2026年高一上学期初高中数学衔接内容讲义-提升版

初高中数学衔接内容 -提升版 一、集合的基本运算 二、一元二次函数、方程、不等式 三、基本不等式 一、集合的基本运算 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 例1 设，，求，. 解：； 例2 设，，求，. 解：， ， 例3 设是小于9的正整数，，，求，. 解：根据题意可知，，所以，. 例4 设集合，集合，求，. 解：. 例5 已知集合，，求. 解：， 或， 画数轴如图，可知. 例6 已知，，求，. 解：或， 或. 因此，或，或. 例7 已知集合，，求，，，. 解：因为，， 所以,所以； 因为，， 所以,所以； 因为，， 所以，所以； 因为，， 所以，所以. 例8 设集合，，求，． 解：因为，所以 又因为， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当且且时，所以， 2、 一元二次函数、方程、不等式 例1 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）. （5）. 解：（1）原不等式等价于，即，所以原不等式的解集是； （2）原不等式的解集是； （3）原不等式等价于，所以原不等式的解集是或； （4）原不等式等价于，，则原不等式的解集是； （5）其相应方程的判别式为， 所以不等式的解集为R. 例2 是什么实数时，下列各式有意义？ （1）； （2）. 解：（1）要使有意义，需. 恒成立，所以不等式的解集为， 因此，时，有意义； （2）要使有意义，需，即，. 因此时，有意义. 例3 当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0? (1); (2); (3); (4). 解：（1）二次函数，令 所以 结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与轴有两个交点,所以 当时,函数值等于0; 当或时,函数值大于0; 当时,函数值小于0. （2）二次函数，令 所以 结合二次函数的图像与性质可知: 当时,函数值等于0; 当或时,函数值大于0; 当时,函数值小于0. （3）二次函数，则 结合二次函数的图像与性质可知: 当函数值等于0时为; 当时,函数值大于0; 当函数值小于0时为; （4）二次函数，则 结合二次函数的图像与性质可知,开口向下,与轴有一个交点,所以: 当时函数值等于0; 当时,函数值大于0; 当函数值小于0时为; 例4 某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格? 解：设这批削笔器的销售价格定为元/个 由题意得,即 ∵方程的两个实数根为, 解集为 又， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 三、基本不等式 1. 对于任意实数a，b，有，当且仅当时等号成立. 如果a>0，b>0，我们用分别代替上式中的a，b，可得≤ 当且仅当时等号成立. 2. 基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立. 例1 已知，求的最小值. 解：因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2. 例2 当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？ 解：，当且仅当，即时等号成立. 所以，当或时，取得最小值，最小值为. 例3 已知，求的最小值. 解：，，， 当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为. 例4 已知，若，求的最小值. 解：因为，因为 ，，所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是 例5 已知都是正数，且. 求证：（1）；（2）. 证明：（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，； （2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. 例6 已知直角三角形的面积等于，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？ 解：设三角形两直角边分别为，，则面积，所以， 故，当且仅当时，取等号. 所以，当直角三角形直角边都为10时，两条直角边的和最小为20. 例7 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 解：设，，当时，，，，， ，，两项费用之和为. 当且仅当时，即当时等号成立. 即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $初高中数学衔接内容 -提升版 一、集合的基本运算 二、一元二次函数、方程、不等式 三、基本不等式 一、集合的基本运算 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和 (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法 2.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 若全集为U,则集合A 符号表示 AUB A∩B 的补集为C4 A B A B 图形表示 AUB A∩B CvA 集合表示 {x∈A,或x∈B} {xx∈A,且x∈B} {xk∈U,且xA} 例1设A={3,5,6,8,B=4,5,7,8y,求A∩B,AUB. 例2设A={xx2-4x-5=0},B={xx2=1},求AUB,A∩B. 例3设U={xx是小于9的正整数}，A=L,2,3},B={3,4,5,6},求CA,CB 例4设集合A={x-l<x<2,集合B={x1<x<3},求AUB,AnB 例5已知集合A={xx-16<0,B={xx-4x+3>0,求AUB 例6已知M={4r2-4r-15>0,B={r2-5x-6>0,求MnN,MUN. 例7已知集合A={x≤x<7},B={x2<x<10),求C(4UB),C(AnB), (G:)0B,AU(CB) 例s设集合A={xx-3x-a)=0,a∈R,B={x(x-4xr-)=0,求AUB, A∩B」 二、一元二次函数、方程、不等式 例1求下列不等式的解集： (1)13-4x2>0 (2)(x-3(x-7)<0 (3)r-3x-10>0 (4)-3r2+5x-4>0 (5)x-3x+4>0 例2x是什么实数时，下列各式有意义？ ()V-4x+9,2)√-2x+12x-18 例3当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ 1)y=3x-6x+2 2)y=25-x2 3)y=x2+6x+10. 4y=-3x2+12x-12 例4某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元若按最低售价销售，每天能 卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天 获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ 4 三、基本不等式 1.对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. 如界0，b0.我们用6,6分别代替上式中的a6,可得8ab≤ 当且仅当a=b时等号成立 之基本不等式。06≤“少 (1)基本不等式成立的条件：>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当=b时，等号成立. 1 例1已知x>0,求x的最小值 x21 例2当x取什么值时，x2取得最小值？最小值是多少？ 例3已知x>1,求x+x一的最小值 12 例4已知x>0,y>0:若x+y=1:求xy的最小值 十 例5已知x,y都是正数，且x≠y, y+x>2 2xxy 求证：(1)xy;(2)x+y J 例6已知直角三角形的面积等于50Cm,当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边 的和最小？最小值是多少？ 例7一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地 占地费少（单位：万元）与仓库到车站的距离x(单位：)成反比，每月库存货 物费片（单位：万元）与x成正比：若在距离车站10m处建仓库，则少和”分别为 2 6 万元和万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和 最小？ 6