精品解析：广东广州市第六中学2025-2026学年高二校本课程期末考核数学试题

广州六中高二数学校本课程期末考核 （2026.6） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】, 又集合，所以，共4个元素. 2. 复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入题干所给的等式求解，根据模长公式计算模长，代入即可求解． 【详解】设，则，则， 则，解得； 故，； 故． 3. 已知中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形大边对大角可知，由在上的单调性可得，由此可确定结果. 【详解】由正弦定理以及三角形大边对大角可得： ， 又，在上单调递减， ，即， “”是“”成立的充分必要条件. 故选：C. 4. 设随机变量X服从正态分布，Y服从，若，则实数m的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将随机变量X与Y所服从的正态分布转化为标准正态分布，利用标准正态分布的概率值相等判断m的取值． 【详解】设，则随机变量服从标准正态分布， 由正态分布可知，，其中为标准正态分布的分布函数且； 故，； 因为，则； 因为是单调递增函数，故，解得． 5. 双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若双曲线和的焦点在同一坐标轴上，则离心率相等，不合题意， 不妨设双曲线，，，，，， 则对于，其半焦距为，实半轴为，则； 对于，其半焦距为，实半轴为，则， 所以，又，所以，所以，所以. 6. 设A，B，C为同一单位圆上的三个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设出，，，得到，结合，即可求得其最小值. 【详解】不妨以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，   设，，，则， 因 ， 故当时，取得最小值为， 由于，故当时，取得最小值为， 此时，符合题意，故的最小值为. 7. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及，化简得到，取，分类讨论，取绝对值号，即可求解的值. 【详解】由函数的定义域，可得其定义域关于原点对称， 又由， 因为函数是奇函数，可得，即， 即恒成立，即恒成立， 因为存在正实数使得函数定义在上的奇函数，可取， 当时，可得， 所以，所以； 当时，可得， 所以，所以， 综上可得，实数的值为. 8. 空间内三点A、B、C满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，则取点的方案数为（ ） A. 12 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【详解】空间中三个点，满足，显然点不能同为正四棱锥底面顶点， ① 当为正四棱锥的侧面时，如图1， 此时分别为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的， 不妨以为例，此时符合要求的另两个点在直线同侧，有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，共有6种方案； ② 当为正四棱锥的对角面时，如图2， 此时分别为底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的， 不妨以为例，此时符合要求的另两个点关于直线对称，只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，共有3种方案. 由分类加法计数原理，可知取点的方案数为9. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正四面体中，下列各角大于的有（ ） A. 棱与棱的所成角 B. 棱与棱的所成角 C. 棱与平面的所成角 D. 平面与平面的所成角 【答案】BD 【解析】 【分析】由正四面体的性质直接将线线角，线面角及面面角找出来，借助余弦定理求所成角的余弦值，与比较可以得出正确答案. 【详解】选项A，正四面体，所以为正三角形，所以棱与棱的所成角为，，选项A错误； 选项B，作棱中点E，连接，，因为为正三角形，所以， 同理，，平面，， 所以平面，平面，所以， 所以棱与棱的所成角为，选项B正确； 选项C，由正四面体性质可知棱与平面的所成角与棱与平面的所成的角一样，且D在平面的投影在上， 所以棱与平面的所成角为， 设正四面体边长为，所以， ， 所以，选项C错误； 选项D，因为，，所以平面与平面的所成的角为， ， 所以，选项D正确. 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先判断等比数列公比为负，再根据题意，结合的正负分类讨论求解，得到的两个可能取值. 【详解】若公比，则，与矛盾，故， ①当时，根据题意，有，， 两式相加得，即； 两式相减得，即； 解得，，故C正确； ②当时，根据题意，有，， 两式相加得，即； 两式相减得，即； 解得，，故A正确. 11. 设角，满足，则下列情况可能发生的有（ ） A. 在第一象限，在第一象限 B. 在第一象限，在第二象限 C. 在第二象限，在第一象限 D. 在第二象限，在第二象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，，借助两角和的正切公式化简可得，则有，假设、都在第一象限，可得、，则不成立，即可得A错误；举出符合要求的例子可得B、C、D. 【详解】， 令，，即有； 对A：若、都在第一象限，则、， 由可得， 若或，则，不符， 则且，此时，则，亦不符， 故、的正切值不能同为正，故A错误； 对B、C、D：若在第二象限，则，取， 则有，即，解得或； 即存在、，使得在第一象限，在第二象限， 同理，存在、，使得在第二象限，在第一象限， 同理，存在、，使得在第二象限，在第二象限， 故B、C、D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. （i为虚数单位）的展开式中，实系数之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】用赋值法计算展开式系数和的实部，即可得到实系数之和. 【详解】令，得展开式所有项系数和为， 计算得，故，其对应实部为，即实系数之和为. 13. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 【答案】或 【解析】 【分析】假设经过适当排序后变成等差数列，依次讨论是等比中项的情况，结合公差即可求解. 【详解】由于经过适当排序后可成等差数列，不妨设这三个数为，其中公差， 这三个数经过适当排序后也可成等比数列，则有： ①当是等比中项时，则有，解得，这与矛盾，所以不是等比中项； ②当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，由于这三个数是互不相同的实数，所以， 而这三个数要构成等比数列，只有两种排序方式，即或， 因此公比或； ③当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，情况与②相同； 综上所述，该等比数列的公比为或. 14. 从1，2，3，…，n这n个数中随机抽一个数记为X，再从1，2，…，X中随机抽一个数记为Y，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，根据全概率公式求出，，再由期望公式计算可得. 【详解】依题意， 由全概率公式可知， ， ， ， ， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题，共17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知曲线和圆（，）相交于A，B两个不同点，记直线AB的斜率为k． （1）当时，证明：； （2）当时，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）转化题设为有两个不同的根，设函数，，利用导数分析其单调性，进而求证即可； （2）设点，，，，由题意得，进而结合垂径定理、 对数均值不等式可得，，进而结合均值不等式求证即可. 【小问1详解】 当时，由题意得方程有两个不同的根， 设函数，， 则， 易知在时单调递增， 且时，，时，， 由零点存在定理知，存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在递减，在递增， 又因为时，，时，， 所以有两个不同零点等价于， 即，解得， 所以. 【小问2详解】 设点，，两点地位等价，不妨设，则， 由题意得，由垂径定理可得， 又因为，所以两式作差得， 由对数均值不等式可得： ， 由均值不等式可得 ， 则，即，所以，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州六中高二数学校本课程期末考核 （2026.6） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设随机变量X服从正态分布，Y服从，若，则实数m的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设A，B，C为同一单位圆上的三个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 空间内三点A、B、C满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，则取点的方案数为（ ） A. 12 B. 9 C. 8 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正四面体中，下列各角大于的有（ ） A. 棱与棱的所成角 B. 棱与棱的所成角 C. 棱与平面的所成角 D. 平面与平面的所成角 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设角，满足，则下列情况可能发生的有（ ） A. 在第一象限，在第一象限 B. 在第一象限，在第二象限 C. 在第二象限，在第一象限 D. 在第二象限，在第二象限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. （i为虚数单位）的展开式中，实系数之和为________． 13. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 14. 从1，2，3，…，n这n个数中随机抽一个数记为X，再从1，2，…，X中随机抽一个数记为Y，则______． 四、解答题：本题共1小题，共17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知曲线和圆（，）相交于A，B两个不同点，记直线AB的斜率为k． （1）当时，证明：； （2）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $