特殊四边形中的动点问题、中点四边形问题专项训练-2026年人教版数学八升九暑假培优

**基本信息** 聚焦特殊四边形动态与静态几何问题，通过分层例题与变式训练，系统强化几何直观与推理意识，构建从性质应用到综合探究的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊四边形中的动点问题|3例+3变式|含t参数的线段表示、图形判定及面积函数关系|以特殊四边形性质为基础，通过动态变量构建方程与函数模型，体现抽象能力与运算能力| |中点四边形问题|3例+3变式|中点四边形形状判定、面积关系及新定义探究|基于三角形中位线定理，推导原四边形对角线与中点四边形形状的关联，培养推理意识与空间观念|

暑假培优：特殊四边形中的动点问题、中点四边形问题专项训练 暑假培优：特殊四边形中的动点问题、中点四边形问题专项训练 考点目录 特殊四边形中的动点问题 中点四边形问题 考点一 特殊四边形中的动点问题 例1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 【分析】分类讨论：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形， 综上所述，当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 例2．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，矩形纸片的每一条边长都是，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，_____； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的值； (4)将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)16 (2) (3)或18 (4)的值为4，8，12 【分析】（1）由，可得，然后由，求得答案； （2）分三种情况：当时，当时，当时，根据三角形面积公式，求出函数解析式即可； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案； （4）分三种情况：当点P运动到的中点处时，当点P运动到的中点处时，当点P运动到点处时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，； 当时，点P在上，； 综上，与的函数关系式为：； （3）解： 根据解析（2）可得：只有当点P在边或边上运动时，， 当点P在边上运动时，把代入得：， 解得：； 当点P在边上运动时，把代入得： ， 解得：； 综上所述，当时，或18； （4）解：当点P运动到的中点处时，延长，交于点Q，如图所示： ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴此时将放在的位置，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 当点P运动到的中点处时，延长，交于点Q，如图所示： ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴此时将放在的位置，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 当点P在点处时，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∴将的顶点P与的顶点D重合， 将的顶点C与的顶点A重合，如图所示： ∵， ∴、、B在同一直线上， ∴此时剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 综上，将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，的值为4，8，12． 例3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，于点，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_____；_____． (2)当_____s时，四边形为矩形； (3)当时，求的值； 【答案】(1)； (2)6 (3)5或7 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）当时，四边形为矩形，则，即可求解； （3）分两种情况①当四边形为等腰梯形时，过点作于点，过点作于点，求出，得，解得；②当四边形为平行四边形时，，即，解得：； 【详解】（1）解：由题意得：， 则，． （2）解：∵， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴． （3）解：， ∴当时， 分两种情况：①当四边形为等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图1， 则， 又∵， ， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，， 即， 解得：； 综上所述，当时，的值为5或7． 变式1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)秒 (3)或10或24． 【分析】（1）先证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，据此建立方程求解即可； （3）如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积，证明，平行四边形可得，即，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时，而，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积，此时；然后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵点在边上运动， ∴，． （2）解：∵，，， ， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 当是等腰三角形时，， ， 又∵， ， ， ， ， 又∵， ，解得：． ∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，t的值是秒． （3）解：如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心． 当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积， ∵， ，，而， ， ，即，解得：； ∴； 如图：过P作交延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为； 当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时， ， ，则， ∴； ∴的面积为； 如图：Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积， 此时，的面积等于的面积，即：． 综上，的面积为或10或24． 变式2．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)16 (2)或 (3)或 (4)或或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点， ，， ∵， ； （2）解：∵在中，，， ∴，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； （3）解：∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ， 或， 解得：或； （4）解：当点在上，点在上时，则， ， ， 当在线段的延长线上时，点在上时， 当时，如图所示， ， 又， ∴， 解得：， ∴时，； 当点在线段的延长线上，点在上时，则， ， 解得：， 综上所述：或或． 变式3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析； (2)①秒；②与满足的数量关系式是 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，＝， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴． （2）①显然当P点在上时，Q点在上， 此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上， Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒， ∴，＝，即＝， ， 解得， 以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得； ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得； iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 考点二 中点四边形问题 例1．（25-26八年级下·四川乐山·期末）某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位线相关的面积问题进一步探究． (1)【问题探究】如图1，在中，是边上的高，、分别是边和的中点，在内作矩形，点、在边上，若面积为24，．请计算的长和矩形的面积，并猜想面积和矩形面积的关系； (2)【知识迁移】如图2，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，试说明； (3)【拓展应用】如图3，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)4；12；； (2)证明：连接，交于点J，交于点K， ∵点H和点G分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为， ∴，， ∴， 同理可得出：， ∵， ， ∴． (3)48 【分析】（1）先利用三角形中位线的判定定理和性质得出，过点A作交的延长线上，设与交点P，再通过矩形的判定和性质得出，根据矩形的面积公式求解，最后由三角形面积和距离的面积猜想出两者的关系即可． （2）连接，交于点J，交于点K，得出是的中位线，即，设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为，根据三角形以及四边形面积公式得出，同理可得出：，进而可得出． （3）利用中位线的判定和性质进一步证明四边形是菱形，利用菱形的性质求出菱形的面积，再根据结论（2）即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别是边和的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴， 过点A作交的延长线与点，设与交点为P， 则， ∴四边形为矩形，四边形和四边形都为矩形， ∴，，， ∵E为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故猜想：； ∵，，，， ∴． （2）略； （3）解：连接，，，，，， ∵、、、分别是边、、、中点， ∴，，，分别是，，，的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 由（2）的结论可知：． 例2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）性质：对于一个凸四边形对角线互相垂直且相等，那么这个四边形的中点四边形是正方形． (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形         B．矩形        C．菱形        D．正方形 (2)拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． (3)素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点． ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值． 【答案】(1)D (2)解：四边形中点四边形是正方形， 理由：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形， ∴四边形中点四边形是正方形． (3)①， 证明：如图，记、的中点分别为E、F，连接， ∵四边形中，，， ∴四边形中点四边形是正方形，即四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）①如图，记、的中点分别为E、F，连接，易得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；②设交于点O，连接、、，当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长，再结合①的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形的中点四边形一定是正方形， 理由：∵正方形的对角线相等且互相垂直， ∴正方形的中点四边形是正方形； （2）略 （3）①略； ②如图，设交于点O，连接、、， 当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵，即， ∴都是直角三角形， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴的最小值， 由①知； 又∵， ∴，即， ∴的最小值为． 例3．（25-26八年级下·广东湛江·期中）新定义问题：四边形四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与． (1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形 (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明 (3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形 (3)菱形；矩形；正方形 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证且，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）同理先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （3）根据三角形的中位线定理可知矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，正方形的中点四边形是正方形． 【详解】（1）证明：点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ∴ 四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴ 四边形是矩形； （3）解：当四边形为矩形时，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， 矩形的中点四边形是菱形； 当四边形为菱形时，， 同理可得，四边形是平行四边形 再同（2）可得，四边形是矩形， 菱形的中点四边形是矩形； 当四边形为正方形时，，， 同理可得，四边形是平行四边形， ∵， 同上可得，四边形是菱形， ∵， 同上可得， 四边形是正方形， 正方形的中点四边形是正方形． 变式1．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． (1)草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； (2)现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． (3)尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)12平方米 (3)见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理分别得出且，且，可得且，即可证明； （2）设分别与交于点，与交于点，首先根据题意证得平行四边形为矩形，然后，由中位线定理得且，接着，证得，，根据矩形的面积公式代入计算即可； （3）如图3，按照作图步骤作图即可． 【详解】（1）证明：形状：平行四边形．理由如下： 如图1，连接， 在中，、分别是、的中点， 且． 在中，、分别是、的中点， 且， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：如图2，设分别与交于点，与交于点， ， ． 由（1）同理可得，， 四边形是平行四边形． ． 由（1）得四边形是平行四边形， 平行四边形为矩形． 在中，、分别是、的中点， 且． ∵，，由（1）得， ，， 矩形面积． 答：四边形的面积为． （3）解：如图3，首先，作水平射线，接着，在射线上以为圆心线段的长度为半径画弧交射线于，然后，在线段下方任取一点，以为圆心，任意长为半径画弧，交线段于两点，再分别以这两点为圆心大于这两点间的距离画弧交线段上方于一点，连接与这一点并延长，在此射线上以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，顺次连接即可． 如图3所示，四边形即为所求． 变式2．（25-26八年级下·广东湛江·期中）新定义问题：四边形四条边上的中点分别为，，，，顺次连接，，，，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与． (1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明． (3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 (3)菱形，矩形，正方形 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证且，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）根据三角形中位线定理可证，，，，当时，可得，，，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知当时，四边形是矩形； （3）根据三角形的中位线定理可知矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，正方形的中点四边形是正方形． 【详解】（1）证明：点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形是平行四边形， ， ，，， ∴， 四边形是矩形； （3）解：当四边形为矩形时，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， 矩形的中点四边形是菱形； 当四边形为菱形时，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ， ，，， 四边形是矩形， 菱形的中点四边形是矩形； 当四边形为正方形时，，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是正方形， 正方形的中点四边形是正方形． 变式3．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，在四边形中，，E、F、G、H分别为、、、的中点，顺次连接E、G、F、H． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)当时，四边形为正方形；理由见解析 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形； （2）根据平行线的性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由条件可知、、分别为、、的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形为正方形．理由如下： 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∴， ∴菱形是正方形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：特殊四边形中的动点问题、中点四边形问题专项训练 暑假培优：特殊四边形中的动点问题、中点四边形问题专项训练 考点目录 特殊四边形中的动点问题 中点四边形问题 考点一 特殊四边形中的动点问题 例1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 例2．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，矩形纸片的每一条边长都是，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，_____； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的值； (4)将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，直接写出的值． 例3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，于点，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_____；_____． (2)当_____s时，四边形为矩形； (3)当时，求的值； 变式1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 变式2．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 变式3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 考点二 中点四边形问题 例1．（25-26八年级下·四川乐山·期末）某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位线相关的面积问题进一步探究． (1)【问题探究】如图1，在中，是边上的高，、分别是边和的中点，在内作矩形，点、在边上，若面积为24，．请计算的长和矩形的面积，并猜想面积和矩形面积的关系； (2)【知识迁移】如图2，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，试说明； (3)【拓展应用】如图3，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，若，且，，求四边形的面积． 例2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）性质：对于一个凸四边形对角线互相垂直且相等，那么这个四边形的中点四边形是正方形． (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形         B．矩形        C．菱形        D．正方形 (2)拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． (3)素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点． ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值． 例3．（25-26八年级下·广东湛江·期中）新定义问题：四边形四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与． (1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形 (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明 (3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________． 变式1．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． (1)草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； (2)现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． (3)尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 变式2．（25-26八年级下·广东湛江·期中）新定义问题：四边形四条边上的中点分别为，，，，顺次连接，，，，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与． (1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明． (3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________． 变式3．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，在四边形中，，E、F、G、H分别为、、、的中点，顺次连接E、G、F、H． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $