精品解析：吉林省吉林市田家炳高级中学2025-2026学年下学期高一期初测试数学试卷

吉林市田家炳高级中学2025-2026学年下学期高一期初测试 数学学科试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 命题、审题：高一年级数学学科命题组 一、单选题 1. ，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量坐标定义计算即得. 【详解】因，，则. 故选：C. 2. 设两点把线段三等分（靠近），则下列向量表达式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理判断各选项即可. 【详解】因为方向相同，且，所以，A正确， 因为方向相同，且，所以，B正确， 因为方向相反，且，所以，C正确， 因为方向相反，且，所以，D错误， 故选：D. 3. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的夹角计算公式即可求解. 【详解】由已知，，， 设则与的夹角为，则余弦值， 又因为，所以. 故选：C. 4. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 5. 在中，内角对边分别为，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 6. 在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三点共线的结论得到，然后利用线性运算得到，，然后计算即可. 【详解】 A、P、E三点共线，设，且， 又，所以，，即． 7. 在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，，所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 8. 由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如下图所示，由正六边形的性质可得： 正六边形边长为，则，，正三角形任意底边上的高为， 以中点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示， 则，，， 设与的夹角为，， 其中表示在方向上的投影， 由图可知，当点取时，在方向上投影长度最短， 点取时，在方向上的投影长度最长， 故点取时，，此时，为最小值； 点取时，，此时，为最大值； 故的最小值、最大值分别为. 二、多选题 9. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，且与垂直， 所以． 故选：BC 10. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得与共线 【答案】ABD 【解析】 【详解】依题意，向量，， 对于A，B，由题意得， 则，故A，B正确； 对于C，，即不垂直，故C错误； 对于D，，， 由，得， 因此当时，得与共线，故D正确. 11. 在中，已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 是在上的投影向量 【答案】AD 【解析】 【详解】 选项A，已知，得， 又由 ，  两边同乘3得：，故A正确； 选项B，和同高，面积比等于底之比， 故，B错误； 选项C，由， 因为， 所以，故C错误； 选项D，根据投影向量公式，在上的投影向量为： ，故D正确. 三、填空题 12. 在中，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理进行求解. 【详解】由题意得， 又，所以. 故答案为： 13. 已知向量满足，且，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再由计算即可． 【详解】，， 又因为，所以，即， 所以． 故答案为：． 14. 已知，定义，下列等式中 ①； ②； ③； ④ 一定成立的是____________________．（填上序号即可） 【答案】①、④ 【解析】 【详解】①正确，； ②错误，； ③错误， ；所以 ④正确， 四、解答题 15. 已知平面向量． （1）求与的夹角余弦值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可. （2）根据向量共线的坐标公式求出参数的值. 【小问1详解】 由已知，， 所以. 【小问2详解】 由已知，， 因此由，可得， 解得． 16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行求解； （2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 变形为：， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 17. 如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． （1）求的面积（用字母表示）； （2）若，，，，，求M，N之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理表示出边，利用面积公式可求答案； （2）先利用正弦定理求出,再利用余弦定理可求答案. 【小问1详解】 由题意可知，由正弦定理，得， 面积 【小问2详解】 由（1）知， 在中，，， 在中，， 由余弦定理可得 ， 所以. 18. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理化简等式，结合两角和的正弦公式和三角形中角的范围计算角的大小； （2）根据平面向量运算以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值. 【小问1详解】 在三角形中，由正弦定理得： ． 中，，， ，， 或． 【小问2详解】 为锐角，， 为的中点，，， ，即， 根据重要不等式知：， ，当且仅当时，等号成立． 因此，的面积最大值为 19. 在中，角、、所对的边分别是、、．且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围； （3）若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积． 【答案】（1） （2） （3），面积为 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可； （2）根据（1）可得，得到，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可； （3）先根据直角三角形中的关系求解得，再设，推导可得，再根据求解即可 【小问1详解】 由正弦定理及，得， 即，化简得，故． 又，故． 【小问2详解】 由（1）知，， 故 . 又，则，， 故． 【小问3详解】 ∵，∴，∵，为中点，∴， ∵，∴，，∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在直角中，， ∴当时，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市田家炳高级中学2025-2026学年下学期高一期初测试 数学学科试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 命题、审题：高一年级数学学科命题组 一、单选题 1. ，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 设两点把线段三等分（靠近），则下列向量表达式中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 7. 在平面内，某质点在三个力作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（ ） A B. C. D. 8. 由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得与共线 11. 中，已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 是在上的投影向量 三、填空题 12. 在中，则__________. 13. 已知向量满足，且，则_______ 14. 已知，定义，下列等式中 ①； ②； ③； ④ 一定成立的是____________________．（填上序号即可） 四、解答题 15. 已知平面向量． （1）求与的夹角余弦值； （2）若，求实数的值． 16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 17. 如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． （1）求的面积（用字母表示）； （2）若，，，，，求M，N之间的距离． 18. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 19. 在中，角、、所对的边分别是、、．且． （1）求角大小； （2）求取值范围； （3）若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $