第四章 数列 期末复习培优提升限时小卷（二）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列核心概念，通过等差、等比及递推数列的分层题型，培养运算能力与推理意识，构建从基础到综合的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列|6题（单选1-4、解答9-10）|考查公差、前n项和公式、最值及前n项和之比，强调运算与推理|从基本量计算到性质应用，形成“概念-公式-性质-综合”逻辑链| |等比数列|1题（填空7）|涉及前n项和公式应用，需分类讨论公比|关联等比数列定义与求和公式推导过程| |递推数列|3题（多选5、填空8、解答10Ⅱ）|含构造新数列、累加法求通项及求和，体现抽象与模型意识|通过递推关系转化，连接数列与函数思想|

2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（二） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章 数列。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为(     ) A. B. C. D. 2.设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则的值为(     ) A. B. C. D. 3.在等差数列中，，记，则数列(     ) A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 4.已知等差数列，的前项和分别为，，且，则(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列满足，，设则下列结论正确的是(     ) A. B. 是首项为，公比为的等比数列 C. D. 6.在数列中，下列结论正确的是(     ) A. 若数列的前项和，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则          ． 8.在数列中，，，，则          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 记为等差数列的前项和，已知，． 求的通项公式； 求，并求的最小值． 10.本小题分 已知等差数列满足，． Ⅰ求的通项公式； Ⅱ若，求数列的前项和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（二） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章 数列。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为(     ) A. B. C. D. 2.设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则的值为(     ) A. B. C. D. 3.在等差数列中，，记，则数列(     ) A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 4.已知等差数列，的前项和分别为，，且，则(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列满足，，设则下列结论正确的是(     ) A. B. 是首项为，公比为的等比数列 C. D. 6.在数列中，下列结论正确的是(     ) A. 若数列的前项和，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则          ． 8.在数列中，，，，则          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分记为等差数列的前项和，已知，． 求的通项公式；求，并求的最小值． 10.本小题分已知等差数列满足，． Ⅰ求的通项公式；Ⅱ若，求数列的前项和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（二） 全 解 全 析 （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章 数列。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：等差数列的公差，，， ，， ，是方程的两个根， ，， ，解得，， ， 当或时，取最大值为． 故选：． 2.设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由等差数列的性质和求和公式可得： ． 故选：． 3.在等差数列中，，记，则数列(    ) A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题． 由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列是单调递增数列，且前项为负值，自第项开始为正值，进一步分析得答案． 【解答】 解：设等差数列的公差为，由，，得， ． 由，得，而， 可知数列是单调递增数列，且前项为负值，自第项开始为正值． 可知，，，为最大项， 自起均小于，且逐渐减小． 数列有最大项，无最小项． 故选：． 4.已知等差数列，的前项和分别为，，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的前项和，考查推理能力和计算能力，属于中档题． 由题意，设，，则，用，分别表示出，，代入即可得到的值． 【解答】 解：依题意，数列、是等差数列，且， 设，，则， 所以． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列满足，，设则下列结论正确的是(    ) A. B. 是首项为，公比为的等比数列 C. D. 【答案】BD  【解析】解：由条件可得，即，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 可得，所以，故D正确； 则，，可知，C错误； 故选BD． 6.在数列中，下列结论正确的是(    ) A. 若数列的前项和，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 【答案】BCD  【解析】解：选项：由已知，当时，， 当时，， 综上所述，选项错误； 选项：由已知，则，即， 又，，即， 所以当为奇数时，，当为偶数时，， 综上所述，，选项正确； 选项：由， 则当时，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，则，又满足上式，故，选项正确； 选项：由已知， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 则当时，，，，， 等式左右分别相加可得， 又，则，又满足上式，故，选项正确； 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列的求和公式及等比数列的通项公式． 等比数列的首项及公比表示其前项和为，求出与再求解． 【解答】 解：设等比数列的公比为，由题意知不为，则 解得 所以， 从而． 8.在数列中，，，，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查累加法求通项公式，为基础题． 利用累差法可解． 【解答】 解：由，则有，， 累加可知，则，可知． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 记为等差数列的前项和，已知，． 求的通项公式； 求，并求的最小值． 【答案】解：等差数列中，，， ，， 解得，， ； ，，， ， 当时，前项的和取得最小值，为．  【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题． 根据，，可得，，求出等差数列的公差，然后求出即可； 由，，，得，由此可求出的最小值． 10.本小题分 已知等差数列满足，． Ⅰ求的通项公式； Ⅱ若，求数列的前项和． 【答案】解：Ⅰ 由，， 令得， 设的公差为， 因为，所以， 所以， 故的通项公式为； Ⅱ由Ⅰ知， ， ， 得 ， 化简得， 所以．  【解析】本题考查等差数列的通项公式，错位相减法求和，属于中档题． Ⅰ由，，令得，设的公差为，因为，可得出，即可得出答案； Ⅱ由Ⅰ知，再由错位相减法即可得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $