第13讲 一次式（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固）讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册

本讲义聚焦一次式核心知识点，系统梳理从一次式概念理解、同类项判断，到合并同类项、去括号与添括号运算，再到整体思想应用的完整学习支架，构建从基础概念到运算技能的递进脉络。 资料以思维导图总览课程内容，通过典型例题解析与核心考点分类训练，培养学生抽象能力（如一次式判断）、运算能力（如合并同类项），课中辅助教师精准教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第13讲 一次式（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一次式的概念，能准确判断一个代数式是否为一次式。 · 掌握同类项的判断方法，并能熟练合并同类项。 · 熟练运用一次式的加减运算，包括去括号、添括号。 · 体会整体思想在化简求值中的简化作用。 · 掌握数与一次项相乘的法则，正确进行去括号。 ✨ 核心思想：将“整体”视为一个变量，简化运算过程，培养代数变形能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一次式的概念 定义：所含字母的次数最高为1的整式称为一次式。单项式与多项式统称整式。 典型例题 判断：下列代数式是一次式的是（　） A. π　　B. 　　C. 　　D. 4+3y 【解析】π是常数，次数0； 是分式；是二次式；4+3y中字母y次数为1，是一次式。 【答案】 D ☆ 2. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项称为同类项。 · 要点①：常数项都是同类项（如 5 与 -8）。 · 要点②：同类项与系数无关，与字母排列顺序无关。 典型例题 下列各组中是同类项的是（　） A. 2ab 与 a²b　　B. a²b 与 -⅓ab²　　C. x 与 2x　　D. a²b³ 与 4a³b² 【解析】根据“两相同，两无关”判断，只有C满足。 【答案】 C ☆ 3. 一次式的加减（合并同类项） 法则：把同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。 · 步骤：① 找同类项；② 移动同类项（带符号）；③ 合并系数。 · ※ 只有同类项才能合并，非同类项不能合并。 典型例题 计算：x − 6x + 3x 【解析】合并同类项： (1−6+3)x = −2x 【答案】 −2x ☆ 4. 数与一次项相乘（去括号与添括号） 去括号法则：括号前是“+”，去括号后各项不变号；括号前是“−”，去括号后各项都变号。 添括号法则：括号前添“−”，括号内各项变号；添“+”则不变。 典型例题 去括号：−2(a−b) = ? 【解析】利用乘法分配律：−2×a + (−2)×(−b) = −2a + 2b 【答案】 −2a + 2b ☆ 5. 整体思想 将某个代数式看作一个整体，进行合并或代入，简化运算。 典型例题 化简：3(a+b) − 2(a+b) + 4(a+b) 【解析】把(a+b)看作整体，合并系数： (3−2+4)(a+b) = 5(a+b) = 5a+5b 【答案】 5a+5b 📊 知识总结表 核心概念 定义/方法 注意事项 一次式 字母最高次数为1的整式 常数项次数0，分式不是整式 同类项 字母相同且相同字母指数相同 与系数、顺序无关；常数项都是同类项 合并同类项 系数相加，字母和指数不变 只有同类项才能合并 去括号 括号前负号，各项变号 注意符号，使用分配律 整体思想 将多项式视为整体 简化运算，避免重复展开 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】一次式的概念（第1−4题） · 定义法：字母最高次数为1，且分母不含字母。 · 排除法：常数项（次数0）、分式、二次及更高次项都不是一次式。 · 注意：一次式是整式，单项式和多项式都可能是一次式。 1．（2025秋•黄浦区期末）下列代数式是一次式的是（　　） A．π B． C． D．4+3y 【分析】根据一次式的定义判断即可． 【解答】解：A、π的次数是0，故此选项不符合题意； B、不符合一次式的定义，故此选项不符合题意； C、是二次式，故此选项不符合题意； D、是一次式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了代数式，熟练掌握一次式的定义是解题的关键． 2．（2025秋•启东市期末）商店销售某种商品，第一天售出m件．第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“3m﹣3”表示的意义是（　　） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【分析】先根据题意表示出第二天售出的件数，再由代数式“3m﹣3”可得出其意义是两天一共售出的该商品数量． 【解答】解：∵第一天售出m件．第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天售出（2m﹣3）件， ∴两天一共售出（m+2m﹣3）件，即（3m﹣3）件， 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式，代数式的意义，熟练掌握代数式的计算是解题的关键． 3．（2025秋•科左中旗期末）下列代数式的书写格式规范的是（　　） A．1 B．a×b+5+1 C．a×b2 D． 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是ab+5+1，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是ab2，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 4．（2025秋•普陀区期末）下列代数式中，不是一次式的是（　　） A．﹣25a B． C．m+1 D．﹣9 【分析】选项A、B、C中字母的次数均为1，是一次式；选项D是常数，次数为0，不是一次式． 【解答】解：∵一次式要求字母的最高次数为1， 选项A：﹣25a，字母a的次数为1，不符合题意； 选项B：，字母m和n的次数均为1，不符合题意； 选项C：m+1，字母m的次数为1，不符合题意； 选项D：﹣9，是常数，没有字母，次数为0． ∴不是一次式的是选项D，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了一次式的定义．一次式是指字母的最高次数为1的代数式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点2】一次式的同类项（第5−9题） · 两相同：字母相同，相同字母指数相同。 · 两无关：与系数无关，与字母顺序无关。 · 常数项：所有常数项都是同类项。 5．（2025秋•临漳县期末）下列各组式子中，是同类项的是（　　） A．2a与2b B．3x2y与﹣3xy2 C．5与﹣8 D．4abc与4ac 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、所含字母不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项； 故选：C． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 6．（2025秋•张店区期末）下列各组中的两项是同类项的是（　　） A．2x与2y B．5m与5 C．﹣3n与 D．6a2与4b2 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、所含字母不相同，不是同类项； B、所含字母不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项； 故选：C． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 7．（2025秋•遵化市期末）下面各组式子中，属于同类项的是（　　） A．a和a2 B．﹣1.5和 C．﹣2x和﹣xy D．3xy2和4x2y 【分析】根据同类项的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、a和a2y不是同类项，故A不符合题意； B、﹣1.5和是同类项，故B符合题意； C、﹣2x和﹣xy不是同类项，故C不符合题意； D、3xy2和4x2y不是同类项，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 8．（2025秋•周村区期末）下列各题中是同类项的是（　　） A．2ab与a2b B．a2b与ab2 C．x与2x D．a2b3与4a3b2 【分析】根据同类项的定义判断即可． 【解答】解：A、2ab与a2b，所含字母相同，但是相同字母的指数不尽相同，所以不是同类项，故本选项不合题意； B、a2b与ab2，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，所以不是同类项，故本选项不合题意； C、x与2x是同类项，故本选项符合题意； D、a2b3与4a3b2，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，所以不是同类项，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了同类项定义，关键是掌握同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 9．（2025秋•思明区校级期末）下列单项式中，与3a是同类项的是（　　） A．3b B．ab C．﹣2a D．a2 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、所含字母不相同，不是同类项； B、所含字母不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【考点3】一次式的加减（第10−16题） · 步骤：找同类项 → 移动（带符号）→ 合并系数。 · “值与字母无关”型：合并后令含该字母的项系数为0，列方程求参。 · 注意：非同类项不能合并，保留原式。 10．（2026•宁河区二模）计算x﹣6x+3x的结果为　﹣2x ． 【分析】根据合并同类项法则化简即可． 【解答】解：x﹣6x+3x＝（1﹣6+3）x＝﹣2x． 故答案为：﹣2x． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2025秋•荔湾区期末）下列计算正确的是（　　） A．3a+2b＝5ab B．5y﹣3y＝2y C．7a+a＝7a2 D．3x2y﹣2yx2＝xy 【分析】根据合并同类项法则逐项计算判断即可． 【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、5y﹣3y＝2y，故此选项符合题意； C、7a+a＝8a，故此选项不符合题意； D、3x2y﹣2yx2＝x2y，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2025秋•潮南区期末）与2a进行加法，能合并成一项是哪一个选项（　　） A．a2 B．b C．a D．1 【分析】根据合并同类项法则逐项判断即可得． 【解答】解：∵a2与2a不是同类项， ∴A选项不符合题意； ∵b与2a不是同类项， ∴B选项不符合题意； ∵a与2a是同类项，能合并（a+2a＝3a）， ∴C选项符合题意； ∵1与2a不是同类项， ∴D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键． 13．（2025秋•榆树市期末）若代数式（2x2+ax+6）﹣（2bx2﹣3x﹣1）（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式a+2b的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．2或﹣2 D．6 【分析】直接利用合并同类项法则以及代数式求值运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵代数式（2x2+ax+6）﹣（2bx2﹣3x﹣1）（a，b为常数）的值与字母x的取值无关， ∴（2x2+ax+6）﹣（2bx2﹣3x﹣1） ＝2x2+ax+6﹣2bx2+3x+1 ＝（2﹣2b）x2+（a+3）x+7， 则2﹣2b＝0，a+3＝0， 解得：b＝1，a＝﹣3， 则代数式a+2b的值为：﹣3+2＝﹣1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了合并同类项以及代数式求值，正确掌握相关运算法则是解题关键． 14．（2025秋•洛阳期末）多项式3mx2﹣ny+3y﹣5+6x2的值与x，y的取值无关、则（m+n）2026的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2026 D．﹣2026 【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与x、y取值无关得出对应项系数为0，求出m、n的值，最后代入计算即可． 【解答】解：根据题意可知，3mx2﹣ny+3y﹣5+6x2＝（3m+6）x2+（3﹣n）y﹣5， ∵多项式3mx2﹣ny+3y﹣5+6x2的值与x、y的取值无关， ∴3m+6＝0，3﹣n＝0， 解得：m＝﹣2，n＝3， ∴原式＝（﹣2+3）2026＝12026＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了同类项，代数式求值，掌握同类项的定义是关键． 15．（2025秋•嘉兴期末）小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于x的多项式5x2+2px+qx2﹣4x+6的值与x的取值无关，求p+q的值．”，则p+q＝（　　） A．1 B．﹣3 C．0 D．﹣5 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列方程式，进而得出答案． 【解答】解：原式＝（5+q）x2+（2p﹣4）x+6， ∵关于x的多项式5x2+2px+qx2﹣4x+6的值与x的取值无关， ∴5+q＝0，2p﹣4＝0， ∴q＝﹣5，p＝2， ∴p+q＝﹣5+2＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题主要考查合并同类项，理解题意是解题的关键． 16．（2025秋•天台县期末）若多项式6x+3+ax+4y﹣by合并同类项后的结果是3，则a+b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．10 D．6 【分析】先根据合并同类项法则计算得出（6+a）x+（4﹣b）y+3，再根据题意得出6+a＝0，4﹣b＝0，即可得解． 【解答】解：6x+3+ax+4y﹣by＝（6+a）x+（4﹣b）y+3， ∵多项式6x+3+ax+4y﹣by合并同类项后的结果是3， ∴6+a＝0，4﹣b＝0， ∴a＝﹣6，b＝4， ∴a+b＝﹣6+4＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【考点4】数与一次项相乘（第17−25题） · 分配律：括号前系数与括号内每一项相乘。 · 符号规则：括号前为“−”，去括号后每一项变号。 · 添括号：括号前为“−”，括号内各项变号。 17．（2026•周口一模）等号左右两边一定相等的是（　　） A．﹣（a+b）＝﹣a+b B．a2＝a+a C．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+2b D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 【分析】将各选项等号左边化简，和右边对比即可得出结果． 【解答】解：A、﹣（a+b）＝﹣a﹣b与﹣a+b不一定相等，不符合题意； B、a2＝a•a不一定与a+a相等，不符合题意； C、﹣2（a﹣b）＝﹣2a+2b，原式等号左右两边一定相等，符合题意； D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2与a2﹣b2不一定相等，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法的运算法则是关键． 18．（2025秋•芙蓉区校级期末）下列各式中，去括号正确的是（　　） A．a2﹣（3a﹣b+c）＝a2﹣3a﹣3b+3c B．a﹣（2x+4y﹣1）＝a﹣2x﹣4y+1 C．3x﹣（2y+1）＝3x﹣2y+1 D．﹣2x﹣y﹣（a+1）＝﹣2x﹣y﹣a+1 【分析】根据去括号的法则直接求解即可． 【解答】解：A、a2﹣（3a﹣b+c）＝a2﹣3a+b﹣c≠a2﹣3a﹣3b+3c，错误； B、a﹣（2x+4y﹣1）＝a﹣2x﹣4y+1，正确； C、3x﹣（2y+1）＝3x﹣2y﹣1≠3x﹣2y+1，错误； D、﹣2x﹣y﹣（a+1）＝﹣2x﹣y﹣a﹣1≠﹣2x﹣y﹣a+1，错误． 故选：B． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 19．（2026•栾城区校级开学）下列各式中添括号正确的是（　　） A．﹣x﹣3y＝﹣（x﹣3y） B．2x﹣y＝﹣（2x+y） C．2m﹣m2＝2m（1﹣m） D．3﹣4x＝﹣（4x﹣3） 【分析】根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【解答】解：选项A、﹣x﹣3y＝﹣（x+3y）≠﹣（x﹣3y），则选项A错误； 选项B、2x﹣y＝﹣（﹣2x+y）≠﹣（2x+y），则选项B错误； 选项C、2m﹣m2＝m（2﹣m）≠2m（1﹣m），则选项C错误； 选项D、3﹣4x＝﹣（4x﹣3），变形符合添括号法则，则选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了去括号与添括号，掌握去括号与添括号的法则是解题的关键． 20．（2025秋•恩施市期末）去括号等于a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（b+c） B．a﹣（b﹣c） C．a+（b﹣c） D．a+（b+c） 【分析】把四个选项按照去括号的法则依次去括号即可． 【解答】解：A．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故本选项不合题意； B．a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，故本选项正确 C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故本选项不合题意； D．a+（b+c）＝a+b+c，故本选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 21．（2025秋•海沧区校级期末）解方程2x﹣3（x+5）＝4去括号变形正确的是（　　） A．2x﹣3x+5＝4 B．2x﹣3x﹣5＝4 C．2x﹣3x+15＝4 D．2x﹣3x﹣15＝4 【分析】根据去括号的法则解答即可． 【解答】解：2x﹣3（x+5）＝4， 2x﹣3x﹣15＝4， 故选：D． 【点评】本题考查的是去括号与添括号，熟知去括号的法则是解题的关键． 22．（2025秋•晋江市期末）下列各式可以写成a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c） 【分析】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可求得结果． 【解答】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， A的结果为a﹣b﹣c， B的结果为a﹣b+c， C的结果为a﹣b﹣c， D的结果为a﹣b﹣c， 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算，化简即可．去括号法则为+（+）＝+，+（﹣）＝﹣，﹣（+）＝﹣，﹣（﹣）＝+． 23．（2025秋•庐阳区校级期末）不改变多项式a﹣2b+c﹣d的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“﹣”，则结果为（　　） A．a﹣（2b+c﹣d） B．a﹣（2b﹣c+d） C．a﹣2（b+c﹣d） D．a﹣2（b﹣c+d） 【分析】根据添括号法则进行计算即可． 【解答】解：根据题意可知，a﹣2b+c﹣d＝a﹣（2b﹣c+d）． 故选：B． 【点评】本题考查了去括号与添括号，正数和负数，代数式求值，掌握相应的运算法则是关键． 24．（2025秋•莱州市期末）下列各式中与a﹣b﹣c的值不相等的是（　　） A．a﹣（b+c） B．a+（﹣b﹣c） C．a﹣（b﹣c） D．（﹣c）+（a﹣b） 【分析】直接利用去括号法则分别判断得出答案． 【解答】解：A、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，不合题意； B、a+（﹣b﹣c）＝a﹣b﹣c，不合题意； C、a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c与a﹣b﹣c的值不相等，符合题意； D、（﹣c）+（a﹣b）＝a﹣b﹣c，不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了去括号法则，正确去括号是解题关键． 25．（2025秋•仙居县期末）将代数式﹣5（n﹣1）去括号得（　　） A．﹣5n+1 B．﹣5n﹣1 C．﹣5n+5 D．﹣5n﹣5 【分析】根据去括号的法则直接求解即可． 【解答】解：﹣5（n﹣1） ＝（﹣5×n）﹣（﹣5×1） ＝﹣5n+5． 故选：C． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【考点5】整体思想与创新题型（第26−28题） · 合并整体：将重复出现的多项式视为整体，合并系数。 · 整体代入：不必展开，直接代入整体值。 · 数轴比例：注意单位长度比例，分类讨论。 26．（2024秋•东莞市校级期末）在学习数学的过程中，我们经常要探索一个问题的多种解法，这样不仅有利于拓宽解题思路培养发散思维、构建知识体系增强分析能力、对比多种解法优化解题方案，还是提高数学成绩、培养数学兴趣的重要途径．如：代数式3（a+b）﹣2（a+b）+4（a+b）的化简问题． （1）问题提出：先去括号，再合并同类项：3（a+b）﹣2（a+b）+4（a+b）； 对（1）的代数式，你还有其它解法吗？若把（a+b）看成一个整体，则：3（a+b）﹣2（a+b）+4（a+b）＝（3﹣2+4）（a+b）＝5（a+b）＝5a+5b． 这就是数学解题中的“整体思想”． 请运用上面的“整体思想”解决下列问题： （2）尝试应用：化简3（2a﹣b）+6（2a﹣b）﹣2（2a﹣b）； （3）拓展运用：已知x2y+2x＝2，2xy2+y＝3，求的值； （4）迁移运用：已知a﹣2b＝﹣4，2b﹣3c＝﹣2．在数轴上，点A表示的数是3c﹣2b，点B表示的数是a﹣3c，点C表示的数是5，一动点P从B点出发，以每秒1个单位的速度在数轴上沿一个方向运动；同时另一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动．设运动的时间为t秒，当PQ＝2AQ时，求t的值． 【分析】（1）去括号、利用合并同类项的计算法则求解即可； （2）去括号，合并同类项的计算求解即可； （3）将原式变形为，再将已知整体代入求解即可； （4）根据已知先求出点A、B表示的数，由点的运动方向和速度用t表示出点P、Q所表示的数，再根据当PQ＝2AQ时，列方程求解即可． 【解答】解：（1）3（a+b）﹣2（a+b）+4（a+b） ＝3a+3b﹣2a﹣2b+4a+4b ＝（3a﹣2a+4a）+（3b﹣2b+4b） ＝5a+5b； （2）方法一：3（2a﹣b）+6（2a﹣b）﹣2（2a﹣b） ＝（3+6﹣2）（2a﹣b） ＝7（2a﹣b） ＝14a﹣7b； 方法二：3（2a﹣b）+6（2a﹣b）﹣2（2a﹣b） ＝6a﹣3b+12a﹣6b﹣4a+2b ＝14a﹣7b； （3） ∵x2y+2x＝2，2xy2+y＝3， ∴原式 ＝4； （4）∵a﹣2b＝﹣4，2b﹣3c＝﹣2， ∴3c﹣2b＝﹣（2b﹣3c）＝2， a﹣3c＝（a﹣2b）+（2b﹣3c）＝﹣4+（﹣2）＝﹣6， ∴点A表示的数是2，点B表示的数是﹣6， 如图： ∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动． ∴点Q表示的数是5﹣2t，AQ＝|（5﹣2t）﹣2|＝|3﹣2t|， I、当点P沿正方向运动时，点P表示的数是﹣6+t， ∴PQ＝|（5﹣2t）﹣（﹣6+t）|＝|11﹣3t| 若PQ＝2AQ，即：|11﹣3t|＝2|3﹣2t|，解得：t＝﹣5（不合题意，舍去）或， II、当点P沿负方向运动时，点P表示的数是﹣6﹣t， ∴PQ＝|（5﹣2t）﹣（﹣6﹣t）|＝|11﹣t|， 若PQ＝2AP，即：|11﹣t|＝2|3﹣2t|， 解得：（不合题意，舍去）或， 综上所述：或时，PQ＝2AP． 【点评】本题主要考查了合并同类项，代数式求值、数轴上动点问题、解绝对值方程，利用整体代入的思想和分类讨论思想求解是解题的关键． 27．（2025秋•太原期中）综合与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A和数轴B模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐． （1）图1中，数轴B上表示9的点与数轴A上表示 　6　 的点对齐，数轴A上表示﹣8的点与数轴B上表示 　﹣12　 的点对齐； （2）如图2，将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示﹣2的点对齐，则数轴A上表示5的点与数轴B上表示 　　 的点对齐，数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示 　6或﹣10　 的点对齐； （3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择_____题． A．若数轴A的原点与数轴B上表示3m的点对齐，则数轴A上表示4的点与数轴B上表示 　6+3m 的点对齐，数轴B上距离原点（3m+3）个单位长度的点与数轴A上表示 　2或﹣4m﹣2　 的点对齐．（用代数式表示） B．若数轴A上表示2n的点与数轴B表示3m的点对齐，则数轴A上表示2n+6的点与数轴B上表示 　3m+9　 的点对齐，数轴B上距离原点（3m+12）个单位长度的点与数轴A上表示 　2n+8或2n﹣4m﹣8　 的点对齐．（用代数式表示） 【分析】（1）根据两个数轴单位长度的比值进行计算即可； （2）根据两个数轴单位长度的比值以及两条数轴原点的“差值”进行计算即可； （3）若选A，则可知3m+43m+6，即4与数轴上表示数3m+6的点对齐，距离原点3m+3的点有两个，需要分类讨论，再根据上述算式即可；若选B，则3m+（2n+6﹣2n）3m+9，由此可得数轴A上表示2n+6的点与数轴B上表示3m+9的点对齐，距离原点3m+12的点有两个，需要分类讨论，再根据上述算式即可． 【解答】解：（1）根据图形知：数轴A与数轴B 的单位长度的比值为3：2，即数值比为2：3， 数轴B上表示9的点与数轴A上表示的数为9÷3×2＝6，数轴A上表示﹣8的点与数轴B上表示的数为﹣8÷2×3＝﹣12， 故答案为：6，﹣12； （2）数轴B的原点与数轴A表示﹣2的点对齐，则数轴A上表示5的点与数轴B上表示的数为（5+2）÷2×3， 数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示的数有两种情况， 即①数轴B上表示12的点与数轴A上表示的数为12÷3×2﹣2＝6， ②数轴B上表示﹣12的点与数轴A上表示的数为﹣12÷3×2﹣2＝﹣10， 故答案为：6或﹣10； （3）选A； ∵3m+43m+6， ∴轴A上表示4的点与数轴B上表示3m+6的点对齐； 数轴B上距离原点（3m+3）个单位长度的点在数轴B上表示3m+3或﹣3m﹣3， ∴数轴B上表示3m+3的点在A轴上表示的数为（3m+3﹣3m ）2： 数轴B上表示﹣3m﹣3的点在A轴上表示的数为（﹣3m﹣3﹣3m）4m﹣2； 综上所述，数轴B上距离原点（3m+12）个单位长度的点与数轴A上表示2或﹣4m﹣2的点对齐； 故答案为：A：3m+6；2或﹣4m﹣2； 选B： ∵3m+（2n+6﹣2n）3m+9， ∴数轴A上表示2n+6的点与数轴B上表示3m+9的点对齐； 数轴B上距离原点（3m+12）个单位长度的点在数轴B上表示的数为3m+12或﹣3m﹣12， ∴数轴B上表示3m+12的点在A轴上表示的数为2n+（3m+12﹣3m）2n+8， 数轴B上表示﹣3m﹣12的点在A轴上表示的数为（﹣3m﹣12﹣3m ）2n＝2n﹣4m﹣8， 综上所述，数轴B上距离原点（3m+12）个单位长度的点与数轴A上表示2n+8或2n﹣4m﹣8的点对齐： 故答案为：B：3m+9；2n+8或2n﹣4m﹣8． 【点评】本题属于数轴上复杂应用题，主要考查数轴上两点之间的距离，理解数轴A与数轴B的对应关系是解题关键． 28．（2025秋•鸠江区期中）阅读下面材料： 计算：1+2+3+4+…+99+100 如果一个一个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律，可简化计算，提高计算速度． 1+2+3+…+99+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝101×50＝5050 根据阅读材料提供的方法，计算： a+（a+m）+（a+2m）+（a+3m）+…+（a+100m） 【分析】由阅读材料可以看出，100个数相加，用第一项加最后一项可得101，第二项加倒数第二项可得101，…，共100项，可分成50个101，在计算a+（a+m）+（a+2m）+（a+3m）+…+（a+100m）时，可以看出a共有101个，m，2m，3m，…100m，共有100个，m+100m＝101m，2m+99m＝101m，…共有50个101m，根据规律可得答案． 【解答】解：a+（a+m）+（a+2m）+（a+3m）+…+（a+100m） ＝101a+（m+2m+3m+…100m） ＝101a+（m+100m）+（2m+99m）+（3m+98m）+…+（50m+51m） ＝101a+101m×50 ＝101a+5050m． 【点评】此题主要考查了整式的加法，关键是根据阅读材料找出其中的规律，规律的归纳是现在中考中的热点，可以有效地考查同学们的观察和归纳能力． 随堂检测 · 精选练习 练习1：判断一次式练习2：同类项判断练习3：合并同类项练习4：去括号与添括号练习5：整体思想化简练习6：值与字母无关（求参）练习7：整体代入求值练习8：新定义运算 29．（2025秋•湖北校级期末）在式子、3y﹣x、5xy、2x+4y﹣3、、5、y＝2﹣x中，一次式有（　　） A．7个 B．5个 C．3个 D．1个 【分析】单项式的次数是单项式中所有字母指数之和，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，据此解答即可． 【解答】解：根据单项式的次数和多项式的次数的定义可得： 的次数为1，3y﹣x的次数为1，5xy的次数为2，2x+4y﹣3的次数为1，为分式，5的次数为0，y＝2﹣x不是整式， ∴次数为1的整式有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式和多项式的次数，解决本题的关键是根据单项式的次数和多项式的次数的定义分别求出每一个整式的次数，然后再进行判断． 【练习2】（2025秋•岱岳区期末）在计算：A﹣（5x2﹣3x﹣6）时，小明同学将括号前面的“﹣”号抄成了“+”号，得到的运算结果是﹣2x2+3x﹣4，则多项式A是 　﹣7x2+6x+2　 ． 【分析】根据题意列出算式，去括号后求出即可． 【解答】解：根据题意得：A＝（﹣2x2+3x﹣4）﹣（5x2﹣3x﹣6） ＝﹣2x2+3x﹣4﹣5x2+3x+6 ＝﹣7x2+6x+2， 故答案为：﹣7x2+6x+2． 【点评】本题考查了整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键． 【练习3】（2025秋•珠海期中）去括号：a﹣（﹣b+c）＝a+b﹣c ． 【分析】根据去括号法则（括号前是“﹣”号，去括号时，把括号和它前面的“﹣”去掉，括号内的各项都变号）去括号，即可得出答案． 【解答】解：a﹣（﹣b+c）＝a+b﹣c． 故答案为：a+b﹣c． 【点评】本题考查了去括号法则的应用，注意：括号前是“+”号，去括号时，把括号和它前面的“+”去掉，括号内的各项都不变，括号前是“﹣”号，去括号时，把括号和它前面的“﹣”去掉，括号内的各项都变号． 【练习4】（2024秋•姑苏区校级期末）若关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关，则a+b的值为 　7　 ． 【分析】根据题意得出a﹣5＝0，﹣2+b＝0进而求出即可． 【解答】解：∵关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关， ∴a﹣5＝0，﹣2+b＝0， 解得：a＝5，b＝2， 则a+b＝7． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的系数定义是解题关键． 【练习4】（2024秋•嘉定区校级月考）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．老师捂住的一次式是 　5m+11　 ． 【分析】用和减去加数，即可求出答案． 【解答】解：20m+8﹣3（5m﹣1） ＝20m+8﹣15m+3 ＝5m+11， 故答案为：5m+11． 【点评】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的计算方法． 【练习5】（2025秋•龙湖区校级期中）若代数式mx﹣（3﹣2x）的值与字母x无关，则m的值为 　﹣2　 ． 【分析】先合并有关x的项，使x项的系数为0，即可作答． 【解答】解：依题意，mx﹣（3﹣2x）＝mx﹣3+2x＝（m+2）x﹣3 因为代数式mx﹣（3﹣2x）的值与字母x无关， 所以m+2＝0， 则m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了整式加减中的无关型问题，使x项的系数为0是关键． 【练习6】（2025秋•二道区期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请你应用这样的方法完成下列问题： （1）把x﹣y看成一个整体，化简：5（x﹣y）+2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝　3（x﹣y）　 ； （2）已知x2﹣2x＝1，则2x2﹣4x＝　2　 ； （3）已知a2+2ab＝15，ab﹣2b2＝1，求代数式2a2+7ab﹣6b2的值． 【分析】（1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）将2x2﹣4x化为2（x2﹣2x），再整体代入计算即可； （3）将2a2+7ab﹣6b2化为2（a2+2ab）+3（ab﹣2b2），再整体代入计算即可． 【解答】解：（1）5（x﹣y）+2（x﹣y）﹣4（x﹣y） ＝（5+2﹣4）（x﹣y） ＝ 3（x﹣y）， 故答案为：3（x﹣y）； （2）∵x2﹣2x＝1， ∴2x2﹣4x＝2（x2﹣2x） ＝2×1 ＝ 2， 故答案为：2； （3）∵a2+2ab＝15，ab﹣2b2＝1， ∴2a2+7ab﹣6b2 ＝2（a2+2ab）+3（ab﹣2b2） ＝2×15+3×1 ＝33． 【点评】本题考查合并同类项，代数式求值，掌握合并同类项法则是正确解答的关键． 【练习7】（2024秋•郴州期末）我们知道，5x﹣3x+x＝（5﹣3+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）﹣3（a+b）+（a+b）＝（5﹣3+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是数学中一种重要的思想方法，它的应用极为广泛． （1）化简：4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+3（a﹣b）2； （2）若A，B＝6x2﹣4x﹣4． ①计算A﹣B； ②如果A﹣B＝10，解关于k的方程4x2﹣4x＝3k﹣2x2+9． 【分析】（1）将（a﹣b）2作为整体合并即可； （2）①先化简A，再整体代入计算A﹣B即可； ②根据题意，先化简出﹣3x2+2x+7＝10，再整体代入方程，解关于k的方程即可． 【解答】解：（1）4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+3（a﹣b）2＝2（a﹣b）2； （2）A ＝（）（3x2﹣2x+3） ＝3x2﹣2x+3， ①A﹣B＝3x2﹣2x+3﹣（6x2﹣4x﹣4） ＝3x2﹣2x+3﹣6x2+4x+4 ＝﹣3x2+2x+7； ②∵A﹣B＝10， ∴﹣3x2+2x+7＝10， ﹣3x2+2x＝3， ∴4x2﹣4x＝3k﹣2x2+9， 3k＝6x2﹣4x﹣9＝﹣2（﹣3x2+2x）﹣9＝﹣2×3﹣9＝﹣15， ∴k＝﹣5． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握整体思想是关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：合并同类项（5a−3a）作业2：值与字母无关（双字母）作业3：整式加减作业4：去括号与合并（多层）作业5：指出一次项及系数作业6：整体思想（合并平方项）作业7：整体思想化简作业8：新定义 f(x) 函数求值 ❤ 复习建议 强化同类项判断：多做“找同类项”练习，熟练“两相同，两无关”。 注意符号：去括号时，括号前为“−”要逐项变号，避免漏项。 整体思想训练：在合并同类项和求值中，刻意寻找整体结构。 “无关”型题：合并后令含该字母的项系数为0，列方程求解。 数形结合：结合数轴问题，理解单位长度比例，分类讨论。 【作业1】（2025•连云港）计算：5a﹣3a＝　2a ． 【分析】直接利用合并同类项法则求出答案． 【解答】解：5a﹣3a＝2a． 故答案为：2a． 【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键． 【作业2】（2025秋•龙山县期末）若代数式k2x+y﹣x+ky﹣10的值与x，y的取值无关，那么k的值为 　﹣1　 ． 【分析】直接利用合并同类项的运算法则得出关于k的方程，进而得出答案． 【解答】解：k2x+y﹣x+ky﹣10＝（k2﹣1）x+（k+1）y﹣10， ∵代数式k2x+y﹣x+ky﹣10的值与x，y的取值无关， ∴k2﹣1＝0且k+1＝0， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了合并同类项以及代数式求值，正确得出x，y的系数关系是解题的关键． 【作业3】（2025秋•东城区校级期中）化简：4b﹣6a﹣9b+6a． 【分析】将原式合并同类项即可． 【解答】解：原式＝（4b﹣9b）﹣（6a﹣6a） ＝﹣5b． 【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【作业4】（2024秋•同步）计算： （1）﹣5y+2y﹣l； （2）2（x﹣y+l）； （3）x﹣（x﹣3）； （4）2（m﹣7）（m+4）； （5）（6m﹣4）（﹣9﹣3m）． 【分析】（1）根据整式的加减运算法则，合并同类项即可； （2）根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项； （3）根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项； （4）根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项； （5）根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项； 【解答】解：（1）﹣5y+2y﹣l＝﹣3y﹣1； （2）2（x﹣y+l）＝2x﹣2y+2； （3）x﹣（x﹣3）3； （4）2（m﹣7）（m+4） ＝2m﹣142 ； （5）（6m﹣4）（﹣9﹣3m） ＝﹣3m+2﹣3﹣m ＝﹣4m﹣1． 【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 【作业5】（2024秋•同步）指出一次式mn﹣8中的一次项、常数项及一次项的系数． 【分析】根据多项式的概念作答即可． 【解答】解：一次式中的一次项是m和， 常数项是﹣8， 其中m的系数是1，的系数是， 即一次项的系数分别是1，． 【点评】本题考查了多项式，掌握多项式的项、常数项、次数是解决本题的关键． 【作业6】（2025秋•作业）2（x﹣y）2+5（x﹣y）2﹣3（x﹣y）2﹣7（x﹣y）2． 【分析】首先把（x﹣y）看作一个整体合并同类项，再进一步利用完全平方公式计算出结果即可． 【解答】解：2（x﹣y）2+5（x﹣y）2﹣3（x﹣y）2﹣7（x﹣y）2 ＝（2+5﹣3﹣7）（x﹣y）2 ＝﹣3（x﹣y）2 ＝﹣3（x2﹣2xy+y2） ＝﹣3x2+6xy﹣3y2． 【点评】此题考查合并同类项以及利用整式的乘法公式计算． 【作业7】（2025秋•宿城区期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）把（a﹣b）2看成一个整体，化简5（a﹣b）2+4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2＝　2　 （a﹣b）2； （2）运用“整体思想”化简：7（m+n）2﹣6（m+n）2+2（m+n）2． 【分析】（1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）运用“整体思想”合并同类项即可． 【解答】解：（1）5（a﹣b）2+4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2 ＝（5+4﹣7）（a﹣b）2＝2（a﹣b）2 故答案为：2． （2）原式＝（7﹣6+2）（m+n）2 ＝3（m+n）2． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握整体思想求解代数式的值是解题关键． 【作业8】（2025秋•衡阳期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示． 例如f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时，多项式的值用f（某数）表示． 例如x＝﹣1时，多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7． （1）已知f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，求出f（﹣1）； （2）已知f（x）＝ax3+bx﹣6，当f（2）＝2025，求f（﹣2）的值； （3）已知f（x）＝4x2+ax+b，g（x）＝2bx2﹣3x﹣1（a，b为常数），若f（x）﹣2g（x）的值与x的取值无关，求代数式a2﹣2ab﹣（﹣b）2026的值． 【分析】（1）将x＝﹣1代入f（x）＝﹣2x2﹣3x+1计算即可得解； （2）先根据f（2）＝2025求出8a+2b＝2031，再表示出f（﹣2），整体代入计算即可得解； （3）先根据整式的加减运算法则计算得出f（x）﹣2g（x），再结合f（x）﹣2g（x）的值与x的取值无关，求出a、b的值，代入所求代数式即可得解． 【解答】解：（1）将x＝﹣1代入f（x）＝﹣2x2﹣3x+1计算可得： f（﹣1）＝﹣2×（﹣1）2﹣3×（﹣1）+1＝﹣2+3+1＝2； （2）∵f（x）＝ax3+bx﹣6，且f（2）＝2025， ∴f（2）＝a×23+b×2﹣6＝8a+2b﹣6＝2025， ∴8a+2b＝2031， ∴f（﹣2）＝a×（﹣2）3+b×（﹣2）﹣6＝﹣8a﹣2b﹣6＝﹣（8a+2b）﹣6＝﹣2031﹣6＝﹣2037； （3）∵f（x）＝4x2+ax+b，g（x）＝2bx2﹣3x﹣1， ∴f（x）﹣2g（x） ＝4x2+ax+b﹣2（2bx2﹣3x﹣1） ＝4x2+ax+b﹣4bx2+6x+2 ＝（4﹣4b）x2+（a+6）x+b+2， 由条件可知4﹣4b＝0，a+6＝0， ∴a＝﹣6，b＝1， ∴原式＝（﹣6）2﹣2×（﹣6）×1﹣（﹣1）2026＝36+12﹣1＝47． 【点评】本题考查了求代数式的值，整式的加减，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一次式（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一次式的概念，能准确判断一个代数式是否为一次式。 · 掌握同类项的判断方法，并能熟练合并同类项。 · 熟练运用一次式的加减运算，包括去括号、添括号。 · 体会整体思想在化简求值中的简化作用。 · 掌握数与一次项相乘的法则，正确进行去括号。 ✨ 核心思想：将“整体”视为一个变量，简化运算过程，培养代数变形能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一次式的概念 定义：所含字母的次数最高为1的整式称为一次式。单项式与多项式统称整式。 典型例题 判断：下列代数式是一次式的是（　） A. π　　B. 　　C. 　　D. 4+3y 【解析】π是常数，次数0； 是分式；是二次式；4+3y中字母y次数为1，是一次式。 【答案】 D ☆ 2. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项称为同类项。 · 要点①：常数项都是同类项（如 5 与 -8）。 · 要点②：同类项与系数无关，与字母排列顺序无关。 典型例题 下列各组中是同类项的是（　） A. 2ab 与 a²b　　B. a²b 与 -⅓ab²　　C. x 与 2x　　D. a²b³ 与 4a³b² 【解析】根据“两相同，两无关”判断，只有C满足。 【答案】 C ☆ 3. 一次式的加减（合并同类项） 法则：把同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。 · 步骤：① 找同类项；② 移动同类项（带符号）；③ 合并系数。 · ※ 只有同类项才能合并，非同类项不能合并。 典型例题 计算：x − 6x + 3x 【解析】合并同类项： (1−6+3)x = −2x 【答案】 −2x ☆ 4. 数与一次项相乘（去括号与添括号） 去括号法则：括号前是“+”，去括号后各项不变号；括号前是“−”，去括号后各项都变号。 添括号法则：括号前添“−”，括号内各项变号；添“+”则不变。 典型例题 去括号：−2(a−b) = ? 【解析】利用乘法分配律：−2×a + (−2)×(−b) = −2a + 2b 【答案】 −2a + 2b ☆ 5. 整体思想 将某个代数式看作一个整体，进行合并或代入，简化运算。 典型例题 化简：3(a+b) − 2(a+b) + 4(a+b) 【解析】把(a+b)看作整体，合并系数： (3−2+4)(a+b) = 5(a+b) = 5a+5b 【答案】 5a+5b 📊 知识总结表 核心概念 定义/方法 注意事项 一次式 字母最高次数为1的整式 常数项次数0，分式不是整式 同类项 字母相同且相同字母指数相同 与系数、顺序无关；常数项都是同类项 合并同类项 系数相加，字母和指数不变 只有同类项才能合并 去括号 括号前负号，各项变号 注意符号，使用分配律 整体思想 将多项式视为整体 简化运算，避免重复展开 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】一次式的概念（第1−4题） · 定义法：字母最高次数为1，且分母不含字母。 · 排除法：常数项（次数0）、分式、二次及更高次项都不是一次式。 · 注意：一次式是整式，单项式和多项式都可能是一次式。 1．（2025秋•黄浦区期末）下列代数式是一次式的是（　　） A．π B． C． D．4+3y 2．（2025秋•启东市期末）商店销售某种商品，第一天售出m件．第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“3m﹣3”表示的意义是（　　） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 3．（2025秋•科左中旗期末）下列代数式的书写格式规范的是（　　） A．1 B．a×b+5+1 C．a×b2 D． 4．（2025秋•普陀区期末）下列代数式中，不是一次式的是（　　） A．﹣25a B． C．m+1 D．﹣9 【考点2】一次式的同类项（第5−9题） · 两相同：字母相同，相同字母指数相同。 · 两无关：与系数无关，与字母顺序无关。 · 常数项：所有常数项都是同类项。 5．（2025秋•临漳县期末）下列各组式子中，是同类项的是（　　） A．2a与2b B．3x2y与﹣3xy2 C．5与﹣8 D．4abc与4ac 6．（2025秋•张店区期末）下列各组中的两项是同类项的是（　　） A．2x与2y B．5m与5 C．﹣3n与 D．6a2与4b2 7．（2025秋•遵化市期末）下面各组式子中，属于同类项的是（　　） A．a和a2 B．﹣1.5和 C．﹣2x和﹣xy D．3xy2和4x2y 8．（2025秋•周村区期末）下列各题中是同类项的是（　　） A．2ab与a2b B．a2b与ab2 C．x与2x D．a2b3与4a3b2 9．（2025秋•思明区校级期末）下列单项式中，与3a是同类项的是（　　） A．3b B．ab C．﹣2a D．a2 【考点3】一次式的加减（第10−16题） · 步骤：找同类项 → 移动（带符号）→ 合并系数。 · “值与字母无关”型：合并后令含该字母的项系数为0，列方程求参。 · 注意：非同类项不能合并，保留原式。 10．（2026•宁河区二模）计算x﹣6x+3x的结果为　 　 ． 11．（2025秋•荔湾区期末）下列计算正确的是（　　） A．3a+2b＝5ab B．5y﹣3y＝2y C．7a+a＝7a2 D．3x2y﹣2yx2＝xy 12．（2025秋•潮南区期末）与2a进行加法，能合并成一项是哪一个选项（　　） A．a2 B．b C．a D．1 13．（2025秋•榆树市期末）若代数式（2x2+ax+6）﹣（2bx2﹣3x﹣1）（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式a+2b的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．2或﹣2 D．6 14．（2025秋•洛阳期末）多项式3mx2﹣ny+3y﹣5+6x2的值与x，y的取值无关、则（m+n）2026的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2026 D．﹣2026 15．（2025秋•嘉兴期末）小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于x的多项式5x2+2px+qx2﹣4x+6的值与x的取值无关，求p+q的值．”，则p+q＝（　　） A．1 B．﹣3 C．0 D．﹣5 16．（2025秋•天台县期末）若多项式6x+3+ax+4y﹣by合并同类项后的结果是3，则a+b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．10 D．6 【考点4】数与一次项相乘（第17−25题） · 分配律：括号前系数与括号内每一项相乘。 · 符号规则：括号前为“−”，去括号后每一项变号。 · 添括号：括号前为“−”，括号内各项变号。 17．（2026•周口一模）等号左右两边一定相等的是（　　） A．﹣（a+b）＝﹣a+b B．a2＝a+a C．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+2b D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 18．（2025秋•芙蓉区校级期末）下列各式中，去括号正确的是（　　） A．a2﹣（3a﹣b+c）＝a2﹣3a﹣3b+3c B．a﹣（2x+4y﹣1）＝a﹣2x﹣4y+1 C．3x﹣（2y+1）＝3x﹣2y+1 D．﹣2x﹣y﹣（a+1）＝﹣2x﹣y﹣a+1 19．（2026•栾城区校级开学）下列各式中添括号正确的是（　　） A．﹣x﹣3y＝﹣（x﹣3y） B．2x﹣y＝﹣（2x+y） C．2m﹣m2＝2m（1﹣m） D．3﹣4x＝﹣（4x﹣3） 20．（2025秋•恩施市期末）去括号等于a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（b+c） B．a﹣（b﹣c） C．a+（b﹣c） D．a+（b+c） 21．（2025秋•海沧区校级期末）解方程2x﹣3（x+5）＝4去括号变形正确的是（　　） A．2x﹣3x+5＝4 B．2x﹣3x﹣5＝4 C．2x﹣3x+15＝4 D．2x﹣3x﹣15＝4 22．（2025秋•晋江市期末）下列各式可以写成a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c） 23．（2025秋•庐阳区校级期末）不改变多项式a﹣2b+c﹣d的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“﹣”，则结果为（　　） A．a﹣（2b+c﹣d） B．a﹣（2b﹣c+d） C．a﹣2（b+c﹣d） D．a﹣2（b﹣c+d） 24．（2025秋•莱州市期末）下列各式中与a﹣b﹣c的值不相等的是（　　） A．a﹣（b+c） B．a+（﹣b﹣c） C．a﹣（b﹣c） D．（﹣c）+（a﹣b） 25．（2025秋•仙居县期末）将代数式﹣5（n﹣1）去括号得（　　） A．﹣5n+1 B．﹣5n﹣1 C．﹣5n+5 D．﹣5n﹣5 【考点5】整体思想与创新题型（第26−28题） · 合并整体：将重复出现的多项式视为整体，合并系数。 · 整体代入：不必展开，直接代入整体值。 · 数轴比例：注意单位长度比例，分类讨论。 26．（2024秋•东莞市校级期末）在学习数学的过程中，我们经常要探索一个问题的多种解法，这样不仅有利于拓宽解题思路培养发散思维、构建知识体系增强分析能力、对比多种解法优化解题方案，还是提高数学成绩、培养数学兴趣的重要途径．如：代数式3（a+b）﹣2（a+b）+4（a+b）的化简问题． （1）问题提出：先去括号，再合并同类项：3（a+b）﹣2（a+b）+4（a+b）； 对（1）的代数式，你还有其它解法吗？若把（a+b）看成一个整体，则：3（a+b）﹣2（a+b）+4（a+b）＝（3﹣2+4）（a+b）＝5（a+b）＝5a+5b． 这就是数学解题中的“整体思想”． 请运用上面的“整体思想”解决下列问题： （2）尝试应用：化简3（2a﹣b）+6（2a﹣b）﹣2（2a﹣b）； （3）拓展运用：已知x2y+2x＝2，2xy2+y＝3，求的值； （4）迁移运用：已知a﹣2b＝﹣4，2b﹣3c＝﹣2．在数轴上，点A表示的数是3c﹣2b，点B表示的数是a﹣3c，点C表示的数是5，一动点P从B点出发，以每秒1个单位的速度在数轴上沿一个方向运动；同时另一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动．设运动的时间为t秒，当PQ＝2AQ时，求t的值． 27．（2025秋•太原期中）综合与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A和数轴B模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐． （1）图1中，数轴B上表示9的点与数轴A上表示 　 　 的点对齐，数轴A上表示﹣8的点与数轴B上表示 　 　 的点对齐； （2）如图2，将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示﹣2的点对齐，则数轴A上表示5的点与数轴B上表示 　 　 的点对齐，数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示 　 　 的点对齐； （3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择_____题． A．若数轴A的原点与数轴B上表示3m的点对齐，则数轴A上表示4的点与数轴B上表示 　 　 的点对齐，数轴B上距离原点（3m+3）个单位长度的点与数轴A上表示 　 　 的点对齐．（用代数式表示） B．若数轴A上表示2n的点与数轴B表示3m的点对齐，则数轴A上表示2n+6的点与数轴B上表示 　 　 的点对齐，数轴B上距离原点（3m+12）个单位长度的点与数轴A上表示 　 　 的点对齐．（用代数式表示） 28．（2025秋•鸠江区期中）阅读下面材料： 计算：1+2+3+4+…+99+100 如果一个一个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律，可简化计算，提高计算速度． 1+2+3+…+99+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝101×50＝5050 根据阅读材料提供的方法，计算： a+（a+m）+（a+2m）+（a+3m）+…+（a+100m） 随堂检测 · 精选练习 练习1：判断一次式练习2：同类项判断练习3：合并同类项练习4：去括号与添括号练习5：整体思想化简练习6：值与字母无关（求参）练习7：整体代入求值练习8：新定义运算 【练习1】（2025秋•湖北校级期末）在式子、3y﹣x、5xy、2x+4y﹣3、、5、y＝2﹣x中，一次式有（　　） A．7个 B．5个 C．3个 D．1个 【练习2】（2025秋•岱岳区期末）在计算：A﹣（5x2﹣3x﹣6）时，小明同学将括号前面的“﹣”号抄成了“+”号，得到的运算结果是﹣2x2+3x﹣4，则多项式A是 　 　 ． 【练习3】（2025秋•珠海期中）去括号：a﹣（﹣b+c）＝　 　 ． 【练习4】（2024秋•姑苏区校级期末）若关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关，则a+b的值为 　 　 ． 【练习4】（2024秋•嘉定区校级月考）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．老师捂住的一次式是 　 　 ． 【练习5】（2025秋•龙湖区校级期中）若代数式mx﹣（3﹣2x）的值与字母x无关，则m的值为 　 　 ． 【练习6】（2025秋•二道区期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请你应用这样的方法完成下列问题： （1）把x﹣y看成一个整体，化简：5（x﹣y）+2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝　 　 ； （2）已知x2﹣2x＝1，则2x2﹣4x＝　 　 ； （3）已知a2+2ab＝15，ab﹣2b2＝1，求代数式2a2+7ab﹣6b2的值． 【练习7】（2024秋•郴州期末）我们知道，5x﹣3x+x＝（5﹣3+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）﹣3（a+b）+（a+b）＝（5﹣3+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是数学中一种重要的思想方法，它的应用极为广泛． （1）化简：4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+3（a﹣b）2； （2）若A，B＝6x2﹣4x﹣4． ①计算A﹣B； ②如果A﹣B＝10，解关于k的方程4x2﹣4x＝3k﹣2x2+9． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：合并同类项（5a−3a）作业2：值与字母无关（双字母）作业3：整式加减作业4：去括号与合并（多层）作业5：指出一次项及系数作业6：整体思想（合并平方项）作业7：整体思想化简作业8：新定义 f(x) 函数求值 ❤ 复习建议 强化同类项判断：多做“找同类项”练习，熟练“两相同，两无关”。 注意符号：去括号时，括号前为“−”要逐项变号，避免漏项。 整体思想训练：在合并同类项和求值中，刻意寻找整体结构。 “无关”型题：合并后令含该字母的项系数为0，列方程求解。 数形结合：结合数轴问题，理解单位长度比例，分类讨论。 【作业1】（2025•连云港）计算：5a﹣3a＝　 　 ． 【作业2】（2025秋•龙山县期末）若代数式k2x+y﹣x+ky﹣10的值与x，y的取值无关，那么k的值为 　 　 ． 【作业3】（2025秋•东城区校级期中）化简：4b﹣6a﹣9b+6a． 【作业4】（2024秋•同步）计算： （1）﹣5y+2y﹣l； （2）2（x﹣y+l）； （3）x﹣（x﹣3）； （4）2（m﹣7）（m+4）； （5）（6m﹣4）（﹣9﹣3m）． 【作业5】（2024秋•同步）指出一次式mn﹣8中的一次项、常数项及一次项的系数． 【作业6】（2025秋•作业）2（x﹣y）2+5（x﹣y）2﹣3（x﹣y）2﹣7（x﹣y）2． 【作业7】（2025秋•宿城区期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）把（a﹣b）2看成一个整体，化简5（a﹣b）2+4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2＝　 　 （a﹣b）2； （2）运用“整体思想”化简：7（m+n）2﹣6（m+n）2+2（m+n）2． 【作业8】（2025秋•衡阳期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示． 例如f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时，多项式的值用f（某数）表示． 例如x＝﹣1时，多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7． （1）已知f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，求出f（﹣1）； （2）已知f（x）＝ax3+bx﹣6，当f（2）＝2025，求f（﹣2）的值； （3）已知f（x）＝4x2+ax+b，g（x）＝2bx2﹣3x﹣1（a，b为常数），若f（x）﹣2g（x）的值与x的取值无关，求代数式a2﹣2ab﹣（﹣b）2026的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $