福建厦门大学附属科技中学2025-2026学年高三下学期第4周数学限时训练（3.20）

第4周数学限时训练（3.20） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的相关系数为5.2 B. 当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C. 该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D. 若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 7. 已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有且只有一个零点 B. 点为曲线的对称中心 C. 曲线在点处的切线方程为 D. ， 11. 已知正三棱台的所有顶点都在球的球面上，且，点满足，则（ ） A. 当为棱的中点时， B. C. 若直线平面，则 D. 若，则球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 有4个大小、形状相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取球一次（至少取一个），则取出的球的标号之和不超过5的概率为_____. 14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线交于，两点.若，则的外接圆的半径为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 16. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. （1）求； （2）若过点的直线交于，两点，且，求的值. 18. 如图，五面体中，，，，，，，. （1）证明：； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，当该五面体的体积取到最大值时，求的值. 19. 有张编号分别为到的卡片，横向随机排列.对于这张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，，…，记此时的卡片排列为（，，…）.对这张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为；2.剩余卡片中，标号小于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空），标号大于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空）；3.对这张卡片重新排列，得到新排列：（，，…，k，，，…）.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”. （1）若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列； （2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率； （3）记初始排列中有个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，当时，证明：. 第4周数学限时训练（3.20） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）， （2）证明：由（1）知， 则， ， 依题意，有，即， 因为，即， 代入得， 所以，即， 则有，得证. 【16题答案】 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【17题答案】 【答案】（1）2 （2）或. 【18题答案】 【答案】（1） 取中点，连接，由， 得≌，则，，而， 平面，因此平面，又平面， 所以. （2）； （3）. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 补充定义．对于长度为的排列，一次操作后变为， 要使该排列经过若干次操作后能变为顺序排列，必须满足： （1）本身是可排序的排列（共种可能）： （2）在初始时就必须是严格递增的序列（仅1种可能）． 因此，首位为的可排序序列数为：． 将从1到的所有情况相加，得到递推式：． 下面证明原不等式，根据递推式写出的展开式： ， 将上式代入要证的不等式并移项整理，等价于证明： ， 又由的递推式可知：． 移项可得：． 代入前述等价不等式，问题转化为证明： 要使上式成立，只需证明对任意的，都有． 由于且由于，该不等式等价于证明：． 因为，所以，进而有． 又已知，故恒成立． 因此，对任意的，不等式均成立． 原不等式得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $