23.三角形的“四心”及性质-2026-2027学年初升高衔接数学讲义

第23讲 三角形的“四心”及性质 知识点1：三角形的外心、内心、重心、垂心概念 知识点2：三角形的“四心”的有关性质 外接圆 内切圆 图形       定义 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，圆心是三角形的外心，它是_________的交点 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形的内心，它是_________的交点 性质及位置 三角形的外心到_________相等． 锐角三角形的外心在三角形的_________，钝角三角形的外心在三角形的_________，直角三角形的外心在_________ 三角形的内心到_________相等． 三角形的内心一定在三角形的_________ 角度关系 ， 作图方法 从三角形中任意选两条边，作它们的___________________，其交点即为三角形的外心 从三角形中任意选两个角，作它们的___________________，其交点即为三角形的内心 常用结论 求的外接圆半径：用高中知识正弦定理求；若直角，外接圆圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半. 求的内切圆半径：用等面积法 2. 三角形的“重心”定义:三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是的重心，且． 3. 三角形的“垂心”定义:三角形的三条高所在直线交于一点． 4. 角平分线定理:在中，是它的角平分线，则． 在中，，，，，的内切圆的半径为，内切圆与三边相切于点，，，则 【题型1：三角形的内心、重心概念】 【典例1】“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是的重心，且．请你解决以下问题： (1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”） (2)在图1中，若的面积为6，则的面积为__________； (3)如图2，是的内心，，AI的延长线分别与BC和的外接圆交于D、E两点，若，求IE的长． 【详解】（1）解：∵三角形的重心是三角形的三条中线的交点， ∴三角形的重心在三角形的内部， ∵三角形的内心是三角形的内切圆圆心， ∴三角形的内心在三角形的内部，故答案为：内，内． （2）解：∵的面积为6，是的中线，∴， ∵，∴，∴，故答案为：1． 【题型2：三角形的四心应用】 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 【典例2】 在中，求 （1）的面积及边上的高； （2）的内切圆的半径； （3）的外接圆的半径. 【详解】解： （1）如图，作于. 为的中点， 又解得. （2）如图，为内心，则到三边的距离均为， 连， ， 即， 解得. （3）是等腰三角形， 外心在上，连， 则中， 解得 ※ 在直角三角形ABC中，为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？ 1．给出以下判断： （1）线段的中点是线段的重心 （2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心 （3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 （4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点 那么以上判断中正确的有(    ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 2．命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是（   ） A．到角两边距离不相等的点不在角的角平分线上 B．角平分线上的点到角两边的距离不相等 C．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 D．不在角平分线上的点到角两边的距离不相等 3．下列关于“三角形内心”的说法错误的是（   ） A．三角形的内心是三角形两内角平分线的交点 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三角形的内心到三角形的三边距离相等 D．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 4．要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 5．下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 6．如图，在中，中线，相交于点O，连接，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，点为的重心，则的值是（    ）． A． B． C． D．无法确定 8．将下列正确的命题的序号填在横线上___ ①若大于2的正整数，则边形的所有外角之和为； ②三角形三条中线的交点就是三角形的重心； ③证明两三角形全等的方法有：及等 9．如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（    ） 　 A． B． C． D． 10．如图，在中，是它的角平分线， (1)求证：． (2)【尝试探究】 李红在证明上面问题中发现了关于三角形角平分线的一个结论，即：是的角平分线，可得． 王力经过思考，认为上面的结论除了课本上利用三角形的面积来证明，也可以构造相似三角形来证明．证明思路是：如图1，过点B作，交的延长线于点E，从而证明． 第23讲 三角形的“四心”及性质答案 1．D【详解】解：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确； （2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确； （3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的重心，正确； （4）利用平行可得三角形的重心把中线分为两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确；故选D． 2．C 【详解】解：命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．故选：C． 3．B 【详解】解：A、三角形的内心是三角形两内角平分线的交点，故原说法正确，不符合题意； B、三角形的内心到三角形三个顶点的距离不一定相等，故原说法错误，符合题意； C、三角形的内心到三角形的三边距离相等，故原说法正确，不符合题意； D、三角形的内心是三角形内切圆的圆心，故原说法正确，不符合题意；故选：B． 4．B 【详解】解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆， 则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点，故选：B． 5．D【详解】解：①一个三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，有且只有一个，故正确； ②一个圆的外切三角形有无数个，故错误； ③一个圆的内接三角形有无数个，故错误； ④等边三角形的外心与内心重合，故正确．∴ 正确的是①④．故答案为：D． 6．C【详解】解：、为的中线， 为的中位线， ，，所以①正确； ，， ，，所以②错误； ，，所以③正确； ，， ，， ，所以④正确．综上，①③④正确．故选：C． 7．C【详解】解：如图所示，延长AG交BC于点D， ∵G点是三角形重心，∴点D为的中点， ∴， ∵G点是三角形重心，∴， ∴，∴， 同理可证：,∴，故选：C． 8．② 【详解】①若n为大于2的正整数，则n边形的所有内角之和为（n-2）•180°，故本小题错误； ②三角形三条中线的交点就是三角形的重心，符合重心的定义，故本小题正确； ③SSA不能证明两三角形全等，故本小题错误． 故答案为②． 9．B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形内心的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再由内心的定义得到分别平分，根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，∴， ∵点I是的内心，∴分别平分， ∴， ∴， ∴，故选：B． 10．（1）证明：过点作，，如图所示： 在中，平分， ，，即； （2）证明：∵，∴， ∵平分，∴， ∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $