河南省部分学校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试卷

HN202603 试卷类型：A 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1数列1，-竖分是，行的通项公式可以为 1 A.- B.I D.（-1)-1 (-2)-1 （-5)" (2)-可 (2)n 2.已知直线y=)x是双曲线C:-3=1(>0,6>0)的一条渐近线，则C的离心率为 每 B⑤ 2 c D 3.已知|an}是等比数列，且a6=6,a,=9,则a= A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知函数八x)=x+x,则im1-）=- Ar-U 2△x A.4 B.-4 C.2 D.-2 5.已知数列a的通项公式为a,二)前项和为S则当S,取得最小值时，A= A.1 B.2 C.6 D.7 6.已知抛物线C:y=2x(p>0)的焦点为F,点A(1,4)在C上，P是C上的动点，Q(-4,yo) 为直线l:x=-4上一定点，P到l的距离为d,若d+IPQ1取得最小值时点P与A重合，则 y0= A号 B32 C.12 D.24 数学(A)第1页（共4页） 7.若数列1a,}满足a,=2,0=1,且，+a2=2则公4a1= andn+2 an+1 4 A.nn B.4n+4 C.4n D.2n ∵n+1 n+1 8.若当x>0时，Ie-al+a心>0恒成立，则实数a的取值花围是 A.(-∞，-1]U[0,+0) B.[-1,+∞) C.(-o,-e2)U[-1,+o) D.(-e2,+o) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列求导正确的是 A若孔)=，则∫()= 2 B.若)=le,则f(a)= C.若f(x)=sin2x,则f'(x)=cos2x D.若fx)=si血x+csx,则f'(x)=-1 sin x sin'x l0.已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn,则下列说法正确的是 A.若a3+a7=0,则S=S4 B.若d<0,则Sn的最大值为S1 C.若S3=5,S5=3,则a2a3=1 D.若Sn=2n2+an+a,则an=4n-2 11.已知a>0且a≠1，函数f(x)=a-x(x>0),则下列说法正确的是 A.当a=e时，f(x)≥0 B.当a=1时f代x)只有1个零点 C.存在a∈(0,1)，使得直线y=x+a为曲线y=f(x)的切线 D.当a=2时，f(x)在(1,3)上的图象上任意两点连线的斜率均小于0 数学(A)第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f代x)=x-2x2+ax在点(1f(1)处的切线与直线x-y+1=0平行，则实数a= 13.已知数列{an1满足a1=1且a+1=2an+3”,若{an+入·3”}是等比数列，则入= 14.已知a>0,点F,(-,0),F2(a,0),我们把满足IPF,IIPF2|=2的点P的轨迹称为双纽 线、如图所示，设P(x,y),则y的最大值为 ,x+y子的最大值为 (两空均用字母a表示，本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知两数)=血+ (1)求f(x)的极值； (2)若f(x)的图象在x=t处的切线l过原点，求t的值及l的方程. 16.(15分) 已知等差数列1a,}的前n项和为5，且受=，=5. 8 (1)求an及Sn; (2)若数列a1,a,%,a,,…,ak,…是等比数列，求kn 数学(A)第3页（共4页） 17.(15分) 如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，点P在棱DD,上. (1)证明：BP⊥AC; (2)求A,P2+BP2的最小值及A,p2+BP2取最小值时平而A,BP与平面B,CD,夹角的余 弦值. 18.(17分) 已知瑞国C号+节=1(e>6>0经过点M20).,引 (1)求C的方程. (2)过点P(0,2)且斜率为k的直线与C交于A,B两点. (i)若k=1,求△AMB的面积； (iⅱ)若直线AB外的点G(m,O)满足∠GAB=∠GBA,求实数m的取值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=x1-2x+1(neN). (1)若f(x)在区间(a,a+1)上单调递减，求实数a的取值范围； (2)讨论fn(x)在(0，+∞)上的零点个数； (3)若当n≥2时，fn(x)在(0，+∞)上的所有零点之积为cn,证明：cn+1<cn,且c·c·…· 2 附：当n≥2时，x+1-2x+1=(x-1)(x”+x-1+…+x-1). 数学(A)第4页（共4页） HN202603 高二数学(A)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案A 命题透析本题考查数列的通项公式。 解析山题意可知该淡数列的滋项公式可以为-哥”气一一 2.答案B 命题透析本题考查双曲线的渐近线和离心率 解析由题得合=之，所以C的离心率为后-√1+（合=汽 3.答案D 命题透析本题考查等比数列的基本性质. 解析因为{an}是等比数列，所以a3·ag=a6,故a3= 64. 4.答案D 命题透析本题考查导数的定义与运算， 解析由f)=x+x,可得f'(x)=3x2+1,所以f(1)=4,则im1-》山=imf1-△）-山= 4x02△x 24x0 △x 分×[-f11=号×(-4)=-2 5.答案C 命题透析本题考查数列的基本性质。 解析由a,>0,即3二)>0，得n<2或n>9,可知4>0,4=0,4,4,0,4，<0，当n≥7时.4，>0，所以当 Sn取得最小值时n=6. 6.答案B 命题透析本题考查抛物线的几何性质， 解析把点A(1,4)的坐标代入y2=2px,得16=2p,所以p=8,F(4,0),l为C的准线，所以d+1PQ1=1PF1+ 1PO=1P0,当点P在线段QF上时取等号，此时Q4,P三点共线，得-44放%号 一1 7.答案C 命题透析本题考查数列的递推公式和裂项相消法求和。 解析由已知得+乙所以位是等差数列，其首项为女分公差d女女=1-子-分所 anan+2 an+1 -分a=名所以公aa名4n名4片)-41-) 8.答案D 命题透析本题考查利用导数解决不等式恒成立问题. 解析因为x>0,所以当a>0时，le-al+ax>0恒成立，当a≤0时，因为e*>1,所以问题转化为e+a(x-1)>0 恒成立.设函数f(x)=e+a(x-1)(x>0),则f'(x)=e+a>1+a,若-1≤a≤0，则f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)>e°-a>0,满足题意，当a<-1时，令f'(x)=e+a=0,可得x=ln(-a),当x∈(0，ln(-a)时， ∫'(x)<0,f(x)单调递减，当xe(ln(-a),+o)时f'(x)>0f(x)单调递增，所以f(x)min=f(ln(-a))=-a+ a[ln(-a)-1].由-a+a[ln(-a)-1]>0,可得-e2<a<-1.综上，a的取值范围是(-e2,+o). 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AD 命题透析本题考查导数的计算 解折对于A)=后=主，则广心到=子在放A正确： 对于B)=l,则了()=2，故B错误； 对于C,f(x)=sin2x,则f'(x)=2cos2x,故C错误； 对于Dx)上如米+cos则了()上cosx-sin )sin-（sn十c0s）cos生三d,放D正确 sin x sin'x 10.答案ACD 命题透析本题考查等差数列的基本性质， 解析对于A,由a3+a2=2a5=0,得a5=0,则S=S4,故A正确； 对于B,设an=5-2n,则d=-2<0,Sn最大时n=2,故B错误； 对于C,由8=34=5，可得a=},由=5=3，可得%=号所以4=号×号=1，故C正确： .53 对于D,由{an}为等差数列，可得a=0,则S。=2n2,a.=4n-2,故D正确. 11.答案ABD 命题透析本题考查利用导数研究函数的性质。 解折对于A,当a=e时八)=e-,设g()-名，则g()-e-,令g()=0,可得=e,当e —2 (0,e)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(e,+o)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)≤g(e)=1, f(x)≥0，故A正确； 对于B,当a=。时，)=e-六，f()=-e-1<0,)单调递减，又e”-02=1>0,f1)= e 是-1<0，所以)只有1个零点，故B正确： 对于C,当ae(0,1)时，f'(x)=a1na-ax-1<0,切线斜率小于0，故C错误； 对于D,当a=2时f(x)=2-x2,f'(x)=2ln2-2x,设(x)=f(x),则h'(x)=2(ln2)2-2是增函数，且 h'(1)=2[(ln2)2-1]<0,h'(3)=2[(ln4)2-1]>0,所以存在x。∈(1,3)，使得f'(x)在(1，x)上单调递减，在 (,3)上单调递增，因为f()=2(n2-1)<0(3)=8(血2-子)<0，所以当xe(1,3)时f(x)<0x) 在(1,3)上单调递减，对任意的1，点(1,3)，当，≠，时，）-）<0，即(1)），(，)两点 x1-x2 连线的斜率小于0，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案2 命题透析本题考查导数的几何意义， 解析由题意知f'(x)=3x2-4x+a,又直线x-y+1=0的斜率为1，所以f'(1)=3-4+a=1,解得a=2. 13.答案-1 命题透析本题考查数列的递推关系及等比数列的概念， 解析因为a。+入·3}是等比数列，且a+1=2a。+3”,所以a+1+入·3+1=2(an+入·3)，即a+1=2an+ 2入·3"-入·3+1=2an-入·3"，所以入=-1. 14.答案号，2a2 命题透析本题考查曲线与方程 解析该曲线的方程为[(x+a)2+y2][(x-a)2+y2]=a4,可变形为(x2+y2-a2)2=a4-4a2y2,所以a4- 4如y≥0，ly1≤号，当+学=a时取等号，所以y的最大值为号由曲线方程还可得4ay=2a2(父+y)- (x2+y2)2,因为y≥0，所以(x2+y2)[2a2-(x2+y2)]≥0，解得0≤x2+y2≤2a2,所以x2+y2的最大值为2a2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.命题透析本题考查利用导数求函数的极值及导数的几何意义 解析(1)因为x)=xnx+上，所以f'(x)=nx+1,xe(0,+0),…(2分） 1 令f'(x)=0,得x= 6,…（3☑ —3 当x∈(0，)时f()<0)单调递减，当x∈（日，+时(）>0)单调递增，…(5分) 所以)的极小值为升合）=0x)没有极大值， (7分) (2)因为f(x)的图象在x=t处的切线过原点， lnt+ 所以r(09。,即h4+1: e (9分) 解得=。 (11分) 1)知日)=-0（日）=0， 所以l的方程为y=0.… (13分) 16.命题透析本题考查等差数列的通项公式与前n项和及等比数列的概念 解析(1)设{an}的公差为d. 由管-=5，得 a1+d=5, .... (2分) 5a1+10d=40, 解得a1=2,d=3,… (4分) 所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1, (6分) 5-a*a）-a2+-山-3+2 2 2 (8分) (2)由(1)知a1=2,a3=8,… (9分) 所以数列a1,4,a1,2,a3,…,an,…是首项为2，公比为4的等比数列， (11分) 所以an=3×k。-1=2×4+1=22m+3, (13分) 所以长，=23+1 3 …… (15分) 17.命题透析本题考查空间向量的应用. 解析方法一：因为ABCD-AB,C,D1是正方体，所以AB,AD,AA,两两互相垂直， 以A为坐标原点，AB,AD,A41所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， B 4 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),D1(0,2,2), 设P(0,2,)(0≤t≤2).…(2分)》 (1)因为B=(-2,2,t),Ad=(2,2,0,… (3分) Bd.At=-2x2+2×2+tx0=0,… …(5分) 所以BP⊥AC.… (6分) (2)因为Ap=(0,2,t-2),B=(-2,2,),…(7分) 所以A,P2+BP2=4+(t-2)2+8+2=22-4t+16=2(t-1)2+14≥14， 当t=1时取等号，所以A1P2+BP2的最小值为14，此时P为DD,的中点.…(9分) Ai=(2,0,-2),B=(-2,2,1),CD=(-2,0,2),B,D=(-2,2,0).…(10分) 设平面ABP的法向量为n=(x,y,z), rn…A,i=0,T2x-2z=0, 即 取龙=2，得n=(2,1,2).… (12分) 设平面B1CD1的法向量为m=(a,b,c), rm·CD=0, r-2a+2c=0, 则 即 lm·B,D=0,【-2a+2b=0, 取a=1,得m=（1,1,1). (13分) 设平面ABP与平面B1CD1的夹角为0， 风m0-识369 即平面ABP与平面B,CD,夹角的余弦值为5,3 91 (15分) 方法二：(1)连接BD. 由ABCD-A1B,C,D1是正方体，可得BB1⊥平面ABCD,AC⊥BD, (1分) 因为ACC平面ABCD,所以BB1⊥AC, 又BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BDD1B1, (3分) 因为BPC平面BDD1B1,所以BP⊥AC. (4分) (2)参考方法一 18.命题透析本题考查直线与椭圆的位置关系. 解析（1)由C经过点M,得a=2,…. …（1分) 又因为C经过点N,所以}+8-1,6=5，… (4分) 5 所以C的方程为管+号-1…（5分) (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知，直线AB的方程为y=kx+2, 与号+号=1联立，得(4状+3)2+16+4=0， 由4=1922-48>0，得11>7， 16k 4 +=42+34+3 …（7分） （1)当k=1时，IAB1=√1+21x-为2|=2√(x,+x2)2-4x2 =2×√9-4x号- (9s分 又点M到直线B的距离d=12k+2-4=22,…(10分) √+12 所以△MW8的面积5=之4B=子x2万x12-兰 7-7 …(11分)》 (ⅱ)由题意知k≠0. 因为∠GAB=∠GBA,所以IGAI=IGBL. 取AB的中点Q(x,yo),连接GQ, 则601AB,6=十名=-8贴 6 22=42+3%=+2=4+3 (12分) 因为kc0·k=-1, 8k 所y1=-和-m=-4k2+3m ,…(14分）》 6 42+3 2k 整理得m+乳 3 当>宁时4+2≥2√4×=4，当且仅当k=时取等号，所以-≤m<0, 当6<-2时，4+及=-【(-4)+3]-2√-4)x3=-45, 当且仅当：=-时取等号，所以0<m≤ (16分) 所以m的取值范围是[-合.0小八(o,] (17分) 6 19.命题透析本题考查导数的应用. 解析（1)f(x)=x3-2x+1,f(x)=3x2-2,…(1分) 令32-2<0，得-<x 3, 所以（田的单调递破区间为-，》 …(3分) 因为f(x)在(a,a+1)上单调递减， a≥、6 所以 得-9≤≤9-1， (a+1s6 所以实数a的取值范围是[-9-小 …(5分) (2)当n=1时，由f(x)=(x-1)2=0,得x=1,所以f(x)只有1个零点.…(6分)》 当n≥2时，f(x)=(n+1)x”-2在(0，+)上单调递增， 令到=0，得=则人在，)上单调建减，《+小上单闲递瑞…(1分剂 因为<1，且=0，所以()<0, …(8分) 又因为fn(0)=1>0, 所以（✉在(0上有1个零点，在，+）上有1个零点该零点为1.…(0分列) 综上，当n=1时f(x)在(0，+o)上有1个零点，当n≥2时f(x)在(0，+o)上有2个零点.…(11分) (3)由(2)知，当≥2时(e)有2个零点武中1个为1，另-个零点在区可0，上，记为么， 则0<bn<1,cn=bnX1=bn…(13分) 因为f(x)=x+1-2x+1=(x-1)(x”+x-1+…+x-1), 设函数gn(x)=x”+x-1+…+x-1,则gn(x)在(0,1)上单调递增， 所以gn(b)=0,g+1(b)=b01+b+…+b。-1=b8+1>0=ga+1(b.+1), "2"n 所以当n≥2时，6.1<6.<√+≤√n41… (15分) 即cn1<cn,b< n+1, 所以号房…6<冬x子 3x4×…xn 2 xn+1n+1' 所以店店…c<n 2 …（17分）》 7