精品解析：2026年广东中山小榄第一中学中考数学模拟测试（6月）

2026年广东中山小榄第一中学中考数学模拟测试（6月） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. “天雷滚滚我好怕怕”是《哪吒2》中的台词，截止2025年3月15日，电影《哪吒2》的票房已突破151亿张，其中数据151亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字为（ ） A. 大 B. 美 C. 河 D. 南 4. 教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（ ） A. 被藏在白色瓷砖下的概率大 B. 被藏在灰色瓷砖下的概率大 C. 被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D. 无法确定 5. 如图，已知，，若的长度为10，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．书中用从左到右列出的算筹的数量分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，如可表示方程，则表示的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线经过和两点，则b的值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 8. 如图，在中，，，，将绕点顺时针方向旋转后得到，此时点在斜边上，斜边交于点．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 9. 如图，是的弦，延长相交于点．已知的度数为，的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知方程，若用含的代数式表示，则__________． 12. 已知，则_______． 13. 利用如图所示的一次函数的图象，可知二元一次方程组的解为________． 14. 如图，是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点．若，则的长为_____． 15. 如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为________． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 按要求解答： （1）计算：； （2）如图，，且，试说明：． 17. 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志计划制作一面如图所示圆形团扇，他想从一张面积为，宽与长之比为的长方形画纸中裁剪出所需要的圆形． （1）求出该长方形纸片的长与宽； （2）若所需圆形画纸的面积为，他的想法可行吗? 18. 阅读下面材料，体会其中的数学思想方法 “整体思想”是数学学习中的一种重要思想方法．解方程组时，若时，若直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，则原方程组可化简为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． 请你类比以上思想方法，解决下列问题． （1）解方程，求m的值； （2）在（1）的前提下取m的值代入，若抛物线与x轴有唯一的公共点，求此抛物线的解析式． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 学校为探究AI辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b （1）上述图表中，________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对AI辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有700人，八年级有620人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 20. 项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 21. 综合与实践 问题情景：如图①，一个扁平形状的池塘，该池塘南北走向的最大宽度远大于东西走向的最大宽度． 活动任务：测量池塘的最大宽度． 工具准备：如图②，一把皮尺和一台测角仪．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任意一点处，对其视线可及的两点，可测得的大小，如图③．李老师带领数学社团的学生利用皮尺测量，求出了池塘的最大宽度． 测量过程： （ⅰ）在池塘外选点，如图④，测得，； （ⅱ）分别在，上测得，；测得． 阅读材料内容，解答下列问题： （1）请你帮他们求出池塘的最大宽度； （2）你在求得的过程中用到的几何知识是 ； （3）李老师带领社团的学生仅利用皮尺，通过次测量，求出．小华认为，若利用三角函数的知识，同时使用皮尺和测角仪，测量次数不超过次，就能求出，请你帮助小华设计测量方案并画出图形．要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示． 五、解答题三（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．） 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴正半轴上，连接．将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为点，点的对应点为点，且点在轴正半轴上，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点，点的坐标是． （1）如图，求的值与点的坐标； （2）若为第三象限反比例函数图象上一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求点的坐标； （3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图）．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，连接，当四边形是“完美筝形”时，求出，两点的坐标． 23. 【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东中山小榄第一中学中考数学模拟测试（6月） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，逐个判断选项即可得到答案． 【详解】解：A．的被开方数含分母，不是最简二次根式，不合题意； B． 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意； C．的被开方数是能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不合题意； D．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不合题意． 2. “天雷滚滚我好怕怕”是《哪吒2》中的台词，截止2025年3月15日，电影《哪吒2》的票房已突破151亿张，其中数据151亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：数据151亿用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字为（ ） A. 大 B. 美 C. 河 D. 南 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面判断，解题关键是记住展开图的 “隔一相对” 规律（同行或同列隔一个正方形的两个面为相对面），易错点是混淆相邻面与相对面． 根据 “隔一相对” 规律，逐一分析，即得结果． 【详解】解：“建”和“设”相邻，不是相对面； “设”和“河” 相对； “大”和“南” 相对； “建”和“美” 隔一个正方形，为相对面． 故选： B． 4. 教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（ ） A. 被藏在白色瓷砖下的概率大 B. 被藏在灰色瓷砖下的概率大 C. 被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，解答此题的关键是分别计算出灰白瓷砖的块数，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 先求出教室地面的瓷砖的总块数，再分别求出灰、白瓷砖的块数，根据概率公式解答即可． 【详解】解：教室地面的瓷砖共有（块）， 其中白色瓷砖有块，概率为， 灰色瓷砖有块，概率为， 故被藏在白色瓷砖下的概率大． 故选：A． 5. 如图，已知，，若的长度为10，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等知识点，由，可得，可得，再由和的长度为10即可得解，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的长度为10， ∴， ∴， 故选：B． 6. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．书中用从左到右列出的算筹的数量分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，如可表示方程，则表示的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程，理解题意是解题的关键．根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，结合未知数的系数与等式后面的数字，即可求解． 【详解】解：表示的方程是： 故选：D． 7. 已知抛物线经过和两点，则b的值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点和求出对称轴，再根据对称轴为即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵对称轴为， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的对称性，根据点和求出对称轴是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，将绕点顺时针方向旋转后得到，此时点在斜边上，斜边交于点．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质， 先根据旋转的性质可得，，再证明是直角三角形，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：由旋转可得，， ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，是的弦，延长相交于点．已知的度数为，的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，熟练掌握圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半是解题的关键．连，根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半即可得解． 【详解】证明：如图，连接， ∵的度数为，的度数为， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据正方形的性质求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 设， ∵点P为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知方程，若用含的代数式表示，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将含的项移到方程的右边，再两边除以即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握设比例的值成为解题的关键． 设，则，然后代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 13. 利用如图所示的一次函数的图象，可知二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象可得交点坐标． 【详解】解：将方程变形为，  观察函数图象可知，直线与直线的交点坐标为 ，  方程组的解为 ． 14. 如图，是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过设正方形边长为，利用正方形性质、中点坐标公式确定各点坐标，再根据两点间距离公式结合求解的值． 【详解】设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： ，，，， 是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点， ， ， 是的中点，，， ，， ，即， 解得：， ． 15. 如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， 即的长为4． 故答案为：4． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 按要求解答： （1）计算：； （2）如图，，且，试说明：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先化简特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，再合并计算即可； （2）利用全等三角形的性质得到，再推导即可证明． 【小问1详解】 解： 原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志计划制作一面如图所示圆形团扇，他想从一张面积为，宽与长之比为的长方形画纸中裁剪出所需要的圆形． （1）求出该长方形纸片的长与宽； （2）若所需圆形画纸的面积为，他的想法可行吗? 【答案】（1）长为，宽为 （2）小志的想法可行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设该长方形的宽为，长为，根据题意列方程，利用算术平方根即可解答； （2）计算出圆形画纸的直径，再与长方形的宽作比较即可． 【小问1详解】 解：设该长方形的宽为，长为， 则可得， 解得（负数舍去）； ， 答：该长方形纸片的长为，宽为； 【小问2详解】 解：小志的想法可行，理由如下： 可得圆形画纸的半径为， 则圆形画纸的直径为， ， ， ， ∴小志可以裁剪出所需要的圆形画纸，即他的想法可行． 18. 阅读下面材料，体会其中的数学思想方法 “整体思想”是数学学习中的一种重要思想方法．解方程组时，若时，若直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，则原方程组可化简为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． 请你类比以上思想方法，解决下列问题． （1）解方程，求m的值； （2）在（1）的前提下取m的值代入，若抛物线与x轴有唯一的公共点，求此抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数与x轴交点情况，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握整体换元法． （1）令，利用整体换元法将变形为，求出的值，进而求出m的值，即可解题； （2）根据抛物线与x轴有唯一的公共点，得到，将m的值代入求出c的值，即可解题． 【小问1详解】 解：令， 则变形为， 整理得， 解得， 即， 解得； 【小问2详解】 解：抛物线与x轴有唯一的公共点， ， ， ， 解得， 抛物线的解析式为． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 学校为探究AI辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b （1）上述图表中，________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对AI辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有700人，八年级有620人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 【答案】（1）；86；30 （2） 解：八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由如下： 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表可得，七、八年级的平均数相等，但八年级的中位数和众数均高于七年级的中位数和众数，故八年级的学生对 辅助学习工具的满意度更高； （3）260人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用700乘以七年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，用620乘以八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生评分在A组中的数据有（人）， 在D组中的数据有（人）， 在B组中的数据有8人， 在C组中的数据有（人），则，即； 将七年级20名学生评分按照从小到大排列后的第10和11个数据是80，83，故； 八年级20名学生评分中出现次数最多的是86，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数为260人． 20. 项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1） （2）80元 【解析】 【分析】（1）利用矩形和菱形均为中心对称图形的性质，过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形面积平分，因此，分别找出矩形和菱形的对称中心（即对角线交点），连接这两点即可得到所求直线； （2）属于典型的利润问题，根据等量关系，“总利润＝单件利润×销售量”列出一元二次方程，求解后，需根据题目中“销售单价不得低于62元”这一限制条件对解进行检验和取舍． 【小问1详解】 解：作图思路： ∵矩形和菱形都是中心对称图形， ∴它们的对称中心分别是各自对角线的交点， ∵过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形面积平分， ∴连接矩形和菱形的对角线交点即可得到所求直线， 作法： ①连接矩形的对角线、，交于点， ②连接菱形的对角线、，交于点， ③作直线， ④直线即为所求作的直线； 【小问2详解】 设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤， 根据题意列方程得： ， 整理得： ， 解得： ，， ∵销售单价不得低于62元， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答，李伯应将销售单价定为80元． 21. 综合与实践 问题情景：如图①，一个扁平形状的池塘，该池塘南北走向的最大宽度远大于东西走向的最大宽度． 活动任务：测量池塘的最大宽度． 工具准备：如图②，一把皮尺和一台测角仪．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任意一点处，对其视线可及的两点，可测得的大小，如图③．李老师带领数学社团的学生利用皮尺测量，求出了池塘的最大宽度． 测量过程： （ⅰ）在池塘外选点，如图④，测得，； （ⅱ）分别在，上测得，；测得． 阅读材料内容，解答下列问题： （1）请你帮他们求出池塘的最大宽度； （2）你在求得的过程中用到的几何知识是 ； （3）李老师带领社团的学生仅利用皮尺，通过次测量，求出．小华认为，若利用三角函数的知识，同时使用皮尺和测角仪，测量次数不超过次，就能求出，请你帮助小华设计测量方案并画出图形．要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示． 【答案】（1）池塘的最大宽度为 （2）相似三角形的判定定理与性质定理 （3）测量方案和作图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形的运用，掌握以上知识的判定和计算是关键． （1）根据题意可证，即可求解； （2）根据题意可知运用的是相似三角形的判定和性质； （3）根据题意，在池塘外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得；运用解直角三角形的方法计算即可． 【小问1详解】 解：由测量知：，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴池塘的最大宽度为； 【小问2详解】 解：根据题意，用到的几何知识是相似三角形的判定定理与性质定理； 【小问3详解】 解：测量过程：（答案不唯一） （ⅰ）如图⑤， 在池塘外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得； （ⅱ）用皮尺测得； ∴过点作于点， 在中，，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 五、解答题三（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．） 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴正半轴上，连接．将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为点，点的对应点为点，且点在轴正半轴上，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点，点的坐标是． （1）如图，求的值与点的坐标； （2）若为第三象限反比例函数图象上一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求点的坐标； （3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图）．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，连接，当四边形是“完美筝形”时，求出，两点的坐标． 【答案】（1），的坐标为； （2）点的坐标为或； （3）点、的坐标分别为、． 【解析】 【分析】（）在中，，在中，，解得：，即可求解； （）当线段被轴分成长度比为的两部分时，则或，即或，即可求解； （）证明，则，求出的坐标为，设，根据筝形的定义，，，，所以，解得或（舍去），进而求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为：， 由图形的旋转知：， ∵四边形是矩形，， ∴， ，在中，， 解得：， 当时，， ∴的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，设交轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵线段被轴分成长度比为的两部分， ∴或， ∴或， ∴或， 解得或，即点的横坐标为或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点， 由（）知，点、、， 设点， ∵，， ∴， ∴， ∵， 联立上述得 ， 解得：， ∴的坐标为， 设，根据筝形的定义，，，， ∴， ∴，，，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为， 即点、的坐标分别为、． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，解直角三角形，待定系数法求解析式，两点间的距离，解方程（组），相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23. 【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【答案】（1）点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由见解析；点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由见解析； （2）见解析； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． （1）做辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）如图，连接，设中点为O，连接，易得P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心，再结合等腰三角形的性质可得；设圆O的半径为r， 如图：过O作，易得，要使最小，则的半径r最小，故直径最小，当时，，即；最后代入即可解答； （4）如图：连接并延长交于Q，连接，则；如图：连接并延长交于F，即，进而证明四边形是平行四边形可得，再运用勾股定理可得，即的半径为，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：由于与共斜边， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴， 同理与共斜边， ∴D、E、F、G四点共圆． ∴， ∴． ∴． （3）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （4）如图：连接并延长交于Q，连接， ∴， 如图：连接并延长交于F，即， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $