福建省福清第一中学2025-2026学年高二上学期12月适应性练习数学试卷

福清一中2025-2026高二第一学期12月适应性练习 一、单选题 1．已知，，若，则（   ） A． B． C．5 D．0 2．双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 3．已知过原点的平面的一个法向量是，点是平面外的一点，则点到平面的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 4．设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 7．已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为，点C在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．设等差数列的前n项的和为，若，，则（ ） A． B． C．当时，取最大值 D．数列是递减数列 10．双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（    ） A．的离心率为2 B． C． D．当时，四边形的面积为 11．设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的最大值为 三、填空题 12．过作直线与圆交于，两点，则的最小值为 . 13．在数列中，，且，则 . 14．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 四、解答题 15．已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 16．已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 17．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 18．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中． (1)证明：平面平面； (2)若点在同一球面上，设该球面的球心为． ①求球的表面积； ②求直线与平面所成角的正弦值． 19．椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，上顶点为B，的外接圆半径为． (1)求椭圆C的方程； (2)如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线，，，的斜率分别为，，，，且，求面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福清一中2025-2026高二第一学期12月适应性练习 一、单选题 1．已知，，若，则（   ） A． B． C．5 D．0 【答案】B 【分析】由向量垂直得，得，再计算向量的模即可． 【详解】依题意得，，得，解得， 则， 所以， 故选：B 2．双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0，即得其渐近线的方程． 【详解】双曲线的渐近线方程是，即 故选B． 【点睛】本题给出双曲线的方程，求它的渐近线．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 3．已知过原点的平面的一个法向量是，点是平面外的一点，则点到平面的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，利用点到平面距离的公式即可求解. 【详解】由题意可得， 因为平面的一个法向量是， 所以点到平面的距离是， 故选：C. 4．设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，直接求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 故选：C. 5．如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由P是MN靠近N的三等分点得到，整理得到 ，又为BC的中点得到，由为OA的中点得到，从而得到． 【详解】M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点． 则，即，也即， 则，因，，， 又为BC的中点，则， 为OA的中点，则， 因此，． 故选：C. 6．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【详解】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 7．已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 8．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为，点C在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用抛物线方程结合已知条件设点B，C，得出向量，利用等腰直角的斜边为，得出两向量垂直，且向量模长相等，进而列方程组求解． 【详解】抛物线的参数方程为， 设点（，不与重合），点（）， ， 等腰直角的斜边为，，， ， ，， ， 转化为， ，， 等式化简为，即，解得或（舍去）， ，故点的横坐标为3，故B正确． 故选：B． 二、多选题 9．设等差数列的前n项的和为，若，，则（ ） A． B． C．当时，取最大值 D．数列是递减数列 【答案】ACD 【分析】根据等差数列性质可得，.对于A：根据通项公式可得，；对于B：根据等差数列性质可得，即可判断；对于C：分析数列的符号性，进而判断的最值；对于D：整理可得，结合数列单调性的定义分析判断. 【详解】因为，，则， 对于选项A：可得公差，，故A正确； 对于选项B：可得，故B错误； 对于选项C：因为等差数列为递减数列， 当时，；当时，； 所以当时，取最大值，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以数列是递减数列，故D正确； 故选：ACD. 10．双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（    ） A．的离心率为2 B． C． D．当时，四边形的面积为 【答案】BD 【分析】通过联立方程组的方法求得M、N两点的坐标，根据列方程，求得a、b、c的关系式，结合双曲线的离心率、对称性、两点间的距离、四边形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】如图所示 对于A，双曲线，则，，，， 双曲线渐近线的一条方程为，以为直径的圆方程为， 联立方程组得，解得，， 不妨设，则， 由，得， 解得，则，离心率，故A错误； 对于B，可知，则， 所以，故B正确； 对于C，由，而，， 所以，也即， 但当位置互换时，则为，不符合条件，故C错误； 对于D，由，则，所以， 已知，， 所以，故D正确． 故选：BD． 11．设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由题意知直线分别过定点，，及，由勾股定理及两点间的距离公式即可求得，即可判断A的正误；再由三角形的面积公式及基本不等式可求得面积的最大值，可判断B正误；由基本不等式推论即可求得，可判断C的正误；由勾股定理及两点间的距离公式可求得，设，，在由三角函数，即可求得的最大值. 【详解】A中：直线：，令，则，则定点， ：，化简得，令，则，则， 当时，直线：，直线：，此时两直线垂直， 当，，显然，两直线垂直， 综上两直线互相垂直，则； B中：， 当且仅当时等号成立，B对； C中：由，知：知：，当且仅当时等号成立，C对. 对于D，在中，， 设，，， 所以，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．过作直线与圆交于，两点，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】判断点在圆内，设圆心到直线的距离为d，结合圆的几何性质判断当时，d取最大值，利用圆的弦长公式即可求得答案. 【详解】由于，故点在圆内， 设圆心到直线的距离为d，则， 当时，d取最大值，此时， 则的最小值为， 故答案为：2 13．在数列中，，且，则 . 【答案】 【分析】由变形可得，由此推出数列为常数列，结合，可求结论. 【详解】因为， 等式两边同乘以可得，， 两边再同减可得，， 所以数列为常数列， 因为，所以，故， 所以， 故答案为：. 14．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意求出点的坐标，再联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出点坐标，根据，结合椭圆离心率与的关系求解. 【详解】设， 因为垂直于轴，所以代入椭圆方程， 得，所以， 设， 联立，消去整理得，， 所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 16．已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前n项和及通项公式基本量的运算求解即可； （2）先判断数列的单调性，然后利用单调性求解数列最大值即可求解. 【详解】（1）由，可得，解得． 所以． （2）因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 17．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得； （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得，即直线与直线的倾斜角互补，得证. 【详解】（1）由，可得， 所以抛物线C的方程为. （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，，， 由得，由，可得：或， 由韦达定理得：，. 则 ，即直线与直线的倾斜角互补， 所以是的角平分线. 18．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中． (1)证明：平面平面； (2)若点在同一球面上，设该球面的球心为． ①求球的表面积； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【分析】（1）利用空间垂直关系可证明平面，从而证明面面垂直； （2）①利用空间直角坐标系，结合方程组思想来求解外接球的球心坐标，从而求出球的半径，即可求得球的表面积； ②把线面角的正弦值转化为线向量和法向量夹角的余弦值的绝对值，即可求解. 【详解】（1） 因为平面,平面，所以， 又因为，所以， 又平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）①由（1）可得两两垂直． 建立空间直角坐标系，如图所示． 则 若在同一个球面上， 则 设球心的坐标为有 解得 所以半径 即球的表面积. ②由， 设平面的一个法向量为 则，可得， 取，则，所以， 又， 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，上顶点为B，的外接圆半径为． (1)求椭圆C的方程； (2)如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线，，，的斜率分别为，，，，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助椭圆离心率可得，，结合正弦定理可得，即可得解； （2）设出直线PQ方程：，将其与曲线联立，借助韦达定理结合题目条件计算可得，表示出的面积之后，借助韦达定理化简计算即可得解. 【详解】（1）椭圆的离心率，，，， 在直角中，，， ，在中，，， 设R为，的外接圆半径， 则由正弦定理得， ，，， 椭圆的方程为； （2）PQ的斜率存在，且PQ与x轴的交点在椭圆内，显然PQ的斜率不为零， 设PQ：，，代入椭圆方程， 得， ，，设， ，， 由题意得，同理可得， 又，，， PQ与x轴不垂直，，， ，， 即， 整理可得， ，，解得， 即直线PQ与x轴的交点为，， 的面积， ， ，面积的取值范围是． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $