2.2.1 有理数的乘法 教案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学教案聚焦有理数乘法，涵盖乘法法则、多数相乘符号法则、倒数及运算律。第1课时以水库水位变化引入，第2课时复习旧知衔接，从两数到多数，从法则到运算律，搭建递进式学习支架。 特色在于通过算式规律探究引导学生归纳法则，如负数乘负数结果的推导，培养推理意识。结合水库水位、游客统计等实际问题，发展用数学眼光观察现实世界的能力。典例与检测结合，提升学生运算能力，为教师提供清晰教学流程，助力高效教学。

2.1.2 有理数的乘法 第1课时 有理数的乘法法则 教学设计 课题 第1课时 有理数的乘法法则 授课人 教学目标 1.掌握有理数的乘法法则，并能熟练地计算两个数的乘法. 2.掌握多个有理数相乘的积的符号法则. 3.会求一个数的倒数 教学重点 两个有理数相乘的符号法则及运算步骤 教学难点 概括算式的规律 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 如图，有甲、乙两座水库，甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降3 cm.如果用“＋”号表示水位的上升、用“－”号表示水位的下降，请用算式表示，4天后甲、乙水库水位的总变化量分别是多少. 我们已经知道有理数分为正数、零、负数三类，按照这种分类，两个有理数的乘法运算会出现哪几种情况呢？ 通过实际问题，自然地引出本节课要解决的问题，给出有理数相乘的几种情况，为下面的教学做好准备. 探究新知 1.有理数的乘法法则 思考：分别观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律？ （1）3×3＝9， （2）3×3＝9， 3×2＝6， 2×3＝6， 3×1＝3， 1×3＝3， 3×0＝0； 0×3＝0. 可以发现，对于（1）中的算式，随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3.要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有： 3×(－1)＝－3； 3×(－2)＝ －6 ； 3×(－3)＝ －9 . 对于（2）中的算式，随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3，要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有： (－1)×3＝ －3 ； (－2)×3＝ －6 ； (－3)×3＝ －9 . 从符号和绝对值两个角度分别观察上述所有算式，可以归纳如下： 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也为负数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 思考： 利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律? (-3)×3= －9 ； (-3)×2= －6 ； (-3)×1= －3 ； (-3)×0= 0 . 可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减1,积逐次增加 3. 从符号和绝对值两个角度分别观察上述所有算式，可以归纳如下： 正数乘负数，积为负数，积的绝对值等于各乘数绝对值的积 按照上述规律，下面的空格应各填什么数?从中可以归纳出什么结论? (-3)×(-1)= 3 ； (-3)×(-2)= 6 ； (-3)×(-3)= 9 . 可以归纳出如下结论： 负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 与有理数加法类似，有理数相乘，也既要确定积的符号，又要确定积的绝对值.一般地，我们有如下的有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正、异号得负.且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.任何数与0相乘，都得0. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a,b为正有理数，c为任意有理数，则 (+a)×(+b)=a×b,(-a)×(-b)=a×b; (-a)×(+b)=—(a×b),(+a)×(-b)=—(a×b); c×0=0.0×c=0. 显然，两个有理数相乘，积是一个有理数. 2.倒数 计算并观察结果有何特点？ （1）×2；　　　（2）(-0.25)×(-4). 结果都是1 要点：在有理数中，乘积是1的两个数互为倒数. 思考：数a（a≠0）的倒数是什么？ a≠0时，a的倒数是. 0没有倒数. 1.构造这组有规律的算式，为通过合情推理，得到正数乘负数的法则做准备，通过引导和提示，使学生知道“如何观察”“如何发现规律”． 2．先带领学生得到一类情况的结果，为后面的探究奠定基础． 3．既是对负数乘正数法则的应用，也为得到负数乘负数做准备. 4.让学生根据前面积累的经验，独立完成归纳、概括. 典例精析 考点1 有理数的乘法法则 【例1（教材P39例1）】计算： （1）8×(－1)；　　（2）(－)×(－2)； （3）(－)×(－). 【解】（1）8×(－1)＝－(8×1)＝－8； （2）(－)×(－2)＝+(×2)＝1； （3）(－)×(－)＝+(×)＝. 考点2 倒数 【例2】求下列各数的倒数． (1)－；(2)2；(3)－1.25；(4)5. 【解析】根据倒数的定义依次解答． 【解】(1)－的倒数是－； (2)2＝，故2的倒数是； (3)－1.25＝－，故－1.25的倒数是－； (4)5的倒数是. 【方法总结】乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数时，先把小数化为分数再求解．当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便． 【例3】已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋|m|的值． 【解析】根据相反数的概念和倒数概念，可得a、b；c、d的等量关系，再由m的绝对值为6，可求m的值，把所得的等量关系整体代入可求出代数式的值． 【解】由题意得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝6，m＝±6；∴①当m＝6时，原式＝－1＋6＝5；②当m＝－6时，原式＝－1＋6＝5.故－cd＋|m|的值为5. 【方法总结】解答此题的关键是先根据题意得出a＋b＝0，cd＝1及m＝±6，再代入所求代数式进行计算． 让学生进一步理解有理数的乘法法则，提升学生思考和解决问题的能力. 随堂检测 1.计算： (1)(－5)×0.2＝－1； (2)(－8)×(－0.25)＝2； (3)(－3)×(－)＝1； (4)0.1×(－0.01)＝－0.001． 2．若a×(－)＝1，则a＝－．已知一个有理数的倒数的绝对值是7，则这个有理数是±． 3．判断对错： (1)两数相乘，若积为正数，则这两个数都是正数．(×) (2)两数相乘，若积为负数，则这两个数异号．(√) (3)互为相反数的两数之积一定是负数．(×) (4)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．(√) 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 1.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0. 2.有理数乘法的求解步骤：有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值． (3)乘积是1的两个数互为倒数． 巩固所学知识，加深对本课知识的理解. 作业布置 《课时训练》p25-26练习题 板书设计 2.2.1有理数的乘法 第1课时　有理数的乘法法则 情景导入 探究新知：有理数的乘法法则、倒数 典例解析 教学反思 第2课时 多个有理数相乘及乘法运算律 教学设计 课题 第2课时 多个有理数相乘及乘法运算律 授课人 教学目标 1.掌握多个有理数乘法的运算，并能灵活的运用. 2.掌握多个有理数乘法的运算的符号法则，并能简化乘法运算. 3.掌握乘法的分配律，并能灵活的运用. 4.掌握有理数乘法的运算律，并利用运算律简化乘法运算 教学重点 进行多个有理数的乘法运算，理解有理数的乘法依然满足交换律、结合律、分配律 教学难点 多个有理数相乘时积的符号的确定方法，利用分配律的逆运算来简化计算 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 问题1：有理数乘法法则的内容是什么？ (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． (2)任何数与0相乘，都得0. 问题2：计算4×8×12.5×2.5； 问题3：小学学习了乘法的哪些运算律，与同伴交流． 通过旧知引入新内容，为新知教学做铺垫. 探究新知 1.多个有理数相乘及乘法运算律 有了有理数的乘法法则后，就要研究乘法的运算律.在小学我们学过乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律，对于有理数的乘法它们还成立吗? 探究： 计算（1）：5×(－6)＝ －30 ；(－6)×5＝ －30 . 所得的积相同吗?换几组乘数再试一试. 从上述计算中，你能得出什么结论? 一般地，在有理数乘法中，两个数相乘.交换乘数的位置，积不变. 乘法交换律：ab＝ba.（注意：a×b也可以写为a·b或ab.当用字母表示乘数时，“×”可以写为“·”或省略.） 计算（2）：[5×(－6)]×＝ －15 ；5×[(－6)×]＝ －15 . 类似地，可以发现有理数的乘法结合律仍然成立，即：在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 乘法结合律：(ab)c＝a(bc). 根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘. 