20.二次函数-2026-2027学年初升高衔接数学讲义

第20讲 二次函数 知识点1：二次函数定义 知识点2：二次函数的图像与性质 知识点3：二次函数的的应用 知识点1：二次函数定义 一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 知识点2：二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0 知识点3：二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 知识点4：二次函数的平移变换（口诀：左加右减） 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 【题型1 二次函数的图像性质】 【典例1】抛物线经过，两点，且，则下列结论错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B． C．抛物线与x轴有2个交点 D．若为抛物线上任意一点，则 【详解】解：抛物线中， 二次项系数为，，所以抛物线开口向上，故A正确，但不符合题意； ∵抛物线经过，两点，且， ∴，解得，故B错误，符合题意； 当时，， ， 所以抛物线与x轴有2个交点，故C正确，但不符合题意； 为抛物线上任意一点， 所以， 故D正确，但不符合题意 故选：B． 【题型2二次函数的图像性质综合】 【典例2】如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论： ①；②；③；④． ⑤关于x的方程一定有两个不相等的实数根； 其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【详解】解：∵抛物线开口向上，∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴，∴， ∵对称轴为，∴，∴，，故①②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为，∴， ∵，∴，∴，故③正确， ∵，又∵，∴，∴，故④错误， ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故⑤正确；故选：C． 【题型3 图像的平移变换】 【典例3】 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值． 【详解】解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以， 解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像． 由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14． 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律． 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题． 1、下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、将二次函数 变形为顶点式得到的解析式为 ( ) 3、对于二次函数 下列说法正确的是 ( ) A.函数有最小值 B.函数图象开口向下 C.函数图象的顶点坐标是(1，-1) D. y随x的增大而减小 4、在平面直角坐标系中，将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ( ) 5、已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 6、函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 7、函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2 （ ） A.向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 B.向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 C.向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 D.向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 8、一次函数y= kx+1图象与二次函数y= 图象交于两点A(1，2)和B，则B 点坐标是 . 9、将抛物线 向上平移3个单位长度后，经过点(-2,5),则的值是 10、已知二次函数 图象经过A(2,3),B(3,6),C(-1,6)三点. (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数 图象平移使其经过点 D(5，0)，且对称轴为x=4，求平移后的二次函数的解析式. 第20讲 二次函数答案 1、 B 【详解】解：①是二次函数；②不是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数． 综上，二次函数有①③，共2个． 2、 3、B 二次函数 函数图象开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为(0，0)，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小.故选项A，C，D不符合题意，选项B符合题意 4、 A 将抛物线 向上平移2个单位长度，所得抛物线解析式为 再向右平移1个单位长度，所得抛物线解析式为 故选A. 5、 D 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 6、 A 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 7、 D 8、 (-2,-1) 【详解】把点 A(1,2)的坐标分别代入两个解析式,得2=k+1,2=a+3,解得k=1,a=-1,∴两个函数解析式分别为 联立 解得 或 ∴B 点坐标是(-2,-1). 9、1 【详解】由题意得，点(-2，5)向下平移3个单位长度后得到的点(-2，2)在抛物线 上,∴2=a×(-2)²+b×(-2)-5, ∴4a-2b=7,∴8a-4b-13=2(4a-2b)-13=2×7-13=1. 10、解:(1)把A,B,C三点的坐标分别代入 解得 ∴该二次函数的解析式为 (2) 设平移后的二次函数的解析式为 ， 将点 D(5，0)的坐标代入 得 解得k=-1, 学科网（北京）股份有限公司 $