精品解析：河南省新乡市原阳县2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷　

河南省新乡市原阳县2024-2025学年九年级下学期第三次联考 数学试题试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，由此可解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：C． 2. 据统计，2024年河南全省实现地区生产总值（）超过6.3万亿元．数据“6.3万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据“6.3万亿”用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位，如图是一个线锤，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，理解图示，掌握三视图的特点是关键． 根据立体图形的特点，三视图的特点分析即可求解． 【详解】解：一个线锤，它的主视图为 故选：D ． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，乘法公式，单项式乘以单项式，掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，完全平方公式，单项式乘以单项式运算法则判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意． B、，故B错误，不符合题意． C、，故C错误，不符合题意． D、，故D正确，符合题意． 故选：D 5. 下列问题中，应采用全面调查的是（ ） A. 检测某城市的空气质量 B. 了解全国中学生用眼卫生情况 C. 调查某池塘中现有鱼的数量 D. 企业招聘时，对应聘人员进行面试 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面调查和抽样调查的特点分别判断，一般来说， 对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】A、检测某城市的空气质量，应采用随机抽样调查，此项不符题意； B、了解全国中学生用眼卫生情况，应采用随机抽样调查，此项不符题意； C、调查某池塘中现有鱼的数量，应采用随机抽样调查，此项不符题意； D、企业招聘，对应聘人员进行面试，应采用全面调查，此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全面调查和随机抽样调查，掌握理解相关概念是解题关键． 6. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，掌握平行线性质和三角形外角性质是解答本题的关键．先根据平行线性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质求出． 【详解】解：如图：    ，， ， ，， ， ． 故选：A． 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根的判别式，对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个相等的实数根．根据题意得出，求出结果即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 8. 不等式组的整数解之和是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出其公共解集，在此公共解集内找出的整数解即可． 【详解】解：， 由解得，， 由解得，， 故此不等式组的解集为：． 故它的所有整数解为：2，3． 整数解之和是， 故选：C． 9. 如图，在学习四边形的性质时，张老师用四根长度相等的木条制作了正方形木框，并置于平面直角坐标系中，其中点A与原点O重合，点分别在x轴、y轴上．张老师利用四边形的不稳定性，将正方形木框压扁，得到四边形．若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，坐标与图形．过点作轴，根据题意得：，轴，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴， 根据题意得：，轴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：D 10. 如图（1），在中，点D是边上一点，点P从点A出发，沿运动到点B，设点P运动的路程为x，点P到点B的距离为y，在点P运动过程中，y随x变化的关系图象如图（2）所示，其中点E为第一段函数图象的最低点，则的周长为（　　） A. B. 18 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与几何综合，包括勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，由图象得，当点运动到点时，，，求出，得到，推出，得到是等边三角形，根据函数图象得，推出，得到，求出，得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， 由图象得，当点运动到点时，，， 当点运动到点时，， ， ， ， ， 是等边三角形； 当点P运动到点D时，y的值是a， 根据函数图象，结合点P的运动路线，得， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 如图是两张背面完全相同的卡片．小明把这张卡片从中间剪开，再把得到的张形状、大小完全相同的小卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，从中随机抽取张，则他抽取的张小卡片可拼成原卡片的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用树状图法求概率，由题意画树状图，可得有种等可能的结果，其中他抽取的张小卡片可拼成原卡片的结果有种，再由概率公式求解即可，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设这张卡片从中间剪开，分别为，其中同一张，同一张， 画树状图如图， ∴有种等可能的结果，其中他抽取的张小卡片可拼成原卡片的结果有种， ∴他抽取的张小卡片可拼成原卡片的概率是， 故答案为：． 13. 如图，A、B是反比例函数图象上的两点，A、B两点的横坐标分别是、，直线与y轴交于点C，若的面积为5，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，先用含k的式子表示出A、B两点的坐标，进而表示出相关线段长度，再根据列方程，即可求出k的值． 【详解】解：如图，作轴于点E，轴于点F，轴于点D，连接， 将代入，得， 将代入，得， ，， ，，，，， ， ， 即， 解得， 故答案为：． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂直定理等知识的综合，掌握网格的特点，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据网格图，如图所示，取格点，连接，过点作于点，利用勾股定理求出圆的半径，点为圆心，运用含角的直角三角形的性质，垂径定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，取格点，连接，过点作于点， ∵点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上， ∴，即圆的半径，点为圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，E是边上一动点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为F．再作点B关于直线的对称点G，连接．当点G恰好落在矩形的边上时，线段的长为______． 【答案】或3 【解析】 【分析】分点G落在上或者落在上两种情况分别求解即可． 【详解】解：如图①，点G落在上， 沿直线BE翻折，点A的对应点为F， ， 点B，点G关于直线EF的对称，， ∴B、F、G三点共线， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图②，点G在上， 由上可知，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为或3， 故答案为：或3 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质等知识点，分类讨论的思想是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2） 化简：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （）先根据有理数乘方，负整数指数幂，零指数幂法则进行计算，然后算乘法，最后加减即可； （）先算括号内的分式减法，然后算分式除法即可． 【详解】（）解：； ； （）解： ． 17. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表． 甲、乙两家公司套餐得分表 1 2 3 4 5 6 7 甲公司套餐 乙公司套餐 甲、乙两家公司套餐得分统计表 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 b 乙公司套餐 a c 根据以上信息，请回答下列问题： （1） ， ， ． （2）从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”） （3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 【答案】（1） （2）乙 （3）甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，所以选择乙公司． 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数、方差，熟练掌握中位数和方差的意义是解题关键． （1）根据平均数，中位数和众数的定义即可得； （2）先利用方差公式求出方差，再根据方差的意义即可得； （3）从中位数和方差的意义进行分析即可得． 【小问1详解】 解：将乙公司套餐得分相加除以7可得： 乙公司套餐平均数：， 将甲公司套餐得分按从小到大进行排序后，第4个数即为中位数， 则， 在乙公司套餐得分中，出现的次数最多，为2次， 则其众数为， 故答案为：； 【小问2详解】 甲公司套餐得分方差为：， 乙公司套餐得分方差为：， ， 乙公司套餐的得分较稳定； 【小问3详解】 甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好， 选择乙公司套餐品质较好． 18. 在中，，连接． （1）尺规作图：过点A作，交的延长线于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：为的切线； （3）若，，则的半径为______. 【答案】（1） 如图所示：即为所求 （2） 如图：连接并延长交于点M，连接， ∵，； ∴是线段的垂直平分线； ∴； ∵； ∴； ∴为的切线． （3）2 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合，作一个角等于已知角，切线的判定和性质及等腰三角形的判定和性质等，熟悉相关的知识点是解题的关键， （1）根据题意作，然后连接并延长交于点D即可； （2）连接并延长交于点M，连接，证明是线段的垂直平分线即可； （3）证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，； ∵； ∴； ∵； ∴； 即； 解得：； ∴； ∴； ∴； 故答案为：2． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）在y轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围． 【答案】（1） （2）①； ② 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点，掌握交点的计算，数形结合分析是关键． （1）把点代入一次函数得到，即，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）①根据题意得到，，由两点之间距离的计算即可求解； ②根据题意得到，设，则，可得，由此解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：①当时，如图所示， 对于，令，则， ∴； 对于4，令，则， ∴， ∴． ②对于，令，则， ∴， ∵，即， 设，则， 可得， ∴， ∵， ∴在中，时，， ∵， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∴解得． 20. 2025年1月，教育部研制印发了《教育部关于加强新时代中小学体育教师队伍建设若干举措的通知》（以下简称《通知》）．某校积极贯彻落实该《通知》，计划更新一批训练设备，为高质量体育教师队伍建设提供良好支持．该校准备在某体育用品店购买一批甲、乙两种体育器材，已知购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元，甲种器材的单价比乙种器材单价的2倍少60元．该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折． （1）求甲、乙两种器材的单价分别是多少元． （2）经核算，学校准备购买甲、乙两种器材共50件，且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的费用分别为 y1元 、y2元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． 【答案】（1）甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元 （2）当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一次函数的实际应用，正确的列出方程和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设乙种器材的单价为元，根据购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元，甲种器材的单价比乙种器材单价的2倍少60元，列出方程进行求解即可； （2）设购买甲种器材件，则购买乙种器材件，根据两种方案，列出函数关系式，进行求解判断即可． 【小问1详解】 解：设乙种器材的单价为元，则甲种器材的单价为元，由题意得， 解得：， 则， 答：甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元． 【小问2详解】 设购买甲种器材件，则购买乙种器材件，则： ， ． ∴． 当，即，时，两种方案花费一样； 当，即，时，方案一花费少； 当，即，时，方案二花费少， 又∵， ∴当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少． 21. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 22. 跳 台滑雪是 一 项极具挑战性和观赏性的运动项目，被 形容为“勇敢者的游戏” ．跳台滑雪的技术动作包括助滑、起跳、空中飞行和着陆，要求运动员在高速下落 的过程中完成一系列高难度动作，展现出优美的姿态和极佳的平衡能力，其中在空中飞行过程呈现优美 的抛物线形．如图 ，为着陆坡，为跳台，且点D为起跳点，点B为运动员空中飞行后的着陆点（点A，B，C，D 在同一竖直平面内，且点C，D在同一竖直方向上） ． 以点A 所在的水平线为x轴 ， 所 在 的 直 线 为y轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度为1m），已 知 点B到跳台的水平距离为．起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5 m． （1）求此运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式． （2）求在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离． 【答案】（1） （2）最大竖直距离为18 m 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得：，则，可得抛物线的顶点为，再设顶点式求解即可； （2）先求出，求出直线的表达式为，设运动员空中飞行时到着陆坡的竖直距离为，则，再求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5m， ∴抛物线的顶点为， ∴设运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 当时，， ∴ ， 设直线的表达式为， 将分别代入， 得： 解得： 故直线的表达式为， 设运动员空中飞行时到着陆坡的竖直距离为， 则， ∵ ∴当时，h最大，最大值为18， 答：在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离为18 m． 23. 发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解； （2）先求得，再证明得到，，由求解即可； （3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7； （2）∵长方形的周长为36，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即四边形的面积为48； （3）连接，如图， 由题意知B、F关于对称， ∴， ∴， 当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 则，， 即当最小时，多边形的面积为：， ∴多边形的面积为144． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省新乡市原阳县2024-2025学年九年级下学期第三次联考 数学试题试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 据统计，2024年河南全省实现地区生产总值（）超过6.3万亿元．数据“6.3万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位，如图是一个线锤，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列问题中，应采用全面调查的是（ ） A. 检测某城市的空气质量 B. 了解全国中学生用眼卫生情况 C. 调查某池塘中现有鱼的数量 D. 企业招聘时，对应聘人员进行面试 6. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. B. 1 C. D. 4 8. 不等式组的整数解之和是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 9. 如图，在学习四边形的性质时，张老师用四根长度相等的木条制作了正方形木框，并置于平面直角坐标系中，其中点A与原点O重合，点分别在x轴、y轴上．张老师利用四边形的不稳定性，将正方形木框压扁，得到四边形．若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），在中，点D是边上一点，点P从点A出发，沿运动到点B，设点P运动的路程为x，点P到点B的距离为y，在点P运动过程中，y随x变化的关系图象如图（2）所示，其中点E为第一段函数图象的最低点，则的周长为（　　） A. B. 18 C. D. 12 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 如图是两张背面完全相同的卡片．小明把这张卡片从中间剪开，再把得到的张形状、大小完全相同的小卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，从中随机抽取张，则他抽取的张小卡片可拼成原卡片的概率是______． 13. 如图，A、B是反比例函数图象上的两点，A、B两点的横坐标分别是、，直线与y轴交于点C，若的面积为5，则______． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为_______． 15. 如图，在矩形中，，E是边上一动点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为F．再作点B关于直线的对称点G，连接．当点G恰好落在矩形的边上时，线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2） 化简：． 17. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表． 甲、乙两家公司套餐得分表 1 2 3 4 5 6 7 甲公司套餐 乙公司套餐 甲、乙两家公司套餐得分统计表 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 b 乙公司套餐 a c 根据以上信息，请回答下列问题： （1） ， ， ． （2）从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”） （3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 18. 在中，，连接． （1）尺规作图：过点A作，交的延长线于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：为的切线； （3）若，，则的半径为______. 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）在y轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围． 20. 2025年1月，教育部研制印发了《教育部关于加强新时代中小学体育教师队伍建设若干举措的通知》（以下简称《通知》）．某校积极贯彻落实该《通知》，计划更新一批训练设备，为高质量体育教师队伍建设提供良好支持．该校准备在某体育用品店购买一批甲、乙两种体育器材，已知购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元，甲种器材的单价比乙种器材单价的2倍少60元．该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折． （1）求甲、乙两种器材的单价分别是多少元． （2）经核算，学校准备购买甲、乙两种器材共50件，且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的费用分别为 y1元 、y2元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． 21. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 22. 跳 台滑雪是 一 项极具挑战性和观赏性的运动项目，被 形容为“勇敢者的游戏” ．跳台滑雪的技术动作包括助滑、起跳、空中飞行和着陆，要求运动员在高速下落 的过程中完成一系列高难度动作，展现出优美的姿态和极佳的平衡能力，其中在空中飞行过程呈现优美 的抛物线形．如图 ，为着陆坡，为跳台，且点D为起跳点，点B为运动员空中飞行后的着陆点（点A，B，C，D 在同一竖直平面内，且点C，D在同一竖直方向上） ． 以点A 所在的水平线为x轴 ， 所 在 的 直 线 为y轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度为1m），已 知 点B到跳台的水平距离为．起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5 m． （1）求此运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式． （2）求在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离． 23. 发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $