精品解析：2026年河南省新乡市原阳县部分学校中考前模拟九年级数学试卷

2026年中考学科第三次调研数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0.3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数、无理数的概念逐一判断选项即可，有理数是整数与分数的统称，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：A、是整数，属于有理数； B、是有限小数，可化为分数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2. 万岁山武侠城的网络热度主要体现在游客接待量、营收数据及社交媒体话题播放量上．截至2025年10月31日，该景区2025年的综合收入是10.77亿元．数据“10.77亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：10.77亿 故选：B． 3. 一个密封的圆柱形水杯中装了半杯水，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查认识平面图形，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状． 根据圆柱体的截面图形可得． 【详解】解：对于选项A， 当圆柱形水杯倾斜一定的角度时，水面的形状是椭圆， 该选项不符合题意； 对于选项B， 无论将圆柱形水杯怎样放置，水面的形状都不是一般的平行四边形， 该选项符合题意； 对于选项C， 当圆柱形水杯水平放置时，水面的形状是长方形， 该选项不符合题意； 对于选项D， 当圆柱形水杯竖直放置时，水面的形状是圆， 该选项不符合题意， 故选：B． 4. 如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，然后通过平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵直尺的对边， ∴． 5. 河南确山板栗是国家地理标志产品，以个大、粒饱、味鲜著称．某水果商购进7箱板栗，测得它们的质量（单位：）分别为2.8，2.7，2.8，2.7，2.7，2.6，2.6．这组数据的众数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义，统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：∵出现次，出现次， 出现次， ∴ 出现次数最多， ∴ 这组数据的众数为． 6. 若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 【详解】解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 7. 观察代数式4，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析每个代数式中分母的指数、分子与代数式的个数之间的规律，从而确定答案． 【详解】第一个代数式可化为：， 第二个代数式可化为：， 第三个代数式可化为：， 第四个代数式可化为：，…， 故第个式子为． 8. 如图，在边长为10的菱形中，点，分别为边，上的动点，且，连接，．若菱形的面积为75，则的最小值为（ ） A. B. 17 C. D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，结合菱形的性质证明，利用全等三角形性质推出的最小值为，再利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，， 则，，． 四边形是菱形， ， ． ，， ， ． 在和中， ， ， ， ， 的最小值为． ， 的最小值是． 9. 如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为和，连接，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，当点落在轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过点A的坐标计算出的长度，证明是等边三角形，再利用旋转的性质得到对应边与角的关系，最后结合全等三角形与坐标平移的规律求出点的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为，过A作轴于M， ∴，， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴点C的坐标为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵点C坐标为， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点P坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握旋转的性质并结合三角函数求坐标是解题的关键． 10. 如图1，在矩形中（），动点从点出发，以的速度沿方向运动至点处停止．设点的运动时间为，的周长为．若关于的函数图象如图2所示，且当时，，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的周长随着点E的位置变化，结合图2求出长方形的长和宽，再由长方形的面积公式计算即可，解决本题的关键是根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽． 【详解】解：由函数图象可知，当，时，点与点重合， ，． 四边形是矩形， ，，， ，． 在中，由勾股定理，得． 设，则， ，解得或． ， ，， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式及二次根式有意义的条件，熟练掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 如图，在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过画树状图罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，左端总质量需为，即需从四件物品中选取两件总质量为的物品． 已知， 将四件物品分别记为，，，， 根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中能使天平平衡的结果有，，，，共4种， （天平恢复平衡）． 13. 对一个实数按如图所示的程序进行操作，若操作进行了两次才停止，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】操作进行了两次才停止，即第一次计算结果不大于20，第二次计算结果大于20，由此列出不等式组即可解答. 【详解】解：根据题意，得 解不等式①，得； 解不等式②，得， 该不等式组的解集为， 即的取值范围是． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．利用点的对称，结合，推出圆心在轴上，设圆心，设半径，根据勾股定理求出半径的长度，利用圆周角定理求出圆心角的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：点，的坐标分别是，， ， 垂直平分， 圆心在轴上． 如图，设所在圆的圆心为，连接，． 设的半径为， 在中，，即，解得． ， ， 的长为． 15. 如图，将边长为4的正方形的边绕点逆时针旋转至，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的长为______． 【答案】或8 【解析】 【分析】分两种情况：①当为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质得，根据勾股定理求出，再利用面积求出的长即可解答；②当为平行四边形的边时，根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：①当为平行四边形的对角线时，设与交于点，如图1． ∵四边形是平行四边形，四边形是正方形且边长为4， ，，，，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ，解得． 在中，由勾股定理，得 ． ②当为平行四边形的边时，如图2，此时四边形为平行四边形，点与点重合， ， ． 综上所述，的长为或8． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 本题依次计算有理数乘方、化简绝对值、计算二次根式乘法，最后进行加减运算即可得到结果； （2）本题先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开原式，再合并同类项即可得到化简结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 飞镖源于我国古代暗器与狩猎工具，后成传统技艺，今为休闲竞技项目，兼具健身、益智与传承民俗文化之意义．飞镖爱好者张华和王明前往飞镖俱乐部进行了10次投掷练习，整理成绩如下： 张华10次投掷成绩统计表 分数 命中次数 5分 2 6分 1 7分 3 8分 3 9分 1 （1）已知张华和王明的投掷成绩的平均数相同，且王明第6次和第7次的投掷成绩也相同，请补全统计图； （2）在（1）的基础上，完成下列表格： 中位数 方差 张华 7 ______ 王明 ______ 4.6 （3）张华和王明很谦虚，都认为对方的投掷成绩更好．请你分别为两人写一条理由．[在（1）的基础上解答此题] 【答案】（1） （2）1.6；7.5 （3）张华的投掷成绩更好．理由：张华和王明的投掷成绩平均数相同，但张华的投掷成绩的方差1.6小于王明的投掷成绩的方差4.6，方差越小成绩越稳定，所以张华的投掷成绩更好． 王明的投掷成绩更好．理由：王明10次投掷中，得分8分及以上的次数为5次（8，8，9，9，10），张华得分8分及以上的次数为4次（8，8，8，9），所以王明的投掷成绩更好．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据张华和王明的投掷成绩的平均数相同，用张华的总分减去王明其他成绩除以2得到第6次和第7次的投掷成绩，补全统计图即可； （2）根据方差和中位数定义解答； （3）根据方差分析得张华成绩更好，根据高分多少分析得王明的成绩更好； 【小问1详解】 解：王明第6次和第7次的投掷成绩为， 补图略； 【小问2详解】 解：张华成绩的平均数为， 故张华成绩的方差为； 王明的成绩从低到高分别为：，第5，6个数分别为7，8， 中位数为； 【小问3详解】 略 18. 如图，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）请用无刻度直尺和圆规，在轴正半轴上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的基础上，若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）过点B作交x轴于点，由同角的余角相等即可得出． （3）根据、轴，可得，进而可得，由此得出． 【小问1详解】 解： 反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由作法，得． 轴，， ，轴， ，， ． 点的坐标为， ． 在和中， ， ， 点的坐标为． 19. 暑假期间，小红一家到某生态旅游区登山．如图，他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． （1）求小红一家步行上升的垂直高度； （2）求缆车的行驶路线的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据得到长，即小红一家步行上升的垂直高度； （2）根据矩形的性质和判定，得到四边形为矩形及，从而得到，在中，根据 得到的长． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ． 答：小红一家步行上升的垂直高度约为． 【小问2详解】 如图，过点作于点， ，， ， ∴四边形为矩形， ． ， ． 在中，， ， ． 答：缆车的行驶路线的长约为． 20. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，李老师、王老师每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图所示．其中种共享单车的支付费用对应的函数为；种共享单车的支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题： （1）求B种共享单车的支付费用的函数表达式； （2）李老师每天早上骑A种共享单车或B种共享单车去学校上班已知两种共享单车的平均行驶速度均为，李老师家到学校的距离为，那么李老师选择______种共享单车更省钱（填“A”或“B”）． （3）一天，李老师骑A种共享单车从家到学校上班，王老师骑B种共享单车从家到学校上班，若两人的支付费用同为8.4元，求李老师和王老师骑行的时间差． 【答案】（1） （2）A （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，分类讨论：：当时；当时，计算出每分钟的费用，即可求解； （2）根据题意得到，分别算出的值进行比较即可求解； （3）根据题意，算出，的时间进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，B种共享单车每分钟的费用为（元）， ∴， ∴B种共享单车的支付费用的函数表达式为； 【小问2详解】 解：A种共享单车每分钟的费用为（元）， ∴， ∵两种共享单车的平均行驶速度均为，李老师家到学校的距离为， ∴李老师所用时间为， 根据题意，当时，，， ∵， ∴李老师选择A种共享单车更省钱； 【小问3详解】 解：当时，得，解得， 当时，得，解得， ∴， 答：李老师和王老师骑行的时间差为． 21. 如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交于中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，． ，，点是的中点， ，， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）1 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的性质结合三角形内角和定理求得，据此即可证明是的切线； （2）先证明，再解直角三角形求得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ， ． 在中，， ． 22. 如图，在单位长度为1的平面直角网格坐标系中，抛物线经过点． （1）求二次函数的表达式并画出函数图象； （2）根据图象，在抛物线的对称轴上找点，使得最短，并求出点的坐标； （3）连接，将线段向左平移个单位长度，若线段与抛物线仅有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），画图见解析； （2）； （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、图象绘制、轴对称最短路径问题、一次函数的平移及函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质、轴对称的性质以及函数交点的求解方法是解题的关键． （1）将点、代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，从而确定二次函数表达式；再通过列表、描点、连线画出函数图象． （2）先求出抛物线的对称轴，利用两点之间线段最短，连接点与点关于对称轴的对称点，该连线与对称轴的交点即为点，计算交点坐标． （3）先求出直线的解析式，写出线段向左平移个单位后的解析式，联立平移后的线段与抛物线的方程，结合线段端点的位置，确定仅存在一个交点时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴即， 解得，， ∴二次函数表达式为：， 列表： 描点并连线如下： 【小问2详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线 ∴点关于直线的对称点为， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴上， 将代入得， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 函数中，当时，， 解得或， ∴如图，， 线段向左平移个单位后，解析式为，此时线段端点为，， 当点与点重合时，有 ， 解得， 当点与点重合时，有， 解得， ∴若线段与抛物线仅有一个交点，的取值范围为； 23. 在矩形中，，，点是线段上的一个动点，连接并延长交射线于点．将沿直线翻折得到，延长与射线交于点． （1）【问题探究】如图1，求证：； （2）【拓展延伸】如图2，当时，求的长； （3）【发散思维】连接，在点的运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，． 沿翻折得到， ， ， （2） （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，得到平行线，利用平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定解答即可； （2）设，则，．由（1）可知．利用勾股定理建立方程求解即可； （3）分和两种情况，利用勾股定理求解即可， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，． 设，则，． 由（1）可知． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ． 【小问3详解】 解：存在，的长为或． 分两种情况讨论． ①当时，如图1． 由翻折的性质，得，． ，． ， ， ，， ， ， ． 由（1）可知，． ②当时，如图2． 由翻折的性质，得，． 设，则， ． 在中，， 即，解得． 由（1）可知， ． 又， ． 综上所述，存在以为腰的等腰三角形，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0.3 C. D. 2. 万岁山武侠城的网络热度主要体现在游客接待量、营收数据及社交媒体话题播放量上．截至2025年10月31日，该景区2025年的综合收入是10.77亿元．数据“10.77亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个密封的圆柱形水杯中装了半杯水，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 河南确山板栗是国家地理标志产品，以个大、粒饱、味鲜著称．某水果商购进7箱板栗，测得它们的质量（单位：）分别为2.8，2.7，2.8，2.7，2.7，2.6，2.6．这组数据的众数为（ ） A. B. C. D. 6. 若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 7. 观察代数式4，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为10的菱形中，点，分别为边，上的动点，且，连接，．若菱形的面积为75，则的最小值为（ ） A. B. 17 C. D. 19 9. 如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为和，连接，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，当点落在轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中（），动点从点出发，以的速度沿方向运动至点处停止．设点的运动时间为，的周长为．若关于的函数图象如图2所示，且当时，，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 如图，在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为______． 13. 对一个实数按如图所示的程序进行操作，若操作进行了两次才停止，则的取值范围是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 15. 如图，将边长为4的正方形的边绕点逆时针旋转至，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 飞镖源于我国古代暗器与狩猎工具，后成传统技艺，今为休闲竞技项目，兼具健身、益智与传承民俗文化之意义．飞镖爱好者张华和王明前往飞镖俱乐部进行了10次投掷练习，整理成绩如下： 张华10次投掷成绩统计表 分数 命中次数 5分 2 6分 1 7分 3 8分 3 9分 1 （1）已知张华和王明的投掷成绩的平均数相同，且王明第6次和第7次的投掷成绩也相同，请补全统计图； （2）在（1）的基础上，完成下列表格： 中位数 方差 张华 7 ______ 王明 ______ 4.6 （3）张华和王明很谦虚，都认为对方的投掷成绩更好．请你分别为两人写一条理由．[在（1）的基础上解答此题] 18. 如图，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）请用无刻度直尺和圆规，在轴正半轴上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的基础上，若点的坐标为，求点的坐标． 19. 暑假期间，小红一家到某生态旅游区登山．如图，他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． （1）求小红一家步行上升的垂直高度； （2）求缆车的行驶路线的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 20. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，李老师、王老师每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图所示．其中种共享单车的支付费用对应的函数为；种共享单车的支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题： （1）求B种共享单车的支付费用的函数表达式； （2）李老师每天早上骑A种共享单车或B种共享单车去学校上班已知两种共享单车的平均行驶速度均为，李老师家到学校的距离为，那么李老师选择______种共享单车更省钱（填“A”或“B”）． （3）一天，李老师骑A种共享单车从家到学校上班，王老师骑B种共享单车从家到学校上班，若两人的支付费用同为8.4元，求李老师和王老师骑行的时间差． 21. 如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交于中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 如图，在单位长度为1的平面直角网格坐标系中，抛物线经过点． （1）求二次函数的表达式并画出函数图象； （2）根据图象，在抛物线的对称轴上找点，使得最短，并求出点的坐标； （3）连接，将线段向左平移个单位长度，若线段与抛物线仅有一个交点，请直接写出的取值范围． 23. 在矩形中，，，点是线段上的一个动点，连接并延长交射线于点．将沿直线翻折得到，延长与射线交于点． （1）【问题探究】如图1，求证：； （2）【拓展延伸】如图2，当时，求的长； （3）【发散思维】连接，在点的运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $