5.4　5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦正弦、余弦函数的图象，涵盖五点画法、图象平移及面积、方程解等应用。课前通过列表描点作y=sinx图象，结合诱导公式由正弦曲线平移得到余弦曲线，搭建从基础操作到知识迁移的学习支架。 其亮点是以直观想象为核心，含思维导图梳理知识脉络，课堂探究采用“典例-类题通法-定向训练”模式，如利用图象解不等式培养数学思维，借助函数交点分析零点问题提升数学语言表达能力。学生能增强几何直观与逻辑推理，教师可依托结构化资源实施高效教学。

5.4　三角函数的图象与性质 5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 素养目标 思维导图 能借助单位圆中的三角函数线画出y=sin x,y=cos x的图象(直观想象). 课前自主学习 问题1.用列表、描点连线的方法试作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,并指出该函数图象上起关键作用的点有哪些? 提示:列表 x 0 π π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 描点、连线 该函数图象上起关键作用的点有(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0). 问题2.根据诱导公式sin(x+)=cos x,思考怎样由y=sin x的图象得到y=cos x的图象. 提示:因为sin(x+)=cos x,故函数y=cos x的图象可看作将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度得到. 【核心概念】 1.正弦曲线 如图所示:　 正弦函数的图象叫做正弦曲线. 2.余弦曲线 将正弦曲线向____平移____个单位长度,得到余弦曲线 余弦函数的图象叫做余弦曲线. 左 课堂合作探究 探究点一　 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象 【典例1】画出下列函数的简图: (1)y=1-sin x,x∈[0,2π]; (2)y=3cos x+1,x∈[0,2π]. 【思维导引】先在定义域内列出五个关键点的坐标,描点、连线得在定义域内的图象. 【解析】(1)列表: x 0 π 2π 1-sin x 1 0 1 2 1 描点、连线,画图如图, (2)列表: x 0 π 2π 3cos x+1 4 1 -2 1 4 描点、连线,画图如图, 【类题通法】作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤 探究点二　利用正、余弦函数图象解不等式 【典例2】根据正弦曲线求满足sin x≥-在[0,2π]上的x的取值范围. 【思维导引】在坐标系中画出函数y=sin x与y=-的图象,解方程sin x=-,由图象写出不等式的解集. 【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与y=-的图象,如图所示. 观察在一个闭区间[0,2π]内的情形,满足sin x≥-的x∈[0,π]∪[π,2π],所以满足sin x ≥-在区间[0,2π]上的x的范围是{x|0≤x≤π或≤x≤2π}(或[0,π]∪[π,2π]). 【类题通法】利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤 (1)作出直线y=a,y=sin x(或y=cos x)的图象. (2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值. (3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集. 【注意】解三角不等式sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]内x的取值范围,然后根据终边相同角的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集. 【定向训练】 1.使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.不等式可化为sin x≤. 作图,正弦曲线及直线y=如图所示. 由图知,不等式的解集为{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}. 2.在区间[0,2π]内,使|sin x|≥cos x成立的x的取值范围是　 　.  【解析】在区间[0,2π]内,画出y=|sin x|及y=cos x的图象,由函数的图象可知,当≤x≤时,|sin x|≥cos x,则在区间[0,2π]内满足题意的x的取值范围为[,]. 答案:[,] 探究点三　正、余弦函数图象的简单应用 【典例3】(一题多问) 在平面直角坐标系中,用五点法作出y=sin x的图象,并回答下列问题: (1)求函数y=sin x的图象与直线x=的交点坐标. (2)当x∈[0,2π]时,写出使得y<-的x的取值范围. (3)当x∈[0,2π]时,求y=sin x的图象与直线y=-的交点个数. (4)函数f(x)=lg x-sin x有多少个零点? (5)y=sin x与y=的交点个数为多少? (6)方程2x=sin x的解有多少个? 【解析】对于y=sin x,列表如表: x 0 π 2π y 0 1 0 -1 0 描点、连线,可得y=sin x的图象如图所示: (1)令x=得y=sin =sin (π- ) =sin =,所以函数y=sin x的图象与直线x=的交点坐标为(, ). (2)当x∈[0,2π],y=-,即sin x=-时,x的值分别为,,从而可得使得y<-的x的取值范围为(, ). (3)在同一平面直角坐标系内,先画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,再画出直线y=-,可知所求交点个数为2. (4)函数f(x)=lg x-sin x的零点个数,即函数y=lg x的图象和函数y=sin x的图象的交点个数,由于lg 10=1,sin =1,sin =1,sin =1, 所以可以在同一坐标系中作出函数图象: 由图象可知,交点有3个,即函数f(x)=lg x-sin x的零点个数为3. (5)作出函数y=sin x与y=的大致图象,如图: 因为sin =1,=>1,sin =1,=<1, 且两个函数图象均关于原点对称,所以两个函数图象有3个交点. (6)方程2x=sin x的解的个数等价于函数f(x)=2x与函数g(x)=sin x的交点个数. 当x<0时,函数f(x)=2x的值域为(0,1),且连续单调递增,而函数g(x)=sin x∈[-1,1],所以 函数f(x)=2x与函数g(x)=sin x的交点有无数个,即方程2x=sin x的解的个数为无穷多个. 【类题通法】方程根(或函数图象交点)个数的两种判断方法 (1)代数法:直接求出方程的根,得到根的个数. (2)几何法:①方程两边直接作差构造一个函数,作出函数的图象,利用对应函数的图象,观察与x 轴的交点个数,有几个交点原方程就有几个根; ②转化为两个函数,分别作这两个函数的图象,观察交点个数,有几个交点原方程就有几个根. 【定向训练】 若函数f(x)=sin x-2m-1,x∈[0,2π]有两个零点,求m的取值范围. 【解析】由题意可知,sin x-2m-1=0在[0,2π]上有2个根,即sin x=2m+1有两个根, 可转化为y=sin x与y=2m+1两函数的图象在[0,2π]上有2个交点. 由y=sin x的图象可知,-1<2m+1<1,且2m+1≠0, 解得-1<m<0,且m≠-. 所以m∈(-1,-)∪(-,0). 课堂练习 1.已知点(,m)在余弦曲线上,则m等于 (　　) A. B.- C. D.- 【解析】选B.因为点(,m)在余弦函数y=cos x的图象上,所以m=cos =-. √ 2.下图是下列哪个函数的图象 (　　) A.y=1+sin x,x∈[0,2π] B.y=1+2sin x,x∈[0,2π] C.y=1-sin x,x∈[0,2π] D.y=1-2sin x,x∈[0,2π] 【解析】选C.当x=时,y=0,排除A,B,D. √ 3.方程x+sin x=0的根有 (　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【解析】选B.设f(x)=-x,g(x)=sin x,在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象,如图所示. 由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点,则方程x+sin x=0仅有一个根. √ 4.不等式cos x<0,x∈[0,2π]的解集为　　　　.  【解析】由函数y=cos x的图象可知,不等式cos x<0,x∈[0,2π]的解集为(,). 答案:(,) 5.用“五点法”画出函数y=2sin x在区间[0,2π]上的图象. 【解析】按五个关键点列表如表: x 0 π 2π sinx 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -2 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示. 谢 谢 $