探究： 计算:5×[3+(－7)]＝ －20 ；5×3+5×(－7)＝ －20 . 所得的结果相同吗?换几组数再试一试. 从上述计算中，你能得出什么结论? 一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加： 分配律：a(b+c)=ab+ac. 2.积的符号的确定 探究： 计算: 2×3×(－0.5)×(－7)＝ 21 ； 2×(－3)×(－0.5)×(－7)＝ －21 ； (－2)×(－3)×(－0.5)×(－7)＝ 21 ； (－2)×(－3)×0×(－0.5)×(－7)＝ 0 . 观察这些式子，它们的积是正的还是负的? 几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系? 如果有乘数为0,那么积有什么特点? 可以得到：几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0,那 么积为0. 这样，遇到多个不为0的数相乘，可以先用上面的结论确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值，例如： （1）(－3)××(－)×(－) ＝－(3×××) ＝－； （2）(－5)×6×(－)× ＝5×6×× ＝6. 通过例子让学生自己得出规律. 典例精析 考点1 多个有理数相乘及乘法运算律 【例1（教材P41例3）】 （1）计算2×3×0.5×(－7); （2）用两种方法计算(＋－)×12. 【解】（1） 2×3×0.5×(－7) ＝(2×0.5)×[3×(一7)] ＝1×(－21) ＝－21. （2）解法1：(＋－)×12＝(＋－)×12＝－×12＝－； 解法2：(＋－)×12＝×12＋×12－×12＝3＋2－6＝－. 【例2】计算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×. 【解析】根据乘法分配律的逆运算可先把－提出，可得－×(32－11－21)，再计算括号里面的减法，后计算乘法即可． 【解】原式＝－×(32－11－21)＝0. 【方法总结】如果按照先算乘法，再算加减，则运算比较繁琐，且符号容易出现问题，但如果逆用乘法的分配律，则可以使运算简便． 考点2 积的符号的确定 【例3】（1）(－3)××(－)×(－); （2）(－5)××(－)×. 【解】（1）原式＝－3×××＝－； （2）原式＝5×××＝6. 【方法总结】先确定积的符号然后再把它们的绝对值相乘. 考点3 有理数乘法运算律应用 【例4】我市旅游局发布统计报告：国庆期间，溱湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数). 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化 单位：万人 ＋1.2 ＋0.8 ＋0.2 －0.2 －0.6 ＋0.2 －1 若9月30日的游客人数为0.6万人，10月1日～10月3日门票为每人150元，10月4日～10月5日门票为每人120元，10月6日～10月7日门票为每人100元，问国庆期间溱湖风景区门票收入是多少元？ 【解析】解此类问题时要根据表格信息，正确理解题意． 【解】10月1日的游客人数为0.6＋1.2＝1.8(万人)；10月2日的游客人数为1.8＋0.8＝2.6(万人)；10月3日的游客人数为2.6＋0.2＝2.8(万人)；10月4日的游客人数为2.8－0.2＝2.6(万人)；10月5日的游客人数为2.6－0.6＝2(万人)；10月6日的游客人数为2＋0.2＝2.2(万人)；10月7日的游客人数为2.1－1＝1.1(万人)．则该风景区国庆期间的门票收入为[150×(1.8＋2.6＋2.8)＋120×(2.6＋2)＋100×(2.2＋1.2)]×10000＝19720000(元)． 【方法总结】解答本题关键是根据题意列出算式，然后根据乘法的分配律进行简便计算． 通过对两个例题的学习，能培养学生通过全面观察有条理地思考并解决数学问题的能力，促进学生综合能力的发展. 随堂检测 1.计算－2×3×(－4)的结果是(A) A.24 B．12 C．－12 D．－24 2.七个有理数的积为负数，其中负因数的个数一定不可能是(C) A.1 B．3 C．6 D．7 3.绝对值不大于4的整数的积是(C) A.6 B．－6 C．0 D．24 4.计算： (1)(－0.1)×(－100)×0.01×(－10)； 解：原式＝(－0.1)×(－10)×(－100)×0.01＝1×(－1)＝－1. (2)(－5)×6×0×(－10)×(－8)； 解：原式＝0. (3)－××(－). 解：原式＝××＝. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 1.本节课学到了什么？ 多个有理数相乘： 2.你还有什么疑惑？ 加深对本课知识的理解. 作业布置 《课时训练》p27-28练习题 板书设计 2.2.1　有理数的乘法 第2课时　多个有理数的乘法 情景导入 探究新知 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $