精品解析：江苏省沭阳高级中学2025-2026学年度第二学期期末调研考试高一数学试题

2025～2026学年度第二学期高一期末调研考试数学 2025.6 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置. 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁、不折叠、不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，，，，则的最大内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定最大角，再利用余弦定理可求答案. 【详解】因为，，，所以为最大角， ，因为，所以. 故选：B 2. 已知一组数据5，7，9，4，8，9，3，3，则（ ） A. 这组数据的80%分位数为8 B. 这组数据的中位数为6 C. 这组数据的极差为5 D. 这组数据的平均数为7 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，将数据从小到大排列，利用百分位数的定义求出A错误；B选项，利用中位数的定义得到B正确；C选项，利用极差的定义得到C错误；D选项，利用平均数定义计算出D错误. 【详解】A选项，将数据从小到大排列，， ，故从小到大，取第7个数作为80%分位数，为9，A错误； B选项，从小到大，选取第4个和第5个数的平均数作为中位数， 故这组数据的中位数为，B正确； C选项，这组数据的极差为，C错误； D选项，这组数据的平均数为，D错误. 故选：B 3. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2i 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法法则化简复数，再求得共轭，即可求解 【详解】解：， 则． 故选：B． 4. 某校高一年级数学周练满分100分，学生分数均在内，将学生成绩分成6组并作出频率分布直方图，但不小心污损了部分图形 （如图所示），则该次数学成绩的中位数是（ ） A. 60分 B. 75分 C. 79.5分 D. 85分 【答案】B 【解析】 【分析】设该次数学成绩的中位数为分，分析可知，结合中位数的定义列式求解. 【详解】由题意可知：后三组的频率依次为， 因为， 设该次数学成绩的中位数为分，则， 可得，解得， 所以该次数学成绩的中位数为75分. 故选：B. 5. 设，，．若，则实数的值等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得，因为，则，因此，解得，故选A． 考点：平面向量数量积． 6. 已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且．则的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由正弦定理及两角和差得出,再由正弦定理边角互化结合辅助角公式计算即可. 【详解】中由正弦定理 , , , ,, ,时，的最大值为. 故选：D. 7. 如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论中正确的个数为（ ） ； 平面平面； 的最大值为； 的最小值为 ； 与平面所成角正弦值的取值范围是. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于，利用线面垂直的判定定理证明 平面即可；对于，利用面面垂直的判定定理证明 平面平面即可；对于，由 时，为钝角判断；对于，将面与面沿展成平面图形求解判断；对于，由与平面所成角正弦值为，结合求解判断. 【详解】对于，，，， 平面，平面，，正确； 对于，平面即为平面，平面即为平面， 又平面，平面， 平面平面，平面平面，正确； 对于，当 时，为钝角，不正确； 对于，将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值， 在中，，利用余弦定理解三角形得， 即，不正确. 对于，与平面所成角正弦值为，， 与平面所成角正弦值的取值范围是，故正确. 故选：C. 8. 若向量，，满足，，且，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量数量积为零几何意义得对应点轨迹，再根据向量加法与减法几何意义以及圆的性质求最值. 【详解】设向量，，,则由得,即C的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB中点M，半径为， 因此 从而，选C. 【点睛】本题考查向量数量积、向量加法与减法几何意义以及圆的性质，考查综合分析判断与求解能力，属较难题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是（ ） A. 点A'到平面BCED的距离为3 B. 直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为 C. A'D⊥BD D. 四棱锥A'-BCED的外接球半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.利用线面垂直的判定定理判定CD⊥平面A'MN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到到平面面BCED的高A'H,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,经过计算求解可得半径从而判定D. 【详解】如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N. 则A'M⊥DE,MN⊥DE, , ∵∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN, 又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC, 在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED, ∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°， ∵正三角形ABC中，AB=8,∴AN=,∴A'M=2,∴A'H=A'Msin60°=3，故A正确； 连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4, ∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角， DN=DA'=4,A'N=A'M=2, cos∠A'DN=,故B正确； A'D=DB=4,A'B=, ∴,∴A'D与BD不垂直，故C错误’ 易得NB=NC=ND=NG=4，∴N为底面梯形BCED的外接圆的圆心， 设四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC, 若O在平面BCED上方，入图①所示： 设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P, 则HP=x,易得,解得,舍去； 故O在平面BCED下方，如图②所示： 设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P, 则HP=x,易得, 解得, ∴,,故D正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有两解 B. 当时，有两解 C. 当为钝角时，为面积的取值范围为 D. 当为锐角三角形时，的周长取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据判断三角形解的个数的公式，即可判断AB；根据正弦定理表示边长，结合面积公式，和周长公式，转化为三角函数求取值范围问题，即可判断CD. 【详解】A.，即，所以有两解，故A正确； B.，且，所以有一解，故B错误； C.根据正弦定理，，得， , 因为，所以，即为面积的取值范围为， 故C正确； D.，得,则的周长 ，因为是锐角三角形，所以, 所以，所以周长的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，四棱锥中，面面，且，是棱的中点，，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 和平面所成角的正弦值为 D. 四面体外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，利用线面角的向量求法判断C，利用球的方程求解出半径，再求表面积即可. 【详解】 如图，作，因为面面，面面， 所以面，且作，因为， ，所以，是的中点，，， 对于A，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，因为是棱的中点，所以， 所以，，， 设面的法向量，所以， 令，解得，所以， 可得，故平面成立，故A正确， 对于B，，，设面的法向量为， 所以，令，解得， 得到，故不平行于，所以平面不成立，故B错误， 对于C，，，设面的法向量为， 所以，令，解得， 故，设和平面所成角为，且， 所以，故C正确， 对于D，设四面体外接球的方程为， 将四点代入球的方程，可得， ， 利用加减消元法得到，解得， 再利用加减消元法得到，解得， 现在将，代入方程组，得到， 此时解得，故原方程解得， 故球的方程为， 设球的表面积为，则，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后将点代入球的方程求出半径，再得到所要求的表面积即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知锐角满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 由化简得出，可得出关于的等式，由此可解得锐角的值. 【详解】， 所以，， ，则，， 所以，，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 13. 已知正方体的边长为1，球的半径为1，记正方体内部的球表面为曲面，过点作平面与曲面相切，记切点为，平面与平面所成二面角为，则当最小时，平面截正方体所形成图形的周长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二面角的概念及正方体、球的对称性确定平面为多边形AMKQN，利用勾股定理求周长即可. 【详解】由题意，曲面为以C为球心落在正方体内的球面， 根据球和正方体的对称性可知，平面与平面所成二面角最小值时， 过点作平面与曲面相切时作纵截面，如图：长方形中， 过点A与以C为圆心半径为1的圆相切于点P，与交于点E，则，连接CP， 在中，，所以， 利用平面基本性质作出平面截正方体所形成图形，如图，多边形AMKQN即为所作截面. 因为，所以， 又，所以， 则， 又，且，所以，所以， 则， 又，所以， 由对称性知，， 所以截面周长为 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的难点主要在于截面的确定，根据二面角的概念分析，再结合球与正方体的对称性找到截面的位置，然后根据平面的性质确定即可. 14. 如图，圆，圆半径均为4，两圆外切于点O，点A是圆上任意一点，点B是圆上任意一点，则的最小值为___________，最大值为___________ 【答案】 ①. -64 ②. 8 【解析】 【分析】由题容易分析出当都为直径时，取得最小值；的最大值，可以用数量积的几何意义和基本不等式求解. 【详解】当都为直径时，的模长同时取最大值8，且夹角余弦值取到最小值-1，所以的最小值为； 要求的最大值，显然夹角为锐角， 由平面向量数量积的定义，等于乘以在方向上的投影， 如图，对于给定的，当且仅当圆在点处的切线垂直于时，最大 易知，作垂足为，垂足为 设，则 则 当且仅当时，取等. 故答案为：-64；8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 全国文明城市创建工作是一项长期的系统工程，需要广大市民自觉参与.为了增进全体市民对创建文明城市工作的了解，某学校组织学生开展文明城市应知应会知识测试活动，现把50名学生的成绩绘制成了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题： （1）求的值及这50名学生成绩的平均成绩； （2）试估计此样本数据的75%分位数. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1列方程即可求得a的值；再利用频率分布直方图求得这50名学生成绩的平均数. （2）利用频率分布直方图计算并估计此样本数据的第75百分位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图得：，所以， 这50名学生成绩的平均成绩. 【小问2详解】 数据在的频率为， 数据在的频率为，因此此样本数据的75%分位数， 由，解得， 所以估计此样本数据的75%分位数为. 16. 已知复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数的值： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点在直线上. 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】 【分析】根据复数为实数其虚部为0；复数为纯虚数其实数为0，虚部不为0；点在直线上，其实部与虚部的绝对值相等； 【详解】（1）为实数，，解得：； （2）为纯虚数，； （3）在复平面内对应的点在直线上， 或. 【点睛】本题考查复数的相关概念，考查运算求解能力，属于基础题. 17. 如图一，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，，H、M分别为PA、AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图二. （1）证明：； （2）求直线BD和PC所成角的余弦值； （3）在线段PD上是否存在点N，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）连接，因为、分别为、的中点， 则，又因为，得， 因为四边形为边长为2的菱形，， 又是的中点，则， 又，平面， 则平面，又平面，所以； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，连接，利用线面垂直的判定可得平面，进而利用线面垂直的性质可证结论. （2）连接、，作出异面直线所成的角，再利用余弦定理求解即可. （3）连结，交于，连接，由题意可得，进而利用线面平行的判定推理可得结论. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 连接、，交于点，连接，， 由四边形为菱形，得为中点，又为中点， 则，则和所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 则， 即直线和所成角的余弦值为； 【小问3详解】 存在，当时，使得平面，证明如下： 连接，交与，连接，由菱形中，是中点， 则，又时，有，则， 又平面，平面，则平面. 18. 已知内角的对边为，点是的内心，若． （1）求角； （2）延长交于点，若，求的周长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，求出角的值. （2）利用三角形面积相等得到，然后利用余弦定理，通过化简可求得的值，从而得到三角形的周长. （3）首先根据三角形面积相等求出内切圆半径的表达式，然后利用余弦定理求出的关系，进而可得到与的表达式，最后利用基本不等式的性质求出范围进而求出的范围. 【小问1详解】 因为，所以根据正弦定理得， 化简得. 因为，所以. 所以，因为，所以. 【小问2详解】 如图，， 所以， 化简得：①. 根据余弦定理得②， ①②联立方程组解得：. 解得，又，所以. 所以的周长为. 【小问3详解】 令三角形内切圆半径为. 因为. . 所以，解得. 因为，所以. 根据余弦定理得：， 即，故‘ 又，解得， 故， 综上，的取值范围为. 19. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3). 【解析】 【分析】(1)利用中位线构造平行四边形，证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； (2)先证平面，再根据面面垂直的判定定理得面面垂直； (3)几何法求解点到平面的距离，先作出并证明表示所求距离的线段，再利用三角形面积公式求线段长. 【详解】证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点， 所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面，所以平面． （2）在正方形中，．又由题知， 直线，在平面内，且相交于点，所以平面， 又平面，所以平面平面，即平面平面. (3)在直角梯形中，，，可得，． 在中，， 所以．所以． 由(2)知，平面与平面垂直且交线为，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 过点作的垂线交于点，则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 在直角三角形中， ， 所以 所以点到平面的距离等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期高一期末调研考试数学 2025.6 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置. 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁、不折叠、不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，，，，则的最大内角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据5，7，9，4，8，9，3，3，则（ ） A. 这组数据的80%分位数为8 B. 这组数据的中位数为6 C. 这组数据的极差为5 D. 这组数据的平均数为7 3. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2i 4. 某校高一年级数学周练满分100分，学生分数均在内，将学生成绩分成6组并作出频率分布直方图，但不小心污损了部分图形 （如图所示），则该次数学成绩的中位数是（ ） A. 60分 B. 75分 C. 79.5分 D. 85分 5. 设，，．若，则实数的值等于 A. B. C. D. 6. 已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且．则的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 7. 如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论中正确的个数为（ ） ； 平面平面； 的最大值为； 的最小值为 ； 与平面所成角正弦值的取值范围是. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若向量，，满足，，且，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是（ ） A. 点A'到平面BCED的距离为3 B. 直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为 C. A'D⊥BD D. 四棱锥A'-BCED的外接球半径为 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有两解 B. 当时，有两解 C. 当为钝角时，为面积的取值范围为 D. 当为锐角三角形时，的周长取值范围为 11. 如图，四棱锥中，面面，且，是棱的中点，，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 和平面所成角的正弦值为 D. 四面体外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知锐角满足，则______． 13. 已知正方体的边长为1，球的半径为1，记正方体内部的球表面为曲面，过点作平面与曲面相切，记切点为，平面与平面所成二面角为，则当最小时，平面截正方体所形成图形的周长为______. 14. 如图，圆，圆半径均为4，两圆外切于点O，点A是圆上任意一点，点B是圆上任意一点，则的最小值为___________，最大值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 全国文明城市创建工作是一项长期的系统工程，需要广大市民自觉参与.为了增进全体市民对创建文明城市工作的了解，某学校组织学生开展文明城市应知应会知识测试活动，现把50名学生的成绩绘制成了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题： （1）求的值及这50名学生成绩的平均成绩； （2）试估计此样本数据的75%分位数. 16. 已知复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数的值： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点在直线上. 17. 如图一，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，，H、M分别为PA、AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图二. （1）证明：； （2）求直线BD和PC所成角的余弦值； （3）在线段PD上是否存在点N，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知内角的对边为，点是的内心，若． （1）求角； （2）延长交于点，若，求的周长； （3）求的取值范围． 19. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $