重庆市南开中学校2025-2026学年七年级下学期数学期末考试题

南开中学2025-2026学年第二学期初2028届期末数学质量监测 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 谢尔宾斯基三角形 D. 科克曲线 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 成语作为汉语的瑰宝，凝结了中华文明的智慧与语言艺术精华．下列成语所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 水中捞月 C. 秋去冬来 D. 不期而遇 4. 若关于x的多项式是一个完全平方式，则常数k的值是（ ） A. B. 9 C. 3 D. 5. 2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火升空．飞船上升过程中，飞船剩余燃料的质量会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一变化过程中，自变量是（ ） A. 飞船的总质量 B. 飞船的飞行高度 C. 剩余燃料的质量 D. 飞船的飞行时间 6. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线 B. 三角形三边的垂直平分线交于一点且到三边距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形任意两边之和大于第三边 7. 某快递网点货仓一开始包裹数量为零，运输车持续匀速送来包裹一段时间后，快递员开始派送，但每小时派送数量小于运输车送来的数量，运输车停止送来后，快递员继续派送直至清空货仓．能大致表示货仓包裹数量与时间关系的图象是（ ） A. B. C. D. 8. 小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（ ）． A. B. C. D. 9. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（ ） A. 65 B. 82 C. 95 D. 101 10. 如图，在中，点D在线段上且，E为的中点，与相交于点O，若四边形的面积是，则的面积是（ ） A. B. 5 C. D. 6 11. 如图，在中，AD是的角平分线，F为射线上一点，连接并延长至点E，连接且．若，，则等于（ ）． A. B. C. D. 12. 已知整式，其中n，为正整数，，…，，为自然数，，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足所有条件的M中二次三项式共有3个； ③当，，时，； ④当时，存在，，，，，使得M可以写出的形式，其中p，q为正整数． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共10个小题，13题至20题每小题3分，21题、22题每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 寄生蜂是目前已知的体重最轻的昆虫之一，仅克，数据用科学记数法表示为_________． 14. 一个不透明的袋子中装有5个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为_______________________． 15. 若，，则_______． 16. 若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 17. 重庆东站自2025年6月27日正式投入使用，便重塑了重庆铁路枢纽格局．其中渝厦高铁的某一车次行驶时间（）与行驶路程（）的关系如表： 时间（） 1.5 2 2.5 3 3.5 … 路程（） 525 700 875 1050 1225 … 根据表格中两者的对应关系，若行驶时间为，则行驶路程为_______． 18. 若多项式，则A的最小值是_______． 19. 如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 20. 如图，在等边中，D为上一点，连接，在左侧作，且，连接，过点D作交延长线于点F．若，，则AF的长度为_______． 21. 如图，在中，，，的角平分线交于点D，过点C作交于点E，交于点F，过点F作交于点G．则的度数是_______；若，则的值是_______． 22. 若一个各位数字均不为零的四位正整数满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字与百位数字不等，则称这个四位数为“环心数”．将“环心数”t的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，我们将得到一个新的四位数，记．例如，，则．若m是最小的“环心数”，则_______；已知两个“环心数”p和，其中，（其中，，且）．记，若能被12整除，且M为完全平方数，则满足条件的所有M的和是_______． 三、解答题：（本大题共8个小题，第23题16分，第24题，25题各8分，其余每题10分，共82分）解答每小题时必须给出必要的演算过程或者推理步骤，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的横线上． 23. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 24. 先化简，再求值：，其中a，b使关于x的多项式不含一次项． 25. 如图，在中，为上一点，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，并在上取一点，使，连接．（不写作法和结论，保留作图痕迹） （2）在所作的图形中，若，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴___________， 又∵， ∴___________， ∴， 又∵__________，， ∴． 26. 某校初一年级30个班共有1200名学生，为落实“双减”政策，了解学生睡眠时长是否达到国家建议的9小时及以上，调查小组开展了一次调查研究． 【收集数据】 调查小组计划选取男女生各20名共计40名学生的每日睡眠时长（单位：小时）作为样本． 下面的取样方法中，合理的是_______．（填字母）； A．抽取全年级数学成绩最好的男女生各20名同学的睡眠时长组成样本 B．抽取初一年级1班，2班男女生各10名学生的睡眠时长组成样本 C．从学校足球队的男女队员中各选20名学生的睡眠时长组成样本 D．从全年级按学号随机选取男女各20名学生的睡眠时长组成样本 【描述数据】 抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的睡眠时长（四舍五入取整）如下： 男生：6，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10 女生：6，6，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10 【整理数据】 根据上面学生的睡眠时长，对数据进行整理并绘制成如图所示的不完整的统计图（表）： 40名学生的睡眠时长统计表 时长 性别 6 7 8 9 10 男 2 a 6 3 1 女 2 7 b 3 3 【分析数据】 请根据以上数据，回答下列问题： （1）在【收集数据】阶段，取样方法合理的是_______（填字母）； （2）_______，_______，_______，_______； （3）根据国家要求，中小学生睡眠时长必须在9小时及以上才能达标．请估计该校初一年级有多少人达标？ 27. 如图，在中，，点D在延长线上，点F在线段上，连接，，使．过点A作交延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 28. 如图1，已知六边形相邻的两边互相垂直，其中，动点G从点A出发，沿着六边形的边以每秒的速度逆时针运动，当G运动到点D时调头，以每秒的速度原路返回，到A点处停止运动．设的面积为，运动时间为，S与t的图象如图2所示，请回答下面问题： （1）_______，_______，_______，_______； （2）请直接写出动点G从时，S与t的关系式； （3）当时间t为何值时，动点G在上运动且是以为腰的等腰三角形？请直接写出t的值． 29. 定义：如果一个三角形的三边长为x，y，z，满足（k为正整数），则称这个三角形为“k股三角形”． 例如：三边长为x，y，z，且，，，因为，所以为4股三角形． （1）下列三角形中一定是k股三角形的是_______（填序号）； ①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 （2）已知等腰是3股三角形，，，求的度数； （3）如图，CM是的中线，且，求证：是5股三角形． 30. 如图，在中，过点作交于点，过点作交于点，与交于点，为射线上一点，为直线上一动点，连接． （1）如图，若，与重合且，当，时，求的长； （2）如图，若，，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若为等边三角形，且，将绕点顺时针旋转至，连接，，和，当有最小值时，请直接写出的值． 南开中学2025-2026学年第二学期初2028届期末数学质量监测 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 【11题答案】 【答案】C 【12题答案】 【答案】D 二、填空题：（本大题共10个小题，13题至20题每小题3分，21题、22题每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】. 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】10 【20题答案】 【答案】 【21题答案】 【答案】 ①. ②. 18 【22题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题：（本大题共8个小题，第23题16分，第24题，25题各8分，其余每题10分，共82分）解答每小题时必须给出必要的演算过程或者推理步骤，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的横线上． 【23题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） 【24题答案】 【答案】，0 【25题答案】 【答案】（1）解：如图，，点即为所求； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：，，，． 【26题答案】 【答案】（1）D （2）8；5；；99 （3）300人 【27题答案】 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）30 【28题答案】 【答案】（1），，， （2）； （3）当为，，或时，动点G在上运动且是以为腰的等腰三角形． 【29题答案】 【答案】（1）② （2） （3）证明：作交延长线于， ∵CM是的中线，且， ∴，， 设 ∵， 即 ∴， ， ∵， ∴， ∴是5股三角形． 【30题答案】 【答案】（1） （2）猜想：， 证明：如图，延长至点，使得，作于点，设， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $