精品解析：重庆市巫山县2025-2026学年下学期七年级数学期末试卷

2026年春季期末质量检测 七年级数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在括号里． 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 对乘坐飞机的旅客进行安检 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某市居民垃圾分类的情况 D. 调查市场上冷冻食品的质量情况 4. 如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是（ ） A. 北偏东， B. 北偏东， C. 东偏南， D. 东偏北， 5. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 6. 已知点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 的平方根是 D. 若点在坐标轴上则 8. 《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾米、彩绢米，每盏小灯用竹篾米、彩绢米．若工坊恰好用完了米竹篾和米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系上有一个质点，质点第一次跳动至点，第二次跳动至点，第三次跳动至点，第四次跳动至点，依此规律跳动下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式序列，，，…，规定：，，，…，，其中，为非负整数，，，，…，均为正整数．整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ①； ②若，，，，则； ③若，则所有满足条件的整式的和为； ④若，则所有满足条件的整式有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应横线上． 11. 学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的14个班共740名学生中，抽取了70名同学的视力情况进行分析，在这个问题中，样本的容量是 _______． 12. 已知，，则___________． 13. 平面直角坐标系中，已知直线轴，且，，则线段的长为______． 14. 如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，使得点D，C分别落在、的位置上，与的交点为G，，则的度数为_____． 15. 若关于的不等式组的解集为，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的整数的和是__________． 16. 一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上数字与个位上数字之和的2倍，则称这个四位数为“二倍数”，例如：4593，2241都是“二倍数”．对于“二倍数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则__________；若“二倍数”百位上数字与十位上数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“二倍数”中的最大值为__________． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18小题各8分，19小题至25小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤（填空题除外），画出必要的图形，包括辅助线．请将解答过程书写在对应的位置上． 17. 计算： （1）． （2）解方程：． 18. 计算 （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 19. 把下面的说理过程补充完整： 如图，直线，被直线所截，点H为与的交点，于点，，．试说明：． 解：（已知）， （____________________）①， 又（已知）， ____________②， （________________________）③， ， 又（已知）， ________④（等量代换）， （____________________________________________________）⑤． 20. 3月5日，某学校师生积极参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数； （3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“敬老服务”项目的师生人数． 21. 如图，点F在上，点G在上，且，． （1）求证：． （2）若，平分，求度数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 23. 在重庆巫山特产展销会上，某商家现场烤制售卖两种招牌烤鱼：巫山烤钳鱼和巫山烤草鱼．已知售出1条烤钳鱼和2条烤草鱼共收入280元；售出2条烤钳鱼和3条烤草鱼共收入480元． （1）求烤钳鱼和烤草鱼每条的价格？ （2）若售出烤钳鱼和烤草鱼两种产品（均有销售）共收入600元，则两种烤鱼各售出多少条？ 24. 如图1，点、，其中、满足，将点、分别向上平移4个单位，再向右平移2个单位至、，连接、． （1）请直接回答：__________，__________，的坐标是__________； （2）如图1，连接交于点，求的长； （3）如图2，点从点出发，以每秒2个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒3个单位的速度向左运动．设运动时间为秒（），射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 25. 如图，直线，一副三角尺，中，，，，． （1）若将三角尺如图①摆放，当平分时，则__________； （2）若将三角尺和三角尺如图②摆放，的顶点恰好在直线上，三角尺的一边在直线上，且边与边在同一直线上，作和的平分线交于点，求的度数； （3）若图②中三角尺固定，将三角尺绕点顺时针方向旋转（如图③），旋转到边与直线首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边与三角尺的一边平行时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期末质量检测 七年级数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在括号里． 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各选项的数，再结合“无限不循环小数是无理数”的定义即可得出答案． 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，不符合题意， B．，是整数，属于有理数，不符合题意， C．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意， D．是整数，属于有理数，不符合题意． 2. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是选项C，选项A、B、D无法通过平移得到． 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 对乘坐飞机的旅客进行安检 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某市居民垃圾分类的情况 D. 调查市场上冷冻食品的质量情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，进行判定即可． 【详解】解：A、调查对乘坐飞机的旅客进行安检，应用全面调查，故此选项符合题意； B、调查某批次的汽车抗撞击能力，因为抗撞击能力检测属于有损检测，故应用抽样调查，故此选项不符合题意； C、调查某市居民垃圾分类的情况，人数众多，应用抽样调查，故此选项不符合题意； D、调查市场上冷冻食品的质量情况，应用抽样调查，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是（ ） A. 北偏东， B. 北偏东， C. 东偏南， D. 东偏北， 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可知，， 故图书馆相对于小青家的位置是北偏东，． 5. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 6. 已知点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第四象限内点的坐标特征列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：点在第四象限， 可得不等式组， 解，可得， 解，可得， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 7. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 的平方根是 D. 若点在坐标轴上则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可判断A项，根据对顶角的性质可判断B项，根据平方根的定义可判断C项，根据坐标轴上点的坐标特征可判断D项，进而可得答案． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项的命题是假命题，不符合题意； B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项的命题是假命题，不符合题意； C、1的平方根是，故本选项的命题是假命题，不符合题意； D、若点在坐标轴上，则x=0或y=0，所以，故本选项的命题是真命题，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了真假命题、平行线的性质、对顶角的性质、平方根的定义以及坐标轴上点的坐标特征等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 8. 《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾米、彩绢米，每盏小灯用竹篾米、彩绢米．若工坊恰好用完了米竹篾和米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设制作大灯盏，小灯盏，由题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设制作大灯盏，小灯盏， 由题意得，， 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系上有一个质点，质点第一次跳动至点，第二次跳动至点，第三次跳动至点，第四次跳动至点，依此规律跳动下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】仔细观察角码为偶数时，横坐标，纵坐标的变化规律，解答即可； 【详解】解：根据题意，得 ，右下角的角码为偶数0，横坐标为，纵坐标为， ，右下角的角码为偶数2，横坐标为，纵坐标为， ，右下角的角码为偶数4，横坐标为，纵坐标为， ………… 由此得到，右下角的角码为偶数，横坐标为，纵坐标为， 故，右下角的角码为偶数，横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为； 10. 已知多项式序列，，，…，规定：，，，…，，其中，为非负整数，，，，…，均为正整数．整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ①； ②若，，，，则； ③若，则所有满足条件的整式的和为； ④若，则所有满足条件的整式有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给出的多项式定义和系数和的定义，逐个判断四个说法的正误，通过分类讨论计算满足条件的多项式个数，最终得到正确说法的个数. 【详解】根据定义，逐个判断： ① ，，，故①正确； ② ，代入得，故②错误； ③ ，且为正整数， 或， 对应和，求和得，故③正确； ④ 分情况讨论： 当时，，仅1种，符合； 当时，，，仅1种，符合； 当时，，即，为正整数，为非负整数，共4组解，4种； 当时，，即，共2组正整数解，2种； 当时，，即，为正整数，仅这1组解，1种； 当时，最小系数和大于，无解； 总个数为，故④正确， 综上，①③④正确，共3个正确. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应横线上． 11. 学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的14个班共740名学生中，抽取了70名同学的视力情况进行分析，在这个问题中，样本的容量是 _______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查总体，样本，样本容量； 总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的14个班共740名学生中，抽取了70名同学的视力情况进行分析，在这个问题中，样本的容量是70． 故答案为：70． 12. 已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点就向右移动1位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 平面直角坐标系中，已知直线轴，且，，则线段的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查了平行于y轴的点的坐标特点，由于直线平行于y轴，因此点M和点N的横坐标相等，据此列出方程求出m的值，进而得到点M的坐标，最后计算两点纵坐标之差的绝对值得到线段的长度． 【详解】解：∵轴，且，， ∴ ∴ ∴ ∴线段的长为． 故答案为：7． 14. 如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，使得点D，C分别落在、的位置上，与的交点为G，，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质以及折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由平行线的性质得到由折叠可知求出和即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠可知 ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为： 15. 若关于的不等式组的解集为，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的整数的和是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的解集可知，根据方程的解为非负整数可知且为奇数，可得的取值范围是且为奇数，所以符合条件的整数是、、，求出它们的和即可． 【详解】解：不等式组， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 不等式组的解集为， ， ， 解方程， 可得：， 关于的方程的解为非负整数， 且为整数， 且为奇数， 且为奇数， 或或， 符合条件的整数的和是． 16. 一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上数字与个位上数字之和的2倍，则称这个四位数为“二倍数”，例如：4593，2241都是“二倍数”．对于“二倍数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则__________；若“二倍数”百位上数字与十位上数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“二倍数”中的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义可得；根据新定义可得“二倍数”M千位上数字与个位上数字之和为4，设“二倍数”M的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为，个位数字为，则可求出，则可得到，进而得到能被7整除，由，可得，再分和两种情况，分别求出对应情形下M的值，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，； ∵“二倍数”M百位上数字与十位上数字之和为8， ∴“二倍数”M千位上数字与个位上数字之和为4， 设“二倍数”M的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为，个位数字为， ∴ ， ∴ ， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∵， ∴， 当时， 当时，，此时M为3441， 当时，，不符合题意， 当时，，此时M为2712； 当时， 当时，，不符合题意 当时，，此时M为1353； ∵ ∴M的最大值为3441. 三、解答题（本大题共9个小题，17、18小题各8分，19小题至25小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤（填空题除外），画出必要的图形，包括辅助线．请将解答过程书写在对应的位置上． 17. 计算： （1）． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分别计算乘方、绝对值、立方根，再依次进行加减运算； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先移项、系数化为1，再开平方，最后求出x． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：， 移项得， 两边同乘2，， 开平方，， 解得，． 18. 计算 （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将含分母的方程整理为整式方程，再用加减消元法求解方程组； （2）先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 将②化简得：， ，得：，解得：， 将代入①，得：，解得：， 方程组的解为：； 【小问2详解】  解不等式①得，，  解不等式②得，， 不等式组的解集为． 19. 把下面的说理过程补充完整： 如图，直线，被直线所截，点H为与的交点，于点，，．试说明：． 解：（已知）， （____________________）①， 又（已知）， ____________②， （________________________）③， ， 又（已知）， ________④（等量代换）， （____________________________________________________）⑤． 【答案】垂直的定义；60；对顶角相等；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】由得到，求出，等量代换得到，即可证明． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）， 又（已知）， ， （对顶角相等）， ， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 20. 3月5日，某学校师生积极参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数； （3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“敬老服务”项目的师生人数． 【答案】（1）300，补全条形统计图见解答 （2） （3）480名 【解析】 【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图； （2）用乘“文明宣传”所占的百分比即可得出“文明宣传”对应的圆心角度数； （3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“敬老服务”的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次调查的师生共有：（人）， “文明宣传”的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：300； 【小问2详解】 解：由（1）知“文明宣传”的人数为人， 在扇形统计图中，“文明宣传”对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：由条形统计图中数据可知样本中“敬老服务”的人数为人， （人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，点F在上，点G在上，且，． （1）求证：． （2）若，平分，求度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，则可证明； （2）求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 【答案】（1），， （2）图见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）先确定平移方式，再根据点坐标的平移变换规律解答即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再顺次连接即可； （3）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点为， ∴平移方式是：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∵把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，且，，， ∴，，， 即，，． 【小问2详解】 解：画出三角形如图所示： ． 【小问3详解】 解：三角形的面积为． 23. 在重庆巫山特产展销会上，某商家现场烤制售卖两种招牌烤鱼：巫山烤钳鱼和巫山烤草鱼．已知售出1条烤钳鱼和2条烤草鱼共收入280元；售出2条烤钳鱼和3条烤草鱼共收入480元． （1）求烤钳鱼和烤草鱼每条的价格？ （2）若售出烤钳鱼和烤草鱼两种产品（均有销售）共收入600元，则两种烤鱼各售出多少条？ 【答案】（1）烤钳鱼每条售价为120元，烤草鱼每条售价为80元 （2）共有两种售出情况：售出烤钳鱼1条，烤草鱼6条；售出烤钳鱼3条，烤草鱼3条 【解析】 【分析】（1）设烤钳鱼每条售价为元，烤草鱼每条售价为元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设烤钳鱼售出条，烤草鱼售出条，则，变形得，结合、都是正整数，求出与可取的值． 【小问1详解】 解：设烤钳鱼每条售价为元，烤草鱼每条售价为元， 根据题意，可列方程组：， 解得， 答：烤钳鱼每条售价为120元，烤草鱼每条售价为80元． 【小问2详解】 解：设烤钳鱼售出条，烤草鱼售出条， 根据题意可得：， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴是的倍数， 又∵， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； 答：共有两种售出情况：售出烤钳鱼1条，烤草鱼6条；售出烤钳鱼3条，烤草鱼3条． 24. 如图1，点、，其中、满足，将点、分别向上平移4个单位，再向右平移2个单位至、，连接、． （1）请直接回答：__________，__________，的坐标是__________； （2）如图1，连接交于点，求的长； （3）如图2，点从点出发，以每秒2个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒3个单位的速度向左运动．设运动时间为秒（），射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的非负性得到、的值，再根据点坐标的平移规则：左减右加横坐标，上加下减纵坐标得到的坐标； （2）先求出的解析式，再计算出的坐标即可求解； （3）先分别求出三角形各个线段的长度，再表示出两个三角形的面积作差即可． 【小问1详解】 ∵，，且， ∴ ，解得，  点， ∵向右平移2个单位、向上平移4个单位，得坐标， ∴； 【小问2详解】 由平移得点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、坐标： ， 解得，  直线， 令，得， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 的值是定值，定值为8，如图所示， 运动秒后：，，， 设直线的解析式为， 代入、： ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴，​​，  ∴，， ​ 25. 如图，直线，一副三角尺，中，，，，． （1）若将三角尺如图①摆放，当平分时，则__________； （2）若将三角尺和三角尺如图②摆放，的顶点恰好在直线上，三角尺的一边在直线上，且边与边在同一直线上，作和的平分线交于点，求的度数； （3）若图②中三角尺固定，将三角尺绕点顺时针方向旋转（如图③），旋转到边与直线首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边与三角尺的一边平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据邻补角的定义得出，根据平行线的性质得出，根据角的和差关系即可得出答案； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质得出，，，根据角平分线的定义求出，，进而求出，，即可求出的度数； （3）分、及三种情况，分别利用平行线的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，当时，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点作， ∴， ∴，， ∴； 综上所述：的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $