因式分解 衔接练-2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接

**基本信息** 聚焦初高衔接因式分解，构建“概念-方法-应用”三阶体系，通过多样化题型培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|单选1-9、填空13-16|提公因式法、平方差公式、十字相乘法|从公式结构特征到分解步骤，形成“识别-选择-应用”逻辑链| |综合应用|解答19-24|分组分解法、因式分解与整式乘法互逆|结合参数、几何背景，体现知识迁移与问题解决能力| |拓展探究|解答25-29|规律探究、代数推理|从具体数字规律到一般化证明，发展数学思维与创新意识|

初高衔接点--因式分解 衔接练 2026学年暑期数学学科 一、单选题 1．若，，则的值为（ ） A．8 B．15 C．25 D．45 2．下列能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 3．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（ ） A． B． C． D． 4．小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ） A．2024，2025，2026 B．2025，2026，2027 C．2023，2024，2025 D．2026，2027，2028 5．已知，且，则的值为（ ） A．3 B． C． D．或 6．将分解因式，正确的结果是（ ） A． B． C． D． 7．将分解因式，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 8．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则 的值为（ ） A．1 B．5 C． D． 9．以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列为： ，然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（ ） A． B． C． D． 10．若，则（ ） A． B．8 C． D．6 11．设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数m的个数为（ ） A．8 B．6 C．4 D．3 12．分解因式：（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若，则的值为______． 14．分解因式：___________． 15．若多项式，则的值为________． 16．用因式分解法求得方程的根为______. 17．如果，其中，都是正整数，则称为“双数”，为的最佳拆分点．例如：，8为“双数”，2为8的最佳拆分点．若“双数”的最佳拆分点为，“双数”的最佳拆分点为，且，则的值为______． 18．《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________． 三、解答题 19．把下列各式因式分解. (1)； (2)； (3)； 20．（1）已知，求的值. （2）已知，求的值. 21．已知有因式，把它分解因式. 22．先化简，再求代数式的值，其中． 23．对于多项式“”我们可以进行如下分解： 方法一： ． 方法二： ． 参考示例中的方法回答下列问题： (1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为 ，卡片②为长方形，长为 ，宽为 ，卡片③为长方形，长为 ，宽为 ，卡片④为长方形，长为 ，宽为 ，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽． (2)分解因式：； (3)若都是正整数，且，求的值． 24．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； (3)若 ， ， 是△ 的三边，当时，判断△ 的形状． 25．已知，， (1)直接写答案：________；________；________． (2)根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值： 26．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 27．已知算式“”． (1)当时，计算该算式的结果； (2)若将算式中的数字“”改为“”，求此时代数式因式分解的结果． 28．某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式： 第1组：； 第2组： 第3组：； …… (1)根据上述运算规律，请将等式补充完整：____________ ______； (2)设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明． 29．小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数 ， ，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当 ， ，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵ ，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： 【类比探究】 (1)请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． (2)小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B D D A A D B 题号 11 12 答案 B A 1．B 由，，得. 2．D A、是三项，不符合结构要求，不能用平方差公式分解； B、是三项，不是两个平方项的差，不能用平方差公式分解； C、是三项，不符合平方差公式的结构要求，不能用平方差公式分解； D、是与的平方的差，符合平方差公式的结构， ，能用平方差公式分解． 3．B 根据题意可得． 4．B 利用提公因式法和平方差公式分解因式可得结论. ， 故的计算结果能被2025，2026，2027整除． 5．D 利用十字相乘法可得，结合可求结论. 由题意得，， ， ∴或， ∵， ∴或. 6．D 解：. 7．A 解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴. 8．A 利用整式乘法与因式分解的关系，可得多项式的另一个因式为，即可得解. 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式为， 由多项式的乘法运算法则可得，另一个因式的一次项为，常数项为， ， ， . 9．D ∵ ∴，故D正确. 10．B ， 常数项相等：， . 项系数相等：， 代入， . 11．B 利用十字相乘法，即可确定m的值，进一步即可求解． 因为，， 则可以为. 满足条件的整数的个数为． 12．A ． 13．10 解：∵， ∴， ∴ ． 14． 分组因式分解 ． 15． 根据因式分解及任意有理数的平方都是非负数求解即可. 因为，所以， 即， 又，，所以，， 解得，， 故． 16．或 将因式分解为，进而求解方程的根即可. 方程可化为， 所以或，解得或， 所以方程的根为或. 故答案为：或 17． 结合最佳拆分点的定义得到，结合p和q均为正整数得到和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数，结合12的因数对罗列方程组求解即可. 由题意，“双数”的最佳拆分点为，故； “双数”的最佳拆分点为，故． 因为，所以，即， 整理得：， 由于p和q均为正整数，故和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数， 又12的正整数因数对有：或或，只有同为偶数， 所以，解得， 所以． 18． 由秦九韶算法的改写方法可得： ， 当时，． 19．(1) (2) (3) （1）（2）根据给定条件，利用十字相乘法分解因式. （3）利用十字相乘法及公式法分解因式即得. （1）原式. （2）原式 （3）原式. 20．（1）答案见解析；（2）3 （1）利用因式分解法用表示，再代入计算得解. （2）利用配方法，结合恒等式求出即可. （1）由，得，解得或， 当时，， 当时，. （2）由，得， 即，解得，， 所以. 21． 根据给定条件，利用分组分解法及十字相乘法分解因式即得. 由有因式， 得 . 22．， ， 当时，原式 23．(1) (2) (3)8 （1）先求卡片①②③④的面积之和，再对因式分解即可； （2）直接因式分解即可； （3）对变形为，再根据整数的性质求解. （1）由已知得卡片①②③④的面积之和为 因为卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，且卡片⑤的长为， 所以卡片⑤的宽为． （2） ． （3）∵，， ∴ ． ∵ 为正整数，且， ∴， ∴即， ∴． 24．(1) (2) (3) 是等腰三角形 （1） ； （2） ； （3）， ， ， ， ， ， 是 的三边， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 25．(1)，， (2) （1）由，， 则， ， ； （2）， 把代入得， 原式. 26．(1) (2) 的形状为等腰三角形，理由如下： ． 由 的三边长关系， 可知， 即 ， 所以 ，即，因此为等腰三角形． （1）． （2）略 27．(1) (2) （1）将代入得解； （2）通过提取公因数法求解. （1）当 时， ； （2）根据题意， ． 28．(1)，3264 (2) 证明：左边 右边，故规律成立． （1）根据条件知运算规律为：两个数的十位数字相乘，加上个位数字的值再乘以100，所得值加上个位数值的平方，因此得等式； （2）将两个两位数表示为和，根据所述规律写出两个数的积，然后两数相乘证明所得结论成立. （1）根据前3组的规律可知； （2）由题意，这两个两位数为，， 用含a，b的等式表示上述规律为． 证明：略 29．(1) （或） (2)设,是连续的正整数，且， ， ， ， 一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． （1）空格所缺内容为或，理由如下： 设， ∵,是连续的正整数， ∴， ∵， ∴或， ∴一定是正整数的平方数． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $