命题大赛 2026年福建省泉州市高考数学自编模拟卷

**基本信息** 原创题占比超60%，结合AI科技（如傅里叶变换）与真题改编（2024新Ⅰ卷19题），通过分段函数奇偶性、双曲函数等创新设计，考查数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、函数性质|原创题占6道，如分段函数奇偶性判断| |填空题|3题/15分|圆的动点问题、双曲函数|第14题结合双曲函数定义，考查创新应用| |解答题|5题/77分|数列、立体几何、概率、椭圆、等比数列|第19题改编自真题，探究可分数列性质，体现逻辑推理|

保密★启用前 2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学模拟卷 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、（原创）已知集合，，则（ ） A．　　　 B．　 　C．　　 D． 2． 已知复数满足，，若，则可能等于 A． B． C． D． 3.（原创）已知定义在上的分段函数,若为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，在上单调递增 B．，在上单调递减 C．，在递增，递减 D．，在递增，递增 4.（原创）已知函数，则函数的对称中心坐标是（ ） A. B. C. D. 5．在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点．若，则 A． B． C． D． 6.（原创） 已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值的概率为（ ） A. B. C. D. 7．（原创）若,,，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知是函数的一个零点，当时，，则方程在区间内所有根的和为 A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．记为数列的前项和，若,，则 A． B．为等比数列 C． D．为等差数列 10．（改编）当今科技飞速发展的时代，人工智能（AI）已经成为了各大行业追逐的焦点，许多人都被新一代自然语言处理工具的兴起所震撼，如ChatGPT和DeepSeek等大语言模型（LLM）正引领着技术革命的风潮。在这一波技术浪潮中，许多技术背后的原理与发明也被重新审视，其中一个极其重要但往往被忽视的数学工具，就是年法国数学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）所提出的“傅里叶变换”。可以说，没有傅里叶变换，就没有今天的人工智能应用！他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数，当时，有，则（    ）． A．函数的最小正周期为； B．点是函数图象的对称中心 C． D． 11．（原创）已知是方程的根，且，则（    ）． A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（改编）已知实数，若，，则____ 13.（原创）在直角坐标系中，已知点、，，是圆：上的动点，且， 则的取值范围是_____________. 14.（原创）已知双曲正弦函数，双曲余弦函数.则①；②若，，都有，则的取值范围是_____________. 14．（改编备用）函数的零点是 .（提示：，，，，） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（满分13分） 已知数列满足，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16.（满分15分） （改编）如图，在以，，，，为顶点的五面体中，四边形为直角梯形，，//，，平面平面，． （1）求证：平面平面； （2）若五面体的体积为4，求直线与平面所成角的正弦值． 17.（满分15分） （改编）新药开发投入市场之前，一般需要先进行动物试验．现有某一新药，即将进入动物试验阶段，规定如下：将所有参加试验的动物进行分组，每组5只，并任选一组进行试验．第一轮试验，该组的每只动物都服用，若该组中至少有4只动物产生药效，说明新药有效，试验终止；否则对该组中尚未产生药效的动物进行第二轮使用，再次试验．如果二次服用的动物都产生药效，说明新药有效，否则需要重新改进．设每只动物是否产生药效相互独立，两次使用新药互不影响，且产生药效的概率均为． （1）求该组试验只需第一轮使用的概率（用含的多项式表示）； （2）试验结束，记该组每只动物需要服用新药的次数总和的数学期望为，求证：． 18.（满分17分） （改编）已知椭圆:的离心率为，短轴长为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆上有一动点 ，且点不在轴上，已知，，点 。 (i) 证明：点为内切圆圆心； (ii) 求的最大值。 19．（满分17分） （2024年新Ⅰ卷19改编）设m为正整数，数列是公比且的正项等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中一次任取两个数和，记正项等比数列是可分数列的概率为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $多维细目表 附件1： 2026年福建省命卷比赛作品——2026届福建省高考数学自编模拟卷多维细目表 实践活动 考题类型 题号 小题号 考试内容 字数 （阅读材料和题目合计） 能力要求 （识记、理解、应用、分析、综合） 题型 （填空、选择、简答、写作） 分值 预估 难度值 预估均分 （注：小于或等于等于该题分值*预估难度值） 试题说明1 （考点出处：具体到教材或课标中的相关内容） 试题说明2 （试题来源：原创或改编） 一、 积累与运用（22分） 古诗文默写 （8分） 1 初中必背古诗文 302 识记 填空 8 0.7 5.6 情境默写（理解性默写） 原创 小语段阅读 （14分） 2 （1） 汉字 320 识记 填空 3 0.7 2.1 生字词来源于语文书 原创 （2） 成语 理解 填空 2 0.6 1.2 九上语文书 原创 （3） 修改病句（语序不当） 理解 填空 3 0.7 2.1 原创 （4） 具体情节+启发 90 识记、运用 简答 6 0.5 3 八上、八下、九上名著导读 原创 二、 阅读（68分） （一） 古诗阅读 （7分） 3 内容+景物特点 245 理解 填空 3 0.7 2.1 课外诗词+九下古诗 改编 4 对比阅读+人生态度 理解 简答 4 0.5 2 原创 （二） 文言文阅读（16分） 5 断句 769 理解、运用 选择 3 0.7 2.1 九下第三单元古文及课外相关人物故事阅读 原创 6 （1） 字词解释 识记 填空 1 0.6 0.6 原创 （2） 字词解释 1 0.75 原创 （3） 字词解释 1 0.75 原创 7 （1） 翻译句子 简答 3 0.6 1.8 原创 （2） 翻译句子 3 0.6 1.8 原创 8 两文事件概括 理解、探究 简答 4 0.5 2 原创 （三） 人物通讯（21分） 9 叙事手法、句子的作用、描写手法、语言风格 1885 理解、运用 选择 3 0.7 2.1 核心考点： 七下第二单元（家国情怀），侧重理清叙事思路、分析人物形象，对应第9题的记叙顺序判断、第 12题的人物形象分析、第 13 题的标题含义分析，关联专题学习活动《家国天下》 。九上第四单元（少年成长）：侧重主题探究与关键词句的深层含义、品味语言表达效果，对应第11题的词句赏析。 原创 10 概括事件 理解 简析 3 0.7 2.1 原创 11 （1） 语言赏析：加点字：形容词 理解 简析 3 0.6 1.8 原创 （2） 语言赏析：修辞的角度 理解 简析 3 0.6 1.8 原创 12 人物形象 概括、理解 简析 4 0.7 2.8 原创 13 探究主题 理解、探究 简析 5 0.5 2.5 原创 （四）议论文（12分） 14 论证思路、论证方法、文段作用语言风格 1289 理解 选择 3 0.7 2.1 根据九上第五单元，关联九上写作任务、其他单元的课后思考·探究·积累题目以及阅读综合实践、知识卡片、等命题 原创 15 信息提取能力 理解、应用 概括 4 0.7 2.8 原创 16 论据应用 理解、运用 简析 5 0.5 2.5 原创 （五）非连续性文本(12分) 17 信息筛选与匹配能力 1007 理解、运用 选择 3 0.7 2.1 关联专题学习活动活动 “实用性阅读与交流” 学习任务群，同时兼顾 “语言文字积累与梳理”“文化自信与传承” 等核心素养。 原创 18 信息筛选、图文转换、画面要素提取与整合 理解与概括、运用 简答 3 0.6 1.8 原创 19 运用知识解决实际问题的实践能力 分析、综合 简答 6 0.5 3 原创 三、写作（60分） 20 成长主题 186 综合运用 表达 60 0.75 45 成才主题（写人、叙事、议论） 原创 总评 6256 150 0.7456 100.3 Sheet1 2026年福建省命卷比赛作品——2026届福建省高考数学自编模拟卷多维细目表 题号 题型 主题板块内容 分值 考查知识点 学科素养 考查要求 预设难度及系数 数学抽象 数学运算 数学建模 数据分析 直观想象 逻辑推理 基础性 应用性 综合性 创新性 1 单选题 集合与逻辑用语 5 集合的交并补运算（离散型） √ √ √ √ 容易0.9 2 复数 5 复数模的运算 √ √ √ √ 容易0.9 3 函数图像与性质 5 分段函数的奇偶 √ √ √ √ √ √ 容易0.85 4 函数图像与性质 5 函数图像变换与对称中心 √ √ √ √ √ √ 容易0.8 5 解析几何 5 抛物线定义 √ √ √ √ 容易0.75 6 函数图像与性质 5 三次函数的极值与概率 √ √ √ √ √ √ √ √ 中档0.7 7 不等式 5 不等式求最值 √ √ √ √ √ 中档0.5 8 三角函数与解三角形 5 三角方程的根与函数零点 √ √ √ √ √ √ √ √ 难题0.45 9 多选题 数列 6 等差数列通项、前n项和 √ √ √ √ 容易0.8 10 函数图像与性质 6 傅里叶变换与函数性质 √ √ √ √ √ √ √ 中档0.6 11 三角函数与解三角形 6 三角函数求值与恒等变换 √ √ √ √ √ √ √ 难题0.3 12 填空题 函数图像与性质 5 对数的四则运算 √ √ √ √ 容易0.85 13 解析几何 5 平面向量数量积与圆中最值 √ √ √ √ √ √ 中档0.4 14 三角函数与解三角形 2+3 双曲正余弦函数性质及恒成立、存在性求参数范围 √ √ √ √ √ √ √ 难题0.15 15 解答题 数列 13 数列的通项公式及求和 √ √ √ √ √ 中档0.55 16 立体几何 15 面面垂直的判定、求线面夹角的正弦值 √ √ √ √ √ √ 中档0.45 17 统计概率 15 离散型随机变量概率，数学期望性质证明 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 中档0.35 18 解析几何 17 椭圆方程及位置夹角关系 √ √ √ √ √ √ √ 难题0.25 19 新定义数列与概率 17 结合阅读材料形成新定义创新题型（多知识模块交汇） √ √ √ √ √ √ √ √ 难题0.15 【考试整体说明】 （1）题型分值分布（满分150分） 单项选择题：8小题，每小题5分，共40分；多项选择题：3小题，每小题6分，共18分；填空题：3小题，每小题5分，共15分；解答题：5大题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分； （2）试卷难易度 容易题约35-40分，中档题约65-71分，难题约39-45分；比例：约为2.7：4.7：2.6；整体难度系数0.48 $保密★启用前 2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学模拟卷 参考答案 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。 题号 2 3 4 5 6 个 8 答案 A c B D B C C D 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，选错得0分，部分选对得部分分。 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第1问2分，第2问3分。 13.[-4-2W10,-4+210]: 2026届福建省高考数学模拟卷·答案详细解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1、(原创)已知集合A={x∈Nxs2},B={yy=x2+1},则A∩B=() A.{1,2 B.{0,} C.{0,1,2} D.{x|1≤x≤2} 【答案】A. 【命题意图】：本小题主要聚焦考查离散型的集合子交并补等运算知识；考查对集合元素限制条件、以及 集合元素的范围与代表符号之间的区别与认识：体现了分析性、运用性；导向对数学分析、数学运算等素 养的关注。 【试题解析】：利用绝对值不等式，函数的值域，及集合的交集运算等有关知识求解 因为A={eNx2}={0,12,B={y=x+=L+∞)，所以AnB=1,2号，故选A. 2.已知复数31，z2满足31=3+4i,|z2=1,若z=31+z2,则z可能等于 A.-5+5i B.5+5i C.3+4i D.4+5i 【答案】C 【试题解析】 根据复数的几何意义，可知z-z2‖≤|3+3≤‖+川32川，即4≤|+22≤6， 对于选项A,|-5+5i=5W2>6,不符合题意： 对于选项B,|3+4=5,符合题意； 对于选项C,15+5i=5V2,不符合题意： 对于选项D,|4+5i=√41>6，不符合题意：选C. [x2-2.x+2x(x≤0) 3.(原创)已知定义域为R的分段函数f(x)= ax2-bx+c2*(x-0) ,若f为奇函数，则下列结论正确的 是() A.a=1,b=2,c=1,f(x)在R上单调递增 B.a=-1,b=2,c=-1,f(x)在R上单调递减 C.a=1,b=2,c=1,f(d)在(0，+0)递增，(-o,0)递减 D.a=-1,b=2,c=-1,f(x)在(0，+m)递增，(-o,0)递增 【答案】B. 【命题意图】：本小题主要聚焦考查分段函数的奇偶性、单调性等知识：考查数学运算能力，推理论证能 力等；体现了分析性、运用性：导向对数学分析、数学运算等素养的关注。 【试题解析】 奇偶求参数：当x>0时，-x<0,f(-x)=ax2-bx=-f(x)=-x2+2x: 对应系数相等：a=-1,-b=2→b=-2 单调性判断：x≥0时，f(x)=x2-2x,对称轴x=1,在[1，+∞)增，[0,1]减： x<0时，f(x)=-x2-2x,对称轴x=-1,(-∞，-1)增，（-1,0)减： 故选B. 4.(原创)己知函数f(x)=x+1,则函数f(2x-1)的对称中心坐标是（) A0的 B.1,2) c.2) 【答案】D 【命题意图】本小题主要考查三次函数图像，以及类比三角函数的平移伸缩图像变换知识：考查推理论证 能力等：考查数形结合思想、化归与转化思想等：体现基础性、综合性，导向对直观想象、逻辑推理等核 心素养关注。 【试题解析】 解法一：易得f(x)=x+1关于(0,1)中心对称，则f(x-1)关于1,1)中心对称，函数f(2x-1)的图 像可看作由f(x-1)的图像所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，因此，由f(x一1)对称中心 坐标为QD得：函数f2x-)的对称中心坐标是（兮D: 解法二：易得f(x)=x+1关于(0,1)中心对称，则f(2)的图像可看作由fx)的图像所有点纵坐标 不变，横坐标缩短为原来的一半，因此，由f(x)=x+1关于(0,1)中心对称得：f(2x)的对称中心坐 标是(0,1)：函数f2x-D的图像可看作由f2)的图像向右平移】个单位，因此，f(2x-)的对称中 心坐标是(，)： 故选D. 5.在平面直角坐标系xOy中，已知两抛物线C1:y=2Px和C2:x=2y,且F为C1的焦点，9为C,与C 的公共点.若1OQ=2W2,则|Q= A.2 B.2 c.5 D.3 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等知识；考查运算求解能力、推理 论证能力等：考查数形结合思想、化归与转化思想等：体现基础性、综合性，导向对数学运算、直观想象、 逻辑推理等核心素养关注， 【试题解析】：由对称性可知C与C,的交点Q必在直线y=x上，由OQ=2W2,可得Q(2,2). 代入方程得P=1,则F四=2+】=.故选B. 22 6.(原创)己知a=n0.3、b=log、c=32、d=0.2°，从这四个数中任取一个数t,使函数 f(x)=x3+3tx2+3x+1有极值的概率为() A! B 3 D.1 4 4 c时 【答案】c 【试题解析】：由函数f(x)=x+3tc2+3x+1有极值可求得t的范围为(-o,-1)U1,+0) 且a<-lc>1,0<b<1d=1,有两个符合，慨率为分，故选C 7(原创)若a>0.6>0,a+2b=山，则2a。公的最小值为() A.1 B.3 c.5 D.7 【答案】c 【命题意图】本题考查运用基本不等式求最值等基础知识，考查运算求解能力等：考查化归与转化思想等： 导向对数学抽象、数学运算等核心素养的关注；体现基础性、应用性. 【试题解析】 解法-：自a+2动=，得6-2则分a-2,因为a>0且6>0.所以a-20 R入化简面a22士62a+h2a2t)2a21”-2+2a22 b b a-2 因此由基本不等式可得2a-2)+2+1≥2√4+1=5， a-2 当且仅当2a-2=。己2即a=3时，等号成立，故选C 解法=：由a2办=咖，得b=22因为a0且6>0.所以a-20, 代入化简可得2a+b_2b-4b+6 -=2a+b-4, b b 将b=a代入可得2a+b-4=2a+a。-4=2a+a-2+2-4=2a-2)+2+1, a-2 a-2 a-2 a-2 因此前基本不等式可得20a-9+。22+1≥2+1=5， 当且仅当2a-2)=2,即a=3时，等号成立，故选C a-2 解法三：由a+2办=心，得a=治，因为a≥0且b>0,所以6-1>0， 代入化简可得2a+B_2ab-4b+b b =2a+b-4, b 将a代入可得20496-40。》4640-01， b-1 b-1 因此由基本不等式可得。1+6-)+1≥2A+1=5, 当且仅兰61即63时.等号成立，放选C &已知经是函数)=i(s>0)的个意点：当x得受时，f00,则方程2=1-四 在区间(0,3四内所有根的和为 4贸 C.15π D.21π 4 4 【答案】D 【命题意图】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识；考查推理论证能力、运算 求解能力等，考查特殊与一般思想、函数与方程思想、化归与转化思想等：体现基础性、综合性，导向对 发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注， 【试题解析】 Lo-L≥2km-元 43 解法一：由题可知 3兀_L≤2kL, [8k-8≤os16k+8 化简得 3 39 83 0>0 0>0, 所以8g5+号。长号ez,解相太=0或1，故00号政5≤的 3 由f=0得50r骨机，即0=2诚+号岳ez, 综上w-号所以f倒=m-孕，由f+2/到-1得=-1或- 令1=2x-亚1（亚，5码），在此范围，恰有3个零点，设P)零点分别为，5店， 33 33 则4-0-12)，当1=-1时，4-经；当sm1-兮时，6+4-， 2 所以专+t+= 与)北经，所以与 2 _21π.故选D. 4 解法二：设函数f)=sin(@r-孕的最小正周期为I, 因为当x西时，f四<0，所以<，所以T>,亚亚-5< 4’8 842 428821 救当xe(停受时，f<0,从面子牙子即T受所以0故0<w<4, 4'2 242 02 又由f5=0,得-亚2，解得o=4+2keN), 23 故o=2,所以f)=sin2x-5. 2 3 31 、9(x)=f(m)+2fx川 ()-sale) 0 又由2f(x=1-f(x,得f(x+2f(x)=1, 令g0=f)+2,则80=f0,<0, [3f(x),f(x)≥0， 又f(x)的最小正周期T=3π，作出y=g(x)的图象 则直线y=1与曲线y=g(x)的交点的横坐标为方程2f(x)=1-f(x)的根， 由图可知方程2f(=1-f(d)有三个根x,5,5(:<5<5), 2即，+%= 且xs2),+5=220 5π.T11π 2 2’ 424 从而飞+5+名=21匹，放正确答案为D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.记Sn为数列{a}的前n项和，若4=1，aH=S.,则 A.4=2 B.{a}为等比数列 C.S,=16 D.{log2S}为等差数列 【答案】ACD 【命题意图】：本小题以数列递推关系式为载体，考查等差、等比数列的定义、性质、前项和等知识：考 查运算求解能力、逻辑推理能力；考查特殊与一般思想；考查数学运算、数学建模等核心素养，体现基础 性与综合性. 【试题解析】：当n=1时，a2=S=1,a=S,=2,故选项A正确： 因为{a}的前三项依次是1,1,2，不成等比数列，故选项B错误： 当n≥2时，a.=Sn-S-1=a1-a，化简得a+1=2a, 所议&{，12直82，S=141++20☒)，3=26，放c正 可得S=2-1>0,故取对数得1og2Sn=1og22-1=n-1, 所以l0g2S,-log2Sn-1=n-1-(n-2)=1,故选项D正确 10.(改编)当今科技飞速发展的时代，人工智能(AI)己经成为了各大行业追逐的焦点，许多人都被新 一代自然语言处理工具的兴起所震撼，如ChatGPT和DeepSeek等大语言模型(LLM)正引领着技术革命 的风潮。在这一波技术浪潮中，许多技术背后的原理与发明也被重新审视，其中一个极其重要但往往被忽 视的数学工具，就是l807年法国数学家约瑟夫·傅里叶(Joseph Fourier)所提出的“傅里叶变换”。可以 说，没有傅里叶变换，就没有今天的人工智能应用！他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构 成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数f)= cos(2n-1)x 32 当 2兀 (2n-1)2 x∈[0，]时，有f(x)=x,则(). A.函数(x)的最小正周期为兀： B点 是函数∫(x)图象的对称中心 FOURIER GR-1 (44 11 1 D.1+ ++… (2-1 十… 8 【答案】.BCD 【命题意图】：本小题主要考查函数新定义、函数的周期性的定义与求解、判断或证明函数的对称性、由 函数的周期性求函数值；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查特殊与一般思想；考查数学运算、逻辑 推理、数学分析等核心素养，体现基础性与综合性.可根据函数∫(x)的表达式结合余弦函数的最小正周期 可判断A:由己知推出f(元-x)+f(x)=π可判B;根据函数的周期性以及x∈[o,时，有f(x)=x可判断C: 令x=0代入函数表达式求值，判断D. 【试题解析】1：由于f()=4csx+cos3x+cos(21-l1)X 2π 32 (2n-1)2 且y=C0Sx的最小正周期为2π，则2π也是cos3x,cos5x,,cos(21-1)x的周期， 故f(x)的最小正周期为2元，A错误； (cos(cos36t05(-10- 32 (2-1)2 π，4 2 0Cosx⊙s3x土coSC22一1)x (2n-1)1 故/(-+=，即点受到是函效()图象的对称中心，B正确： 由题意知f(x)是偶函数，且当x∈[0，π]时，有f(x)=x, 故1-4（到f孕-异c正确： (2n-1)2 令x=0,则f0)=及4 2 32+…+c0s0 cos0+cos0 (21-1）2 即π4/ （2m-+…0所以1+京+5++2 11 1+ 2元 (2m-+ 8,D正确， 故选：BCD 11.(原创)己知，x,x3是方程sin3x+sin4x=0的根，且0<x<x<5<π，则(). A号 12π B.+3+3= 7 C.Co COS COS 1 D.cos+coS+CO= 1 【答案】ACD 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等知识：考查运算求解能力，逻辑推理能力等：考查函数与方程 思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性、应用性，导向对发展数学运算、逻辑推理等核心素养的 关注 【试题解析】：对于A,解法一：由题知x1,x2,x3是sin3x+sn4x=0的三个根， sin3x+sin4x=0化为sin4x=-sin3x,即sin4x=sin(3x+π)， 所以可得4x=3x+元+2kπ或4x=元-(3x+刀)+2k元，k∈Z, 解得=+2r或x-2Z 因为x∈0，所以气-牙馬行馬-死，放A正确： 解法：因为血3x+n4=0,所以n受当+n号争=0， 2 2 2 2 os 7%sin +cos 2 2 所以2am受o0,即sm号 2 7x=0或c0s)手0，即=kπ或)=罗+k元，k∈乙， 2 22 因为e@:所以等平警名经板A正确： 对于B,因为x1+x2+x3=2元，故B错误； 对于C因为年-2牙红出年，即5=+， 所以tam考=tam(s+名)=1-tan tan六； :tany+tan,所以tanx,l-tanx·tan)=tanx+tanx 所以tanx3-tanx2-tax=tanx1tanx23tanx3,故C正确. 对于D,因为c0sc0sx,c0s5=cos2co94杯cos6 7 7 cos2x-9-6ows号 2元4π 2元4元8元 cos- -cos- 7 7 2sm2元 7 2sin 4 cos 4 cos 2sin cos 7 7 > sin 16z 7 sin(2元+2 sin 2π 7 1 2π 4si 2元 2元 2元 2π P 8sin- 8sin- 7 8sin > 8sin 故D正确；故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(改编自2025年韩国高考第6题)已知实数a,b>1,若1og.b=3,log b=2,则1ogb= 【防案1 【命题意图】：本小题主要聚焦考查指对互化和简单的指对数运算等知识；利用指对互化、对数运算基本 法则等有关知识求解.考查了将指数与对数互相转化的数学化归思想：体现了分析性、应用性；导向对数学 分析、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注。 【试解析】：因为实数ab>1,1g,-3,所以=；又因为1og。-2,所以名-9，b=9a； 因此=9a,2=9,a=3,所以o-loga×3lgg-g3月， 2 故答案为：2 13.(原创)在直角坐标系中，己知点M(-1,0)、N(0,3),A,B是圆C:x2+y2=4上的动点，且|AB上4， 则MA.B的取值范围是 【答案】：[-4-2W10,-4+2W10 【命题意图】：本题考查平面向量数量积定义运算及坐标运算、重点考查双动点平面向量数量积的几何特 征和代数特征等知识：考查数据处理能力，应用意识，运算求解能力；考查了数形结合、一般与特殊思想； 体现基础性、应用性，导向对数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养的关注： 【试题解析】 -2m1 o B 图1 图2 图3 解法一（坐标法） 如图1，在平面直角坐标系中，因为A,B是圆C:x2+y2=4上的动点，且|AB=4,所以AB 是圆C的直径，且点A,B关于原点中心对称： 故，不妨B(2cos,2sina),A(-2cosa,-2s1n) 则：MA=(-2cosa+1,-2sina,WB=(2cos,2sina-3) 所以：MA.NB=-4cos2o+2cosa-4sina+6sina =-4+6sina+2cosa=-4+2W10sin(a+0)(其中0为辅助角) 当且仅当sin(a+O)=±1时，MA.B取得最大、小值， 故：MA.B的取值范围是[-4-210，-4+2√10]. 解法二（极化恒等式法） 在平面直角坐标系中，因为A,B是圆C:x2+y2=4上的动点，且|AB=4,所以AB 是 圆C的直径，且点A,B关于原点中心对称： 由于M=(-1,0),M'=(1,0),MA,MB互为相反向量， 所以：MA.NB=-MB.NWB=-BM.BV 如图2，由极化恒等式得：MA.NB=-(B五-Ni)=N匠-B五 由于r--0y+0习=0，所以f-(,-月 如图3，由点B与圆C的位置关系可得： me12-2+1,则丽咛2io片2而. 故：MA.N8的取值范围是[-4-210，-4+2W10] 解法三（基底法） 在平面直角坐标系中，因为A,B是圆C:x2+y2=4上的动点，且AB=4,所以AB 是 圆C的直径，且点A,B关于原点中心对称： 由于：MA.NB=(OA-OM.(OE-OW)=OA.OB-OA.ON-OM.OB+OM.ON 所以：MA.NB=-4-OA.ON-OM.OB=-4-OA.ON+OM.OA MA.NB=-4-OA.(ON-OM)=-4+OA.NM=-4+2x10 cos <OA,NM> 当且仅当cos<OA,NM>=±1时，M.NB取得最大、小值， 故：MA.B的取值范围是[-4-210，-4+2W10]. 14(原创)已知双曲正弦函数ihx=e-e，双曲余弦函数cosh=e+e.则O 2 2 cosh2x-2sinh2x=:②若t∈R,3x∈n2,ln4],都有(cosh2x-t-1)t-sinh x),则m的取值 范围是 7289 【答案】1；[- 660 【题目来源】：人教A版高中数学必修一P160页，复习题6；以及P920页对勾函数 可综合运用 5达择圈 程究品量，一，一的图象与性摄 )已知集合A=yly=6grr>1.B=yy=>1,则AnB=(, 0y0<y<号By0<<(Cy<y☑D)2 下台0网阳04州a版说-a底，-+ (2已知fx)=gr,若a=f()小：b=f代.e=f2),则(. (A)a<ie (B)be<a (C)Sas (D)c<a 证明，事0时，十本果线有，一，期：-期张得平：。 (3)已知函数fx)=2+,g)=ogr十，h)-r+r的零点分别为a,b,c,测 :c的大小顺序为 (A) (B围b>>a (C)c>a>b (D)a> 设)=，g)=,求证 (D [g()-[foF=1: (2)f(2r)-2f(r)g(rh (3)g(2x)-gr)+Lr ,指数雨数y一（名）的图象如图所示，求二次雨数y一+：图象 重文化成州在制，一，十二种能里意地号 真点的横坐标的取值范洞。 160第网章指数函数与对数函数 【知识考查】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、指数幂的化简、求值、利 用函数单调性求最值或值域： 【思路分析】(1)根据双曲正弦函数、双曲余弦函数的定义展开计算即可.（2)把问题转化成二次不等式 恒成立，再转化为一元二次函数图像与判别式△的关系求解 【命题意图】：本小题主要考查双曲正弦函数、双曲余弦函数；函数单调性、奇偶性、最值等知识；考查 了推理论证能力，运算求解能力，抽象概括能力，创新与应用意识；考查了数形结合等数学思想；体现了 分析性、应用性、综合性，导向对数学分析、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注 【试题解析： (1)可证： cosh2x-2sin+e -2-ey ,g(x)=e+e 6.设f(r)=ee 2一，求证 2 2 (1)[g(x)]2-[f(x)]2=1: e2x+e2x -2e2-2+e2x (2)f(2.x)=2f(x)g(x); 2 4 (3)g(2x)-[g(x)]+[f(x)]2. e2x +e-2x e2x-2+e2x 2 =1; 2 2 2 (2)由(1)得：若t∈R,都有(cosh2x-t-1t-msinh)9 可化为(2sinh2x-t0(t-msinh x)一t2-(msinhx+2simh2x)t+2sinh3x+1≥0恒成立 =t-(msimhx+2sinht+2msinhx+1 则()为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，所以对t∈R恒成立， 只需△=(msinh x+2sinh2x)2-4(2sinh3x+1)≤0 整理得：△=4sih4x-4sinh3x+m2simh2x-4≤0 =4sinh3x-4msinh3 x+n sinh2x-4 sinh2 x(4sinh2 x-4msinhx+m2)-4 sinh2 x(2sinh x-m)2-4<0 (2 sinhx-m)2≤_4 sinh2x 由sihx=c-c为R上的奇函数，且在x∈n2,n4上单调递增，开方得： 2 2 2 故：2 sinh x- -≤m≤2 sinhx+ sinhx sinhx 对于3x∈[n2,1n4, 2 则：(2 sinhx- )≤m≤(2 sinh x+ sinhx sinhx ()=cosh 2x+11+2sinh?x+1 =2sinhx+ 2 sinhx sinhx sinhx 此时，f(x)在x∈(0,1)上单调递减，x∈1，+o)上单调递增， 6,如0=2x5名-28测 3.225 f0m2)=2x+ 81560: 4 8 ·f)a=max{f0m2y.f血4}-28 60 ()=cosh 2-3-1+2sinh32sinh 2 sinhx sinhx sinhx: 此时，f(w)在xe[n2,n41上单调递增；.f(x)n=fn2)=2×3、2、 ×43=-6 4 综上：的取值范围- 65ms 289 60 14.(改编备用)函数f)=2+30-x3的零点是一（提示：4=c,a,b,c>0,b) 【试题解析】：解法一：由f)=0得，2x+3=x沥=B5x， 由8+27=35,2=8,39=27，得8 +27 易得，当nx=1时上式成立，所以x=e, 下证唯一性： 方程235”两边时除以35得-=1 35 设=袋产， 35 由复合函数单调性易得g(x)为减函数， 所以存在唯一的x使得上nx=l成立。 、3 解法二：由f()=0得，2血x+3血x=x沥 由d3=c，得2=x2,3x=h3,故有2+3=， 令x=e得，e2+33=eh5,所以2+3=355， 易得，当t=3时，2+3=35，即x=e3, 3 )=1, 下证唯一性：方程2+3=359两边同除以35，得(？+ 设0房+ 2+（ 3},易知80为减函数， 所以存在唯一的t,使得t=3成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(满分13分) 己知数列{an}满足4凸=2，n+2=(n+1)a.（n∈N),且bn=a·amH(n∈N) (1)求数列b}的通项公式： (②)若bc,-2少ueN)，求数列在，}的前n项和. n+1 【答案】(1)b.=21(6分) ②2-29分) n+1 【分析】本小题主要考查数列的递推关系式、累乘法求数列通项公式、裂项法求解数列前项和等基础知 识；要求学生具备整体认知数列结构的能力，体会从特殊到一般的归纳方法，侧重考查学生的运 算求解、推理论证能力：考查化归与转化思想、函数与方程思想；体现综合性、应用性，导向对 数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养的关注.第(1)小问，结合已知，探究数列b}的递 推关系，是解决第1小问的关键，执果索因，有了目标导向的意识，就不难得到=02=n+ 根据结构，可知需用累乘法求解私}的通项公式。第(2)小问结合第1小问求出的私}的通项公 式，可得c= 2"(-1) ,分析结构特征，选择裂项求和方法，关键在于将分子n-1写成2n-1+) n(m+1) 的形式，再裂项就不困难了。 【解析】(1)因为么=aa4,所以AH=aHa,于是=马型=”+ …2分 12n-1=2,4分 义么=aa2:当心2时，b,=4冬会2与22” 由于b=2也符合上式，故bn=21,n∈N. .…6分 2由bc=2m-neN)·可得ce20a-D=2_2 ,…9分 n+1 (n+1)n+1n 故数列6，}的前n项和为22,22++222 2132 n+1nn+12.13分 16.(满分15分) (改编)如图，在以S,A,B,C,D为顶点的五面体中，四边形ABCD为直角梯形，CD⊥BC, AD/BC,AD=CD=BC=2,平面SCD1平面SBC,SB⊥SC. (1)求证：平面SAB⊥平面SCD: (2)若五面体S-ABCD的体积为4，求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 【答案】(1)证明略(6分) 四}9分) 【分析】本小题主要考查空间中的线面垂直、面面垂直、空间几何体的体积及空间角等基础知识：要求熟 悉空间中垂直关系的相互转化，能准确写出完整的条件，能用空间向量的方法求解空间角。侧重 考查学生的运算求解、推理论证和空间想象能力；考查化归与转化思想思想：体现综合性、应用 性，导向对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的关注.第(1)小问，要求学生厘清空 间中的线线垂直、线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，并能熟练实现三者的相互等价转化， 问题即可得解。第(2)小问利用体积确定底面三角形后，建立空间直角坐标系求解，属于较为 容易的基础题。 【解析】(1)因为平面SBC⊥平面SCD, 平面SCD∩平面SBC=SC,SB⊥SC,SBC平面SBC,…2分 所以SB⊥平面SCD. …3分 又因为SBC平面SAB,所以平面SAB⊥平面SCD.…6分 (2)因为SB⊥平面SCD,CDC平面SCD,所以SB⊥CD, 又CD⊥BC,SB∩BC=B,SB,BCC平面SBC,所以CD⊥平面SBC,…7分 过S作SO⊥BC,有CD⊥SO,所以SO⊥平面ABCD,…8分 而五面体S-ABCD的体积为 v=11 ×5×(2+4)×2×S0=2S0=4,所以S0=2, …9分 32 又因为SB1SC,BC=4,所以O为BC的中点，… 10分 连接AO,以O为坐标原点，以OS,Oc,OA所在直线分别为x轴，y轴，二轴，建立空间直 角坐标系O-z,如图所示，有S(2,0,0),B(0,-2,0),A(0,0,2),D(0,2,2), SD=(-2,2,2),S8=(-2,-2,0),S4=(-2,0,2). 设平面S4B的法向量为m=c为，则由m=-2+2z=0取x=1,得m=,-1D. m.SB=-2x-2y=0. …13分 设直线3D与平面4B所成角为0，则sim6=os<sD,mV53:2N5 2 1 所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为 15分 17.(满分15分) (改编)新药开发投入市场之前，一般需要先进行动物试验.现有某一新药，即将进入动物试验阶段， 规定如下：将所有参加试验的动物进行分组，每组5只，并任选一组进行试验.第一轮试验，该组的每只 动物都服用，若该组中至少有4只动物产生药效，说明新药有效，试验终止；否则对该组中尚未产生药效 的动物进行第二轮使用，再次试验.如果二次服用的动物都产生药效，说明新药有效，否则需要重新改进.设 每只动物是否产生药效相互独立，两次使用新药互不影响，且产生药效的概率均为(0<p<1). (1)求该组试验只需第一轮使用的概率（用含p的多项式表示）： (2)试验结束，记该组每只动物需要服用新药的次数总和X的数学期望为E(),求证： 5<E(0<10-5p 【答案】(1)5p4-4p5(5分)(2)证明略(10分) 【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列、二项分布、期望、二项式定理、不等式的性质等基础 知识。本题背景设置来源于生活，具有较强的现实意义，设计了概率统计与不等式、二项式定理 的知识交汇，对学生的阅读理解能力、数据分析和处理能力、数学模型识别和提炼的能力都提出 了较高的要求，较好地体现了综合性、创新性和应用性，导向对数学运算、数据分析、逻辑推理 等核心素养的关注.第(1)小问，要求学生能够识别二项分布这一重要的概率分布模型，清晰 解读题意，明确只需第一轮使用对应的随机变量取值，问题即可得解。第(2)小问的难点在于 对数学期望的化简求解，要求学生对组合数的性质和二项式定理的结构特征较为熟悉，在充分符 号化的代数多项式式的等价转化中能够识别模型、化繁为简，充分考查了学生的综合能力、计算 能力、模型识别和提炼能力以及应用能力，对于学生而言是不能轻易解决的难题。 【解析】(1)平均每组5只， 设第一轮使用有Y只动物产生抗体，则YB(5,卫)，… …2分 所以PY=5)+PY=4)=p+5p41-p)=5p4-4p3, 所以该组试验只需第一轮使用的概率为5p4-4p.…5分 (2)由(1)得P(X=5)=5p4-4p3，P(X=7)=CD31-p)2,P(X=8)=Cp1-p)3, P(X=9)=CD1-p)4,P(X=10)=C3Q-p)5,. …7分 所以E(X)=5P(X=5)+∑(5+k)P(X=5+k) =5(D+5p1-p》+∑(5+kc1-p)*p5- =c时a-pmjp+c0-p时rcy0-pp, …9分 =0 设5~B(5,1-p),则E(5)=∑C5A-p)pt=5I-p)· 0 又∑Cg*1-p)p=Q-p+p)3=1, …11分 =0 所以E(X)=50-p+p)+51-p)-51-p)p4 =5+51-p)-51-p)p4=10-5p-5p4+5pi =5+5(1-p)1-p4)…13分 因为0<p<1,所以E(X)>5. 又E()=10-5p-5p4+5p5=10-5p+5p(-1),0<p<1,所以E(X)<10-5p, 所以5<E(X）<10-5p. …15分 18.(满分17分) 政编)已知椭圆C: +长-1a>b>0的离心率为；，短轴长为25。 (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C上有一动点P6,6),且点P不在x轴上，己知M0.0),-1,0,点B(吃6,3）。 (1)证明：点E为△PMN内切圆圆心：(ii)求∠MEN的最大值。 【答案】a0号+上-14分 (②0证明略(8分))2 ·(5分) 43 【解析】G1)由题意可设能圆的半焦距c,则后号：2b-2V5,G=b+ ∴.a=2,b=5,c=1 故椭圆C的标准方程为 =… 4 …4分 3 ②)0直线PM的方程为y飞红-，即%x+6。-y-乃=05分 又点P在椭圆C上，乃2=30- …6分 4 ∴点E到直线PM的距离 1 1 d=- +0-6)3%-% 2 66川6-4到 %川5-4到 1 V%2+1-6刀 %…9分 26-4 4 同理可得点E到直线PN的距离也为|… …10分 又点E到直线MN的距离为|y… …11分 ∴点E到△PMN三边的距离都相等，故点E为△PMN内切圆圆心. …12分 0点P在椭图C上，片=30- 4 ,可得： M 1 1 3% 9 kEM·kN= 36 y2.1 11-1 ………13分 i设∠BMN=a,∠BM=taa-tanB=-k-3 1 …14分 由椭圆的对称性，不妨设tanB>0 ,点P不在x轴上，∴.点E不在x轴上，∠MEN=元-（∠EMM+∠EMW)=元-(a+B) .m/ANlara 1-tan a.tan B 2 3 =--(tan B+- …15分 3tan B .'tan B>0 …tanB+ 1 12W3 22 tan 8.3tan 6=3 当且仅当mB-5时取等号…16分 3tan B 此时，tan∠MBN取得最大值-V5:∴.∠MEN的最大值为 2π …17分 19.(满分17分) (2024年新I卷19改编)设为正整数，数列a1,a2,.,a3m+2是公比q>0且q≠1的正项等比数列， 若从中删去两项4和a,(i<)后剩余的3m项可被平均分为m组，且每组的3个数都能构成等比数列，则 称数列a1,a2,,a3m+2是(i,j)-可分数列. (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤5，使数列a1,a2,,a5是(i,j)-可分数列： (2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,,a3m+2是(2,10)-可分数列； (3)从1,2，，3m+2中一次任取两个数i和j(i<j),记正项等比数列a,a2,,a3m+2是（位，）-可分数列的 概率为Pm,证明：Pm>号 【参考答案】： 【解析】 (1)【解法一】首先，我们不妨设正项等比数列a1,a2,,a3m+2的公比为q(q>0且q≠1)，则ak= a1.qk-1(k=1,2,,3m十2)…1分 故我们可以对该数列进行适当的变形：ak=lo9g+1(k=1,2,3m+2), 得到新的等差数列ak=k(k=1,2,.,3m+2),然后对a1,a2,,a3m+2进行相应的讨论即可. 回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5中删去两个数i和j(i<),使得剩下三个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是1,2,3，或3,4,5，或2,3,4 所以所有可能的(，)就是(1,2)，(1,5)，(4,5) 【解法二】举例法：不妨设：a1=21,a2=22,a3=23,a4=24,a5=25:若删去两项a和a(d<)仍能 构成等比数列，则(，)取(1,2)，(1,5)，(4,5) …4分 (2)对于变换后新的等差数列a=k(化=1,2,3m+2),对a,a,,agm+2进行相应的讨论如下： 由于从新的等差数列1,2，，3m+2中删去2和10后，剩余的3m个数，每3个数分为一组共m组，3m 个数可划分为以下两个部分，使得每组成等差数列： ①前11项去掉2和10后，剩余9个数：1,4,7，{3,6,9，{5,8,11)，每组成等差数列，共3组： ②后面3m-9个数：{12,13,14，{15,16,17，，3m,3m+1,3m+2},每组成等差数列，共m-3组. （如果m-3=0,则忽略②)，则变换后新的等差数列1,2，.，3m+2是(2,10)-可分数列. 故：原正项等比数列a1,a2,,a3m+2是(2,10)-可分数列； 【辅助2举例】：借助等比数列a1=21,a2=22a3=23,a4=24,a5=25,,agm+2=23m+2 …8分 (3)从1,2，.，3m+2中一次任取两个数i和j(i<j),记正项等比数列a1,a2,,a3m+2是(i,j)-可分数列 的概率为Pm 证明：当m=1时，由(1)得：所有可能的(i,)就是(1,2)，(1,5)，(4,5). 可分数列的概率为P。=是品>号 …10分 当m=2时，等比数列（不妨以a1=21,a2=22,a3=23,a4=24,a5=25,a6=26,a7=27,ag=28辅助） 是（位，j)-可分数列的有9种情况是：(1,2），(1,5)，(1,8)，(4,5)，(4,8)，(7,8)：(2,4)，(2,7)，(5,7) “·可分数列的概率为Pm==8 …12分 当m=3时，等比数列（不妨以a1=21,a2=22,a3=23,a4=24,a5=25,a6=26,,a11=211辅助）是 (位，)-可分数列的有16种情况是： (1,2),(1,5),(1,8),(1,11),(4,5),(4,8),(4,11),(7,8),(7,11),(10,11):(2,4),(2,7),(2,10),(5,7),(5,10),(8,10) 【说明：蓝色部分为按(3k+1,3r+2)可分的：红色部分为按(3k+2,3r+1)可分的】 :可分数列的概率为Pm=名>号 14分 以此类推，可以观察到，数列an是按(3k+1,3r+2)可分的，且0≤k≤T≤m.此时，共有Cm+1+(m+ 1)=+m+2种：【说明：k、r共可取0到m的m+1个数，c以+1代表：从m+1个数中，不重复的取2 2 个数，按照0≤k<r≤m赋值。另外，当k=r时，还有(m+1)种情况】 还可以观察到，数列a也是按(3k+2,3r+1)可分的，且0≤k<了≤m此时，共有C品+1=m+巴种； 2 【说明：k、r仍可取0到m的m+1个数，C品+1代表：从m+1个数中，不重复的取2个数，按照0≤k<r≤ m赋值】 综上，共有m+1m+2 +m(m+1) =m+1)2种 2 ∴可分数列的概率为Pm= (m+1)2m2+2m+1=2.m2+2m+1 C3m+2 9m2+9m+2 9m2+m+号 由于m2+2m+1>m2+m+号拒成立：Pm>号 得证。 …17分 【考查目标】：本题为数列、排练组合、概率综合的新定义题型，关键在于对新定义数列的理解，只有理 解了定义，方可使用定义验证或探究结论.对于数列问题，近年各地的质检、高考真题中，常见删减项、 添加项的命题考察角度。对于数列删减项、添加项，应明确：删减项后，余项仍构成等差、等比数列这一 特性。本题的改编，覆盖的考查知识能力点：等比数列、组合计数、概率统计等问题的综合运用。考查的 目的：可以培养学生的动手推理论证能力、运算求解能力；体现了综合性、创新性，有助于学生深入地认 识数列知识。 【改编说明】：本题是数列与概率结合的新定义题型，分值为17分。改编自2024年新课标全国I卷数学 的第19题，经过笔者对原题的理解，运用类比思考的方法，改编点有三个方面：①从等差数列到等比数 列的改造：②从项数4m+2到3m+2的变换；③从概率结论为始到号的证明改变。经过对解答过程的 反复举例、论证、计算，改编题目逻辑正确。 保密★启用前 2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学模拟卷 参考答案 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D B C C D 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，选错得0分，部分选对得部分分。 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第1问2分，第2问3分。 12．； 13．； 14．1； 2026届福建省高考数学模拟卷·答案详细解析 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、（原创）已知集合，，则（ ） A．　　　　 B．　 　C．　　 D． 【答案】A． 【命题意图】：本小题主要聚焦考查离散型的集合子交并补等运算知识；考查对集合元素限制条件、以及集合元素的范围与代表符号之间的区别与认识；体现了分析性、运用性；导向对数学分析、数学运算等素养的关注。 【试题解析】：利用绝对值不等式，函数的值域，及集合的交集运算等有关知识求解 因为，，所以，故选A． 2． 已知复数满足，，若，则可能等于 A． B． C． D． 【答案】C． 【试题解析】 根据复数的几何意义，可知，即， 对于选项A，，不符合题意； 对于选项B，，符合题意； 对于选项C，，不符合题意； 对于选项D，，不符合题意； 选C． 3.（原创）已知定义域为的分段函数,若为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，在上单调递增 B．，在上单调递减 C．，在递增，递减 D．，在递增，递增 【答案】B． 【命题意图】：本小题主要聚焦考查分段函数的奇偶性、单调性等知识；考查数学运算能力，推理论证能力等；体现了分析性、运用性；导向对数学分析、数学运算等素养的关注。 【试题解析】 奇偶求参数:当，; 对应系数相等： 单调性判断:时，，对称轴，在增，减； 时，，对称轴，增，减； 故选B． 4.（原创）已知函数，则函数的对称中心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D． 【命题意图】本小题主要考查三次函数图像，以及类比三角函数的平移伸缩图像变换知识；考查推理论证能力等；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性，导向对直观想象、逻辑推理等核心素养关注． 【试题解析】 解法一：易得关于中心对称，则关于中心对称，函数的图像可看作由的图像所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，因此，由对称中心坐标为得：函数的对称中心坐标是； 解法二：易得关于中心对称，则的图像可看作由的图像所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，因此，由关于中心对称得：的对称中心坐标是；函数的图像可看作由的图像向右平移个单位，因此，的对称中心坐标是； 故选D． 5．在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点．若，则 A． B． C． D． 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性，导向对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养关注． 【试题解析】：由对称性可知与的交点必在直线上，由，可得． 代入方程得，则．故选B. 6.（原创） 已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C． 【试题解析】：由函数有极值可求得的范围为 且，有两个符合，概率为，故选Ｃ 7．（原创）若,,，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C. 【命题意图】本题考查运用基本不等式求最值等基础知识，考查运算求解能力等；考查化归与转化思想等；导向对数学抽象、数学运算等核心素养的关注；体现基础性、应用性. 【试题解析】 解法一：由，得，即，因为且，所以， 代入化简可得， 因此由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故选C. 解法二：由，得，因为且，所以， 代入化简可得， 将代入可得 ， 因此由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故选C. 解法三：由，得，因为且，所以， 代入化简可得， 将代入可得 ， 因此由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故选C. 8．已知是函数的一个零点，当时，，则方程在区间内所有根的和为 A． B． C． D． 【答案】 【命题意图】 本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识；考查推理论证能力、运算求解能力等，考查特殊与一般思想、函数与方程思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注． 【试题解析】 解法一：由题可知化简得， 所以，解得或1，故得或. 由得，即． 综上，所以， 由得或． 令，在此范围，恰有3个零点，设零点分别为， 则，当时，；当时，， 所以，所以．故选D． 解法二：设函数的最小正周期为， 因为当时，，所以，所以，， 故当时，，从而，即，所以，故． 又由，得，解得， 故，所以． 又由，得， 令，则 又的最小正周期，作出的图象， 则直线与曲线的交点的横坐标为方程的根， 由图可知方程有三个根， 且，即，， 从而，故正确答案为D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．记为数列的前项和，若,，则 A． B．为等比数列 C． D．为等差数列 【答案】ACD 【命题意图】：本小题以数列递推关系式为载体，考查等差、等比数列的定义、性质、前项和等知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查特殊与一般思想；考查数学运算、数学建模等核心素养，体现基础性与综合性． 【试题解析】：当时，,,故选项A正确; 因为的前三项依次是1,1,2，不成等比数列，故选项B错误； 当时，，化简得， 所以，由，，，故C正确； 可得,故取对数得， 所以，故选项D正确. 10．（改编）当今科技飞速发展的时代，人工智能（AI）已经成为了各大行业追逐的焦点，许多人都被新一代自然语言处理工具的兴起所震撼，如ChatGPT和DeepSeek等大语言模型（LLM）正引领着技术革命的风潮。在这一波技术浪潮中，许多技术背后的原理与发明也被重新审视，其中一个极其重要但往往被忽视的数学工具，就是年法国数学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）所提出的“傅里叶变换”。可以说，没有傅里叶变换，就没有今天的人工智能应用！他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数，当时，有，则（    ）． A．函数的最小正周期为； B．点是函数图象的对称中心 C． D． 【答案】．BCD 【命题意图】：本小题主要考查函数新定义、函数的周期性的定义与求解、判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查特殊与一般思想；考查数学运算、逻辑推理、数学分析等核心素养，体现基础性与综合性．可根据函数的表达式结合余弦函数的最小正周期可判断A；由已知推出可判B；根据函数的周期性以及时，有可判断C；令代入函数表达式求值，判断D. 【试题解析】：由于， 且的最小正周期为，则也是的周期, 故的最小正周期为，A错误； 故，即点是函数图象的对称中心，B正确； 由题意知是偶函数，且当时，有， 故，C正确； 由于， 令，则， 即，所以，D正确， 故选：BCD 11．（原创）已知是方程的根，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力等；考查函数与方程思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性、应用性，导向对发展数学运算、逻辑推理等核心素养的关注. 【试题解析】：对于A，解法一：由题知,,是的三个根， 化为，即， 所以可得或,， 解得或,， 因为，所以,,，故A正确； 解法二：因为，所以， 所以， 所以，即或，即或，. 因为，所以,,，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为,,，即， 所以；所以 所以，故C正确． 对于D，因为 ， 故D正确；故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（改编自2025年韩国高考第6题）已知实数，若，，则____ 【答案】： 【命题意图】：本小题主要聚焦考查指对互化和简单的指对数运算等知识；利用指对互化、对数运算基本法则等有关知识求解.考查了将指数与对数互相转化的数学化归思想；体现了分析性、应用性；导向对数学分析、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注。 【试题解析】：因为实数，，所以；又因为，所以，； 因此，，，所以， 故答案为：. 13.（原创）在直角坐标系中，已知点、，，是圆：上的动点，且， 则的取值范围是_____________. 【答案】： 【命题意图】：本题考查平面向量数量积定义运算及坐标运算、重点考查双动点平面向量数量积的几何特征和代数特征等知识；考查数据处理能力，应用意识，运算求解能力；考查了数形结合、一般与特殊思想；体现基础性、应用性，导向对数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养的关注； 【试题解析】 图1 图2 图3 解法一（坐标法） 如图1，在平面直角坐标系中，因为，是圆：上的动点，且，所以 是圆的直径，且点，关于原点中心对称； 故，不妨， 则： 所以： （其中为辅助角） 当且仅当=±1时， 取得最大、小值， 故：的取值范围是. 解法二 （极化恒等式法） 在平面直角坐标系中，因为，是圆：上的动点，且，所以 是圆的直径，且点，关于原点中心对称； 由于，互为相反向量， 所以： 如图2，由极化恒等式得： 由于，所以 如图3，由点与圆的位置关系可得： ，则， 故：的取值范围是. 解法三（基底法） 在平面直角坐标系中，因为，是圆：上的动点，且，所以 是圆的直径，且点，关于原点中心对称； 由于： 所以： 当且仅当=±1时， 取得最大、小值， 故：的取值范围是. 14. （原创）已知双曲正弦函数，双曲余弦函数.则①；②若，，都有，则的取值范围是_____________. 【答案】1； 【题目来源】：人教A版高中数学必修一P160页，复习题6；以及P920页对勾函数 【知识考查】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、指数幂的化简、求值、利用函数单调性求最值或值域； 【思路分析】（1）根据双曲正弦函数、双曲余弦函数的定义展开计算即可.（2）把问题转化成二次不等式恒成立，再转化为一元二次函数图像与判别式△的关系求解. 【命题意图】：本小题主要考查双曲正弦函数、双曲余弦函数；函数单调性、奇偶性、最值等知识；考查了推理论证能力，运算求解能力，抽象概括能力，创新与应用意识；考查了数形结合等数学思想；体现了分析性、应用性、综合性，导向对数学分析、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 【试题解析】： （1）可证： ； （2）由（1）得：若，都有 可化为恒成立 设， 则为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，所以对恒成立， 只需 整理得： ∴ 由为R上的奇函数，且在上单调递增，开方得： 故： 对于， 则： 对； 此时，在上单调递减，上单调递增， ，； ∴= 对； 此时，在上单调递增； ∴ 综上：的取值范围 14．（改编备用）函数的零点是 .（提示：，，，，） 【试题解析】：解法一：由得，， 由，，，得， 易得，当时上式成立，所以， 下证唯一性： 方程两边同除以，得， 设，由复合函数单调性易得为减函数， 所以存在唯一的使得成立. 解法二：由得，， 由，得，，故有， 令得，，所以， 易得，当时，，即， 下证唯一性：方程两边同除以，得， 设，易知为减函数， 所以存在唯一的，使得成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（满分13分） 已知数列满足，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】(1) （6分） (2) （7分） 【分析】本小题主要考查数列的递推关系式、累乘法求数列通项公式、裂项法求解数列前n项和等基础知识；要求学生具备整体认知数列结构的能力，体会从特殊到一般的归纳方法，侧重考查学生的运算求解、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；体现综合性、应用性，导向对数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养的关注．第（1）小问，结合已知，探究数列的递推关系，是解决第1小问的关键，执果索因，有了目标导向的意识，就不难得到，根据结构，可知需用累乘法求解的通项公式。第（2）小问结合第1小问求出的的通项公式，可得，分析结构特征，选择裂项求和方法，关键在于将分子写成的形式，再裂项就不困难了。 【解析】（1）因为，所以，于是． 2分 又，所以当时，， 4分 由于也符合上式，故，． 6分 （2）由，可得， 9分 故数列的前项和为． 13分 16.（满分15分） （改编）如图，在以，，，，为顶点的五面体中，四边形为直角梯形，，//，，平面平面，． （1）求证：平面平面； （2）若五面体的体积为4，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明略 （6分） (2) （9分） 【分析】本小题主要考查空间中的线面垂直、面面垂直、空间几何体的体积及空间角等基础知识；要求熟悉空间中垂直关系的相互转化，能准确写出完整的条件，能用空间向量的方法求解空间角。侧重考查学生的运算求解、推理论证和空间想象能力；考查化归与转化思想思想；体现综合性、应用性，导向对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的关注．第（1）小问，要求学生厘清空间中的线线垂直、线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，并能熟练实现三者的相互等价转化，问题即可得解。第（2）小问利用体积确定底面三角形后，建立空间直角坐标系求解，属于较为容易的基础题。 【解析】（1）因为平面平面， 平面平面，，平面， 2分 所以平面． 3分 又因为平面，所以平面平面． 6分 （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 7分 过作，有，所以平面， 8分 而五面体的体积为 ，所以， 9分 又因为，，所以为的中点， 10分 连接，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，有，，，， ，，． 设平面的法向量为，则由取，得． 13分 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15分 17.（满分15分） （改编）新药开发投入市场之前，一般需要先进行动物试验．现有某一新药，即将进入动物试验阶段，规定如下：将所有参加试验的动物进行分组，每组5只，并任选一组进行试验．第一轮试验，该组的每只动物都服用，若该组中至少有4只动物产生药效，说明新药有效，试验终止；否则对该组中尚未产生药效的动物进行第二轮使用，再次试验．如果二次服用的动物都产生药效，说明新药有效，否则需要重新改进．设每只动物是否产生药效相互独立，两次使用新药互不影响，且产生药效的概率均为． （1）求该组试验只需第一轮使用的概率（用含的多项式表示）； （2）试验结束，记该组每只动物需要服用新药的次数总和的数学期望为，求证：． 【答案】(1)（5分） (2) 证明略 （10分） 【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列、二项分布、期望、二项式定理、不等式的性质等基础知识。本题背景设置来源于生活，具有较强的现实意义，设计了概率统计与不等式、二项式定理的知识交汇，对学生的阅读理解能力、数据分析和处理能力、数学模型识别和提炼的能力都提出了较高的要求，较好地体现了综合性、创新性和应用性，导向对数学运算、数据分析、逻辑推理等核心素养的关注．第（1）小问，要求学生能够识别二项分布这一重要的概率分布模型，清晰解读题意，明确只需第一轮使用对应的随机变量取值，问题即可得解。第（2）小问的难点在于对数学期望的化简求解，要求学生对组合数的性质和二项式定理的结构特征较为熟悉，在充分符号化的代数多项式式的等价转化中能够识别模型、化繁为简，充分考查了学生的综合能力、计算能力、模型识别和提炼能力以及应用能力，对于学生而言是不能轻易解决的难题。 【解析】（1）平均每组5只， 设第一轮使用有只动物产生抗体，则， 2分 所以， 所以该组试验只需第一轮使用的概率为． 5分 （2）由（1）得，，， ，， 7分 所以 ， 9分 设，则． 又， 11分 所以 ． 13分 因为，所以． 又， ，所以， 所以． 15分 18.（满分17分） （改编）已知椭圆:的离心率为，短轴长为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆上有一动点 ，且点不在轴上，已知，，点 。 (i) 证明：点为内切圆圆心；(ii) 求的最大值。 【答案】(1)（4分） (2) (i) 证明略 （8分） (ii)（5分） 【解析】（1）由题意可设椭圆的半焦距，则，， ∴ 故椭圆的标准方程为 4分 （2） (i) 直线的方程为 5分 又点在椭圆上，∴ 6分 ∴点到直线的距离 9分 同理可得点到直线的距离也为 10分 又点到直线的距离为 11分 ∴点到三边的距离都相等，故点为内切圆圆心. 12分 (ii) 点在椭圆上，，可得： ……………………………………………………………………13分 设 14分 由椭圆的对称性，不妨设 ∵点不在轴上，∴点不在轴上， ……………………………………………………………………15分 ∵ ∴…………………………16分 此时，取得最大值；∴的最大值为………………………………………17分 19．（满分17分） （2024年新Ⅰ卷19改编）设m为正整数，数列是公比且的正项等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中一次任取两个数和，记正项等比数列是可分数列的概率为，证明：． 【参考答案】： 【解析】 （1）【解法一】首先，我们不妨设正项等比数列的公比为且 ，则 1分 故我们可以对该数列进行适当的变形：， 得到新的等差数列，然后对进行相应的讨论即可. 回到原题，第1小问相当于从中删去两个数和，使得剩下三个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或 所以所有可能的就是. 【解法二】举例法：不妨设：；若删去两项和仍能构成等比数列，则取 . 4分 （2）对于变换后新的等差数列，对进行相应的讨论如下： 由于从新的等差数列中删去和后，剩余的个数，每3个数分为一组共组，个数可划分为以下两个部分，使得每组成等差数列： ①前11项去掉和后，剩余9个数：，每组成等差数列，共组； ②后面个数：，每组成等差数列，共组. （如果，则忽略②），则变换后新的等差数列是可分数列. 故：原正项等比数列是可分数列； 【辅助举例】：借助等比数列 8分 （3）从中一次任取两个数和，记正项等比数列是可分数列的概率为 证明： 当时，由（1）得：所有可能的就是. ∴可分数列的概率为 10分 当时，等比数列（不妨以辅助）是可分数列的有9种情况是： ∴可分数列的概率为 12分 当时，等比数列（不妨以辅助）是可分数列的有16种情况是： 【说明：蓝色部分为按可分的；红色部分为按可分的】 ∴可分数列的概率为 14分 以此类推，可以观察到，数列是按可分的，且. 此时，共有种；【说明：共可取到的个数，代表：从个数中，不重复的取2个数，按照赋值。另外，当时，还有种情况】 还可以观察到，数列也是按可分的，且. 此时，共有种；【说明：仍可取到的个数，代表：从个数中，不重复的取2个数，按照赋值】 综上，共有种. ∴可分数列的概率为= 由于恒成立；∴，得证。 17分 【考查目标】：本题为数列、排练组合、概率综合的新定义题型，关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论. 对于数列问题，近年各地的质检、高考真题中，常见删减项、添加项的命题考察角度。对于数列删减项、添加项，应明确：删减项后，余项仍构成等差、等比数列这一特性。本题的改编，覆盖的考查知识能力点：等比数列、组合计数、概率统计等问题的综合运用。考查的目的：可以培养学生的动手推理论证能力、运算求解能力；体现了综合性、创新性，有助于学生深入地认识数列知识。 【改编说明】：本题是数列与概率结合的新定义题型，分值为17分。改编自2024年新课标全国Ⅰ卷数学的第19题，经过笔者对原题的理解，运用类比思考的方法，改编点有三个方面：①从等差数列到等比数列的改造；②从项数到的变换；③从概率结论为由的证明改变。经过对解答过程的反复举例、论证、计算，改编题目逻辑正确。 学科网（北京）股份有限公司 $保密★启用前 2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学模拟卷 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必用，黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在 答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答 题卡“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如 需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3,非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的 答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1、(原创)已知集合A={x∈Nxs2},B={yy=x2+,则AnB=() A.1,2 B.{0,1} C.01,2} D.{xl1≤x≤2} 2.已知复数31,22满足3=3+4i，|z2=1,若z=z+z2,则z可能等于 A.-5+5i B.5+5i C.3+4i D.4+5i 3.(原创)己知定义在R上的分段函数f,= [x2-2x+2(x≤0) ax2-bx+c2*(x0) ,若f)为奇函数，则下列结论正确的 是() A.a=1,b=2,c=1,f(x)在R上单调递增 B.a=-1,b=2,c=-1,f(x)在R上单调递减 C.a=1,b=2,c=1,f(x)在(0，+∞)递增，(-0,0)递减 D.a=-1,b=2,c=-1,f(x)在(0，+w)递增，(-w,0)递增 4.(原创)己知函数f(x)=x+1,则函数f(2x-1)的对称中心坐标是() B.1,2) D.(52) 5.在平面直角坐标系xOy中，己知两抛物线C:y=2px和C2:x2=2y,且F为C1的焦点，Q为C与C 的公共点.若1O0=2W2,则|FQ= A.2 B月 C.5 D.3 6.(原创)己知a=n0.3、b=log、c=32、d=0.2°，从这四个数中任取一个数t,使函数 f(x)=x+3x2+3x+1有极值的概率为() A号 B D.1 7.(原创)若a心0，b>0,a+2b=山，则2a+公的最小值为() b A.1 B.3 C.5 D.7 8已知号是函数)=sim(or孕m>0的-个零点，当xe设时，<0，则方程21- 在区间(0,3四内所有根的和为 A.5π B.11π C.15π D.21π 2 2 4 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.记Sn为数列{a}的前n项和，若a=1,aH=S,则 A.43=2 B.{a}为等比数列 C.S=16 D.{log2Sn}为等差数列 10.(改编)当今科技飞速发展的时代，人工智能（AI)已经成为了各大行业追逐的焦点，许多人都被新 一代自然语言处理工具的兴起所震撼，如ChatGPT和DeepSeek等大语言模型(LLM)正引领着技术革命 的风潮。在这一波技术浪潮中，许多技术背后的原理与发明也被重新审视，其中一个极其重要但往往被忽 视的数学工具，就是1807年法国数学家约瑟夫·傅里叶(Joseph Fourier)所提出的“傅里叶变换”。可以 说，没有傅里叶变换，就没有今天的人工智能应用！他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构 成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数f)=亚4 cosx+cos3x cos(2n-1)x 32 ,当 2π (2n-1)2 x∈[0时，有f(x)=x,则(). A.函数∫(x)的最小正周期为兀： B点行)是函数刊图象形时称中心 FOURIER GR-1 +… (2-1)2 8 11.(原创)已知x,x2,是方程sin3x+sin4x=0的根，且0<x1<x2<x3<π，则（). A.=7 12π B.+x3+5= 7 1 1 C.COs COS CO3= D.CoSx coSx2 coS.x3=- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12(政编)已知实数a,b>1,若1og.b=3,10g,2=2,则1gob= 13.(原创)在直角坐标系中，己知点M(-1,0)、N(0,3),A,B是圆C:x2+y2=4上的动点，且|AB上4， 则MA.B的取值范围是 14(原创)已知双曲正弦函数sihx=,,双曲余弦函数cosh=兰2广.则0cosh2x-2simh2x=, 2 ②若∀t∈R,x∈[ln2,ln4],都有(cosh2x-t-1)t-sihx),则m的取值范围是 14.(改编备用)函数fW=2hr+3-x5的零点是，（提示：=c，a,b,c>0,b中1） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(满分13分) 已知数列{a}满足44=2，a2=(n+1)a.(n∈N),且b.=a·aH(n∈N) (1)求数列b,}的通项公式： （2)若6，.-2u- n+1meN),求数列c,}的前n项和 16.(满分15分) (改编)如图，在以S,A,B,C,D为顶点的五面体中，四边形ABCD为直角梯形，CD⊥BC, AD/BC,AD=CD=BC=2,平面SCD⊥平面SBC,SB⊥SC. (1)求证：平面SAB⊥平面SCD; (2)若五面体S-ABCD的体积为4，求直线SD与平面SAB所成角的正弦值 17.(满分15分) (改编)新药开发投入市场之前，一般需要先进行动物试验.现有某一新药，即将进入动物试验阶段， 规定如下：将所有参加试验的动物进行分组，每组5只，并任选一组进行试验.第一轮试验，该组的每只 动物都服用，若该组中至少有4只动物产生药效，说明新药有效，试验终止；否则对该组中尚未产生药效 的动物进行第二轮使用，再次试验.如果二次服用的动物都产生药效，说明新药有效，否则需要重新改进.设 每只动物是否产生药效相互独立，两次使用新药互不影响，且产生药效的概率均为p(0<p<1). (1)求该组试验只需第一轮使用的概率（用含p的多项式表示）： (2)试验结束，记该组每只动物需要服用新药的次数总和X的数学期望为E(),求证：5<E(X)<10-5p, 18.（满分17分) (成输》已知椭题C若+芳=a>b>0的离心率为行短轴长为25。 (1)求椭圆C的标准方程 ②▣C上有一动点P),且点P不在x轴上，已知M0.O,N1.0,点心5，为 (1)证明：点E为△PMN内切圆圆心： (ii)求∠MEN的最大值。 19.(满分17分) (2024年新I卷19改编)设m为正整数，数列a1,a2,,a3m+2是公比q>0且q≠1的正项等比数列， 若从中删去两项4和a,(i<)后剩余的3m项可被平均分为m组，且每组的3个数都能构成等比数列，则 称数列a1,a2,a3m+2是(i,j)-可分数列. (1)写出所有的(i,),1≤i<j≤5，使数列a1,a2,as是(i,j)-可分数列： (2)当≥3时，证明：数列a1,a2,,a3m+2是(2,10)-可分数列： (3)从1,2，.，3m+2中一次任取两个数i和j(i<j)，记正项等比数列a1,a2,,a3m+2是（位，j)-可分数 列的概率为Pm,证明：Pm>号2026年福建省高中数学命题比赛 2026年福建省泉州市高中数学 高考模拟卷·考试说明及双向细目表 二、命题命制格式说明如下（均参照泉州市期末监测、高三质量监测命题要求）： 1. 除序号外和选择的ABCD外，所有数字和字母均用公式编辑器mathtype7.4版输入，字体大小10.5； 2. 公式内的大小中括号和绝对值符号等均用用键盘输入，不用编辑器内的括号，（包括公式内的）例如（1+），避免试卷括号大小不一； 3. 几何画板和GGB均可作图；逗号为中文模式，句号为英文模式，数字和字母间的逗号均用英文逗号； 4. 公式上浮或下移通过“字体-高级-位置”改为标准； 5. 向量用编辑器直接输入粗体字母，加上“向量”2字，不用书写体； 6. 四位数以上的数字要三位一空格； 7. 公式编辑器常用符号： 添加到公式编辑器内便捷使用； 8. ABCD四个选项的位置可以通过段落制表位，设置添加左对齐2，12，22，32四种格式，使用Tab键调整及对齐； 9. 评分标准利用制表位设置右对齐40和5号前导符可统一位置；选项悬挂1.5字符，【试题解析】内容部分首行缩进6字符； 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年福建省高中数学命题比赛 2026年福建省泉州市高中数学高考模拟卷·考试说明及双向细目表 学科素养 考查要求 题号 题型 主题板块内溶 分值 考查知识点 预设难度及系数 数学抽象数学运算数学建模数据分析直观想象 逻辑推理 基础性 应用性 综合性 创新性 集合与逻粗用语 集合的文并补运草（离散型） 容易0.9 复数 复数模的运算 容易0.9 3 位数图像与性质 分段数的奇偶 容易0,85 函数图像与性质 5 函数图像变换与对称中心 容易0.8 单洗源 解析几何 5 2物线定义 容易0.75 团数图像与性质 三次团数的极值与凝率 中档.7 不等式 不等式宋最值 中档0.5 三角团数与解三角形 5 三角方程的根与通数零点 难题0.45 9 数列 6 等差数列通项、前项和 容易0.8 多选题 因数图像与性质 6 傅里叶变换与数性质 中档0.6 11 三角阻数与解三角形 三角数宋值与恒等变换 难题0.3 函数图像与性质 5 对数的四舰运尊 容易0.85 13 请空题 解析几何 5 平面向量数量积与圆中最值 中档.4 三角团数与解三角形 2+3 双曲正余烫数性质及恒成立，存 在性求参数范国 难题0.15 数列 13 数列的通项公式及求和 中档0.55 立体几何 面面垂直的判定、求线面夹角的正 弦值 中档0.45 解答题 统计假率 15 离散型随机变量极率，数学期望性 质明 中档0.35 18 解折几何 17 轴圆方程及位置夫角关系 难题0.25 19 新定义数列与概率 17 结合同陕材科形成新定义创新题型 (多知识模块交汇) 滩题0.15 【考试整体说明】 (1)颗型分值分布（满分150分） 单项选择题：8小题，每小题5分，共40分：多项选择题：3小题，每小题6分，共18分；填空题：3小题，每小题5分，共15分；解答题：5大题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分； (2)试卷难易度 容易题约35-40分，中档题约6571分，难题约39-45分；比例：约为2.7：4.7：2.6：整体难度系数0.43 第1页共2页 2026年福建省高中数学命题比赛 二、命题命制格式说明如下（均参照泉州市期末监测、高三质量监测命题要求）： 1.除序号外和选择的ABCD外，所有数字和字母均用公式编辑器mathty pe7.4版输入，字体大小10.5： 2.公式内的大小中括号和绝对值符号等均用用键盘输入，不用编辑器内的括号，（包括公式内的）例如(1+√互)？，避免试卷括号大小不一： 3.几何画板和GGB均可作图：逗号为中文模式，句号为英文模式，数字和字母间的逗号均用英文逗号： 4.公式上浮或下移通过“字体-高级-位置”改为标准： 5.向量用编辑器直接输入粗体字母，加上“向量”2字，不用书写体： 6.四位数以上的数字要三位一空格； 7.公式编辑器常用符号：△Ra≥≤∥元N*ei0添加到公式编辑器内便捷使用： 8.ABCD四个选项的位置可以通过段落制表位，设置添加左对齐2,12,22,32四种格式，使用Tb键调整及对齐； 9.评分标准利用制表位设置右对齐40和5号前导符可统一位置：选项悬挂1.5字符，【试题解析】内容部分首行缩进6字符： 第2页共2页