对训练 2.如图，在中，，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即、、，连接、、． (1)证明：四边形是平行四边形； 证明(1)：∵、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 针对训练 在和中，， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴，即， 同理可得，， ∴， ∴四边形为平行四边形． 针对训练 (2)若，，，求的长． 解(2)：∵是等边三角形，∴， ∵，，∴， ∴，， 由（1）得，， ∵， ∴， 在中，． 针对训练 3.如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，求的值． 解：设点，的运动时间为，根据题意， 得，，， 针对训练 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形， 此时，解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时， 此时， 根据四边形为平行四边形， 此时，解得； 针对训练 当Q第一次越过点C返回向点B运动时， 此时， 根据四边形为平行四边形， 此时，解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时， 此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 针对训练 题型七、利用平行线间距离解决问题 例7.如图，，，，求点C到的距离 解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为 方法指导：利用同底(等底)等高解决面积相等问题，也可拓展到利用等高解决面积之比等于底之比问题 题型剖析 1.如图，中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若，，则_____ ． 2.如图，已知 中，点D 是上且离点C较近的一个点，连接， 点E 是的中点， 连接， 过点E 作交于点 F， 连接 ， 若 面积等于4，则 的面积为________，四边形 的面积为________． 8 4 针对训练 3.如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，求的长 解：∵平分，∴， ∵，∴，即， ∴，同理可得， 由，设之间的距离为，则， ∴∴. 针对训练 题型八、知三求平行四边形第四点位置 例8.在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以 为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有__个 当为平行四边形的对角线时 当为平行四边形的对角线时 方法指导：遇平行四边形存在性问题，需分别以三边为对角线进行分类讨论 题型剖析 1.在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标是_______________________ D 、 针对训练 题型九、三角形的中位线 例9.如图，是等边三角形，的平分线 交于点D，过点D作于点E，延长 和交于点F，若，求的长 解： 取的中点，连接，  ∵是等边三角形，的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∴． 方法指导：中位线定理既可解决角度问题也可解决线段数量问题。 常见有关中点辅助线口诀： 遇中点，连中线；也要考虑中位线；倍长中线也常见 题型剖析 1.如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为_______ 2.如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为___ 3.如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________． 针对训练 4.如下图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点．求证：，． 证明：，是的中线， ，分别是，的中点， ，． ∵点，分别为，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ，． 针对训练 题型十、矩形的性质和判定 例10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， (1)若AC=8,则OB的长为_______ (2)若∠ADO:∠ODC=2:3,则∠AOD的度数为_______ (3)若AB＝AO，则∠ABD的度数为________ (4)若∠ADB=30°，AB=4,则为______ (5)若，，则矩形的面积为_____ (6)若，,点为的中点，连接，则的面积为_________ 题型剖析 1.如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为________ 2.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、C在x轴上，点D的坐标是，点E是对角线的中点，且，则点E横坐标为_________ 针对训练 3.如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____． 4.如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则____________． 针对训练 5.如图，在矩形中，点分别在和上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； 证明(1)：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 即：， ∴四边形是平行四边形． 针对训练 (2)连接，若，求的面积． 解(2)：∵四边形是矩形， ∴的高， ∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴． 针对训练 证明：∵点O、F分别为BD、BE的中点， ∴OF为△BDE的中位线， ∴OF∥DE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝∠BGO＝90°， ∴OF⊥BC； 6.如图，四边形ABCD为矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接OE，交BC于点G. (1)取BE的中点F，连接OF，证明：OF⊥BC； 针对训练 (2)若AB＝6，BE＝10，求OE的长． 解：如解图，过点O作OP⊥CD于点P， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AC＝BD， ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴BE＝AC， ∴BE＝BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， 针对训练 ∵BE＝BD＝10，∴CD＝CE＝6， 同理，可得CP＝DP＝CD＝3， ∴EP＝9， 在Rt△BCE中，由勾股定理可得：BC＝8， ∵OB＝OD， ∴OP为△BCD的中位线， ∴OP＝ BC＝4， ∵OP⊥CD， ∴OE＝ 题型剖析 题型十一、矩形的判定 例11.如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，，∴， ∴四边形是矩形； 题型剖析 题型十一、矩形的判定 (2)连接，若，，求的长． 解：如图，连接，  由（）得，，， ∵，∴，∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型剖析 1.在平行四边形中，连接、交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：A为的中点； 证明(1)：∵点E为的中点，∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵，∴， ∴， ∴，即A为的中点． 针对训练 (2)若添加一个条件_________，，连接，试判断四边形是矩形，请填空，并说明理由． 解(2)理由如下：由（1）得，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴是等边三角形， ∵，∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 针对训练 2.如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； 证明(1)：四边形为矩形， ， 又， 为的中位线， 即； 针对训练 (2)当时，求证：四边形是矩形． 证明(2)：由（1）可知，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ， 四边形是矩形． 针对训练 3.如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． 证明：，， ， 在和中，，， ， ∵四边形是平行四边形，， ，∴四边形是矩形； 针对训练 (2)若，求的度数． 解(2)：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 针对训练 题型十二、直角三角形斜边中线 例12.如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，求四边形的周长 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点P，Q分别为，的中点， ∴，， ∵，∴勾股定理得， ∴， ∴四边形的周长为． 题型剖析 1.如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则______ 2.如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为____ 针对训练 4.如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为_______ 3.如图，在矩形ABCD中，F是BC的中点，E是AD上一点，且∠EBC= ∠DCE，EF=3cm，则AD的长为_____ 针对训练 5.如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，求的长． 解：连接，， ∵，，，F为的中点， ∴，，即， ∵G为的中点， ∴，， ∴． 针对训练 题型十三、菱形的性质 例13.(1)如图，菱形ABCD中， H为BC上一点，连接OH，若AC＝16，BD＝12. ①BC＝________，菱形ABCD的面积是________； ②若H为BC中点，则OH＝________； ③若OH⊥BC，则OH=____________ 10 96 5 4.8 (2)如图，在菱形ABCD中，AB＝2, ∠BAD＝60°， 则AC＝______，BD＝_____，∠BCO＝_____， 过点B作BE⊥AD于点E，则BE＝________． 2 题型剖析 1.如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为_________ 2.如图，在边长为6的菱形中，，点E为对角线上一点，连接，，若，则的长为______ 针对训练 3.如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____ 24 针对训练 4.在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向终点A运动，点Q是边上的一点．若四边形是矩形，，点P运动的时间为，在线段上是否存在一点G，使得以B、Q、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 解：如图①，当点G在点P的左侧时， ∵四边形是菱形， ． 又， 针对训练 四边形是矩形， ， ， （），∴； 如图②，当点G在点P的右侧时， 同理可求， （）， ∴． 综上，t的值为3或8． 针对训练 题型十四、菱形的判定 例14.如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在上取一点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； 证明：， ∴四边形是平行四边形， ，点D是的中点， ， ，点D是的中点， ， ， 四边形是菱形； 题型剖析 题型十四、菱形的判定 (2)连接，相交于点，若，四边形的面积为120，求的周长． 解(2)：，由（1）知， 由（1）知四边形是菱形， ， ∵四边形的面积为120， ∴， ， 题型剖析 题型十四、菱形的判定 (2)连接，相交于点，若，四边形的面积为120，求的周长． 在中， ， ， （负值舍去）， ， ∴的周长为． 题型剖析 1.已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； 解(1)：四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，且，，∴． ∴平行四边形是菱形． 针对训练 (2)若，，求四边形的面积． 解(2)：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵四边形的形状是菱形， ∴根据对称性，， ∴． 即四边形的面积为． 针对训练 2.如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． 证明：，， 平分，， ， ， ，， ，四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． 针对训练 (2)若，，求四边形的面积． 解(2)：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， . 针对训练 3.如图，在四边形中，是四边形的对角线，过点作的垂线交的延长线于点，点恰好是的中点． (1)求证：四边形是菱形； 解(1)：，， 四边形是平行四边形， ， ，即是直角三角形， 点是的中点，， 平行四边形是菱形； 针对训练 (2)过点作于点，交于点，连接，若，求和的长． 解(2)：连接，交于点， 四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 设，， 针对训练 ，则， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 由此可得，即， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， 由，得， ，，， 针对训练 四边形是菱形，， 垂直平分， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， ； 综上，的长为，的长为． 针对训练 题型十五、正方形的性质 例15如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD相交于点O. (1)AC＝________，OC＝________； (2)正方形ABCD的面积是 ________； (3)作∠CDB的平分线DG，交AC于点E，交BC于点F，交AB的延长线于点G，则∠G＝________，BG＝________； 16 22.5° 题型剖析 1.如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 2.如图，在Rt中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的面积为____ 36 针对训练 3.如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为_________ 4.如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 针对训练 5.如图，是正方形的对角线上的两点，且． (1)求证：； 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 针对训练 (2)若，求四边形的面积． 解：如图所示，连接交于点O，  ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由（1）得，∴， ∴， ∴ ． 针对训练 题型十六、正方形的判定 例16.如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； 证明(1)：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； 题型剖析 题型十六、正方形的判定 (2)若，求的长． 解(2)：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点，∴，即， ∵，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型剖析 1.如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． 证明(1)：∵四边形是矩形，，， ． ，，． 由旋转，得．             在和中，，，         ． ，． 针对训练 (2)连接，交于点，求的长． 解(2)：在和中，， ，，．         在中，由勾股定理，得．     ， ． 在中，由勾股定理，得， ． 针对训练 (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 证明(3)：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形． ， ， ∴四边形是正方形． 针对训练 2.如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． 证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，∴， ∵是正方形对角线的一点，∴， ，即， ∴四边形是正方形， ∴， 针对训练 如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． ∵四边形为矩形 ∴， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； 针对训练 (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． 针对训练 (3)直接写出的最小值． 解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 针对训练 1.如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ）A． B． C． D． C 2.已知一个多边形的外角和比它内角和的多，则这个多边形的对角线条数为_______． 课堂总结 3.如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为_______ 4.如图，四边形是正方形，是边上一点，于点，，且交于点．已知，，则的长度为__________ 课堂总结 5.如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； 证明：四边形是平行四边形，， ∴， 在和中，， ， ； 课堂总结 (2)求的面积． 解(2)：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； ， ， 由（1）知， ， ， ，， ∴． 课堂总结 6.如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，求的值 解：设点P，Q运动的时间为， 依题意得：， 四边形是长方形，且，， ， 当以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： 针对训练 ①当时，则， 由，得：，解得：； ②当时，则， 由，得：，解得：， 由， 得：，将代入， 得：， 综上所述：的值为4或3． 针对训练 7.如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)证明是菱形； 证明(1)：平分，， 四边形是平行四边形，∴，， ，， ，， 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形． 课堂总结 (2)若，连接、，求的度数； 解(2)：四边形是平行四边形， ∴，，， ，，， 由（1）知，四边形是菱形， ，，， ，， ∵，， 是的平分线，， ∵，， 课堂总结 (2)若，连接、，求的度数； ，， ， ，，， ， ，是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ． 课堂总结 (3)若，，，是的中点，求的长． 解：,四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，， ∴， ， 又由（1）可知，四边形为菱形， 四边形为正方形． ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵是的中点， 课堂总结 ∴， 如图，过作于， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，． 课堂总结 感谢聆听! $