精品解析：浙江省部分校2026年初中学业水平考试 数 学

浙江省2026年初中学业水平考试 数 学 考生须知： 1．本卷共5页，考试时间120分钟，满分120分． 2．本卷所有的答案都必须用0．5mm黑色签字笔写在答题卡的对应区域上，写在试卷、草稿纸上均无效． 3．本试卷中“连结”和“连接”同义． 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，总分30分．请从每题所给的四个选项中选出唯一正确的选项，多选、错选、不选均不给分． 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用二次根式的性质化简原式，再根据相反数的定义求解. 【详解】解：， 的相反数是. 2. 对于多项式，这个多项式的次数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解：多项式中，最高次项为，次数为， 故这个多项式的次数是3. 3. 2025年，杭州市出口额6469亿元，增长，增速高于全国、全省个百分点．其中6469亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：亿. 4. 如图，小杭随意画了一个三角形，其中互为同旁内角的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之间的两角，结合图形逐一判断即可. 【详解】解：A、和是同位角，不符合题意； B、和是同旁内角，符合题意； C、和是内错角，不符合题意； D、和是同位角，不符合题意. 5. 四根木棒的长度分别为 ， ， ， ．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，能够组成三角形的概率是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列举出所有任取三根木棒的等可能结果，再用三角形三边关系判断能组成三角形的结果数量，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：从四根木棒中任取三根，所有等可能的结果共有种，分别为，，，，其中能组成三角形的结果有种，分别为，，， ∴能够组成三角形的概率是． 6. 如图用长方形和正方形木板作盒子的侧面和底面，做成竖式和横式两种无盖箱子．现在仓库里有m块正方形木板和n块长方形木板，问：两种箱子各做多少个，恰好将库存的木板用完，假设竖式纸盒做了x个，横式纸盒y个．本题的方程列式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形分析竖式和横式纸盒分别需要的正方形和长方形木板数量，结合库存总量列出方程组.  【详解】解：∵竖式纸盒由1块正方形木板（底面）和4块长方形木板（侧面）组成， ∴做个竖式纸盒需要正方形木板块，长方形木板块， ∵横式纸盒由2块正方形木板（左右侧面）和3块长方形木板（底面及前后侧面）组成， ∴做个横式纸盒需要正方形木板块，长方形木板块， ∵仓库里有块正方形木板和块长方形木板，且恰好用完， ∴列方程组为. 7. 我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术》中提到了割圆术，其本质上可以用来估算的近似值，如图，现在在半径为R的圆内有一n边正多边形，则可以精确表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用锐角三角函数表示出圆内接正边形的边长，进而求出正边形的周长，根据割圆术原理，正边形周长近似等于圆周长，建立等式即可得出的表达式. 【详解】解：正边形的中心角为， 正边形的一条边所对的圆心角的一半为， 如图，在由半径、边心距和边长的一半组成的直角三角形中，边长的一半， 正边形的边长为， 正边形的周长， 圆的周长，且由割圆术可知 ， ， . 8. 在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先，设函数的图象与y轴交于点D，根据函数与函数相交于A、B两点，联立两个函数的表达式组成方程组，解方程组即可得出点的坐标，然后求得的长，最后，由即可求得结果． 【详解】解：如图，设函数的图象与y轴交于点D， ∵函数与函数相交于A、B两点， ∴， 解得，， ∴，， 将代入函数，得， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出的长，根据角平分线的性质求出的长；取的中点 ，过点  作  于点 ，设 ，，利用勾股定理推导与的数量关系，从而确定点的轨迹是以为圆心、为半径的圆；最后根据点与圆心的位置关系，求出的最小值. 【详解】解：在  中，，，， . 平分， ∴点到的距离和点到的距离相等，均为的长， ， ， ， 取的中点，连接， ， 过点作于点，设，， 在  和 中， ， ， ， 在  中，， ， ， ，解得.  点在以为圆心，为半径的圆上.  ，，且点在上，  点在之间，， ∵点在 内部（）， 当点位于线段的延长线与圆的交点处时， 取得最小值， ∴. 10. 如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】首先，判断最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径，再由I为的内心，均为的角平分线，①设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为，然后，由勾股定理得，可求得的长，接着，由角平分线的性质得，再由，得，最后，分别求得的长，再分别代入计算即可；②过点I作于H，由角平分线的性质得，再由，得，最后，将的值分别代入计算即可；③由①的结论对应的比值及对应求得的的长，分别代入对应数据计算即可． 【详解】解：∵等腰的底边长为，， ∴，， ∵包装盒的最小半径为，直径为，且， ∴最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径． ∵I为的内心， ∴均为的角平分线， ①如图1，设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为， ∴， ∵，， ∴点O在线段上， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得或， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴若的平分线交边于点E，则的值可能为或，推断①正确； ②如图2，过点I作于H， ∵均为的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，； 内心I将高线分成的两段比例的值可能为或，推断②正确； ③由①得当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴线段的长度可能为或，推断③正确； 综上，正确推断的个数为3． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，总分18分 11. ______． 【答案】 【解析】 【详解】解： . 12. 在方程中，小金解得，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， 解得. 13. 如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得． 【详解】解：∵的直径为 ，则半径是： ， ∴， 连接、设的中点为，连接，根据题意知 ， ∵, ∴是直径， ∴， 在中，， 即扇形的对应半径， 弧长， 设圆锥底面圆半径为r，则有， 解得：． 14. 如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，在中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得． 即：气球A离地面的高度约为． 15. 阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】 个单位 【解析】 【分析】先根据运动方向表示出点第次运动后的位置表达式，再利用题干给出的错位相减法求和，最后取绝对值得到点到原点的距离.  【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为：   将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 16. 如图，四边形内接于圆，对角线和相交于点E．已知，．若对角线被交点E分成的线段满足，则边的长为______． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据等弦对等弧得到，进而得到，即平分，等积法得到，证明，得到，，证明，得到，结合，求出的长，进而求出，的长，再根据，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴，，即平分， ∴点到的距离等于点到的距离， 设点到的距离为， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴. 三．解答题：本大题有8个小题，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 化简求值：，其中x的值为的解． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，合并同类项，进行化简，解分式方程，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：   ；  ∵， 去分母，得， 解得； 检验：当时，，因此是原方程的解； 将代入上式得． 18. 解不等式组，并写出其整数解：． 【答案】 不等式组的解集为，整数解为 【解析】 【详解】解：， 解不等式① 得； 解不等式② 得； ∴原不等式组的解集为，其整数解为. 19. 印度数学家婆罗摩笈多曾提出过一类有趣的方程问题：求双曲型二元二次方程的整数解．例如求方程的正整数解． 设x，y为正整数，将方程两边同时加上4，得． 利用分组分解法因式分解得：． 因为5是质数，在整数范围内可分解为或 当且，可以解得，（舍去） 当且，可以解得， 当且，可以解得， 综上所述该方程的正整数解为：或者． （1）上面的解决过程中，为何将，舍去？请说明理由； （2）请你仿照上面的方法，求方程的整数解． 【答案】（1） 理由：题目要求方程的正整数解，该组解中不是正整数，不符合要求，因此舍去； （2） ，，，，，，，，，，，. 【解析】 【分析】（1）根据x，y为正整数，进行说明即可； （2）仿照题干给出的解题思路进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对于方程，两边同时加9，得 ， 对左边分组分解因式，得  ∵是整数，所以和都是12的整数因数，所有情况如下： 当，解得； 当，解得； 当，解得； 当，解得； 当，解得； 当，解得； 当，解得； 当，解得； 当，解得； 当，解得； 当，解得； 当，解得； 以上即为方程所有的整数解. 20. 已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． （1）给出 的证明； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用矩形对边平行的性质，，结合已知条件，得到等腰三角形的底角，等量代换得到，证明，即可得到对应边； （2）由四边形内角和定理可求出即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵,且，，， ∴, ∴． 21. 【项目名称】校园生态池鱼群数量的调查与决策 【项目背景】在“建设美丽浙江”的活动中，某校开展了“校园绿化与生态平衡”的项目化学习．小衢和小嘉两位同学加入了一个关于“校园生态池内锦鲤数量调查”的小组．为了不伤害鱼类，他们无法将池中的锦鲤全部捞出清点，于是决定利用数学课上学过的知识进行估算． 【项目任务】 任务一：模型建构 （1）小衢查阅了资料，发现了“标记重捕法”公式．小嘉认为，该方案的核心统计学思想是：在样本足够大且混合均匀的情况下，利用样本的______来估计总体的相应指标． 任务二：数据收集与分析 同学们按照计划开始实验：小衢先从生态池中随机捞出120条锦鲤，在它们身上做上不伤害身体的绿色生态标记，然后全部放回池中．几天后，待标记的锦鲤在池中充分搅拌、混合均匀后，小嘉进行了三次抽样调查（每次捞出清点后均重新放回池中），并与小衢一起记录、计算，制成了如下表格： 抽样次序 捞出锦鲤总数（条） 带有标记的锦鲤数（条） 本次抽样估算的锦鲤总数（条） 第一次 200 8 a 第二次 （数据未显示） （数据未显示） 2600 第三次 220 12 b （2）请直接写出任务一中横线上的内容，并计算表格中a和b的值； （3）为了使最终的估算结果更具代表性，减小随机误差，请你帮小衢和小嘉计算出该校园生态池内锦鲤总数的最终合理估算值． 任务三：项目应用与决策 （4）学校生态池的运营标准规定：为了维持水体生态平衡，该池塘内的锦鲤总数应保持在2800条．若低于这个数量，需要及时补充鱼苗．已知花鸟市场售卖的锦鲤鱼苗为“每袋100条”． 请根据任务二中计算出的最终合理估算值做出决策：目前生态池是否需要补充锦鲤？如果需要，最少需要采购多少袋锦鲤鱼苗？ 【答案】（1） 频率 （2） ， （3） 条 （4） 需要补充锦鲤，最少需要采购袋 【解析】 【分析】（1）利用样本频率估计总体即可； （2）根据标记重捕法的比例关系列方程求解和； （3）计算三次估算值的平均数，减小随机误差得到最终估算值； （4）比较估算值与标准值，计算所需补充鱼苗的袋数，得到决策结果. 【小问1详解】 频率； 【小问2详解】 解：由题意， ， 解得； 解得； 【小问3详解】 解：为减小随机误差，取三次估算结果的平均数作为最终估算值：（条）；  【小问4详解】 解：∵运营标准要求锦鲤总数应保持为2800条，， ∴需要补充锦鲤； 需要补充的锦鲤数量为（条） 每袋有锦鲤鱼苗100条，需要采购的袋数为（袋）； 答：目前生态池需要补充锦鲤，最少需要采购2袋锦鲤鱼苗. 22. 在一次数学思维拓展课上，小绍和小台对一道几何题进行了合作探究．已知：如图，四边形 的两条对角线，相交于点P，且满足． （1）基础尝试：小绍通过观察图形，提出这两个三角形相似．请你帮小绍指出哪两个三角形相似，并写出证明过程． （2）拓展计算：小台在小绍证明的基础上，添加了特殊条件：若对角线，且测得 ， ，． ①请你求出线段的长； ②请你求出的面积． 【答案】（1）解： 证明：∵，， ∴ （2）①10；②33 【解析】 【分析】（1），根据，可证明； （2）①由可求出，从而可求出的长； ② 求出，运用三角形面积公式可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵ ， ，， ∴， ∴， ∴； ②∵，，，且是中边上的高， ∴． 23. 已知二次函数（a为常数且） （1）求该二次函数图像的对称轴；若该函数图像经过点，求a的值； （2）若，当时，该函数的最大值为8，求a的值； （3）在（2）的条件下，设点和点都在该二次函数的图像上，且在（其中）的范围内，求的最大值． 【答案】（1） 对称轴为直线， （2） （3） 的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，待定系数法求出的值即可； （2）根据二次函数的增减性，根据最大值，列出方程进行求解即可； （3）根据增减性，将转化为二次函数求最值即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 当该函数图像经过点时，则，解得； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴在对称轴的右侧， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值最大为， ∴的最大值， 设， 则该函数开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为， 故的最大值为. 24. 如图，在矩形中，．点是边上的一动点，将沿折叠，点落在点处． （1）若，当落在对角线上时，求的长； （2）若，连接．若为等腰三角形，求所有符合条件的的长； （3）若，在点运动的过程中，线段的中点为．求当的面积取得最大值时，点到点的距离，同时探讨能否为，若可以，请求出此时的长；若不可以，请说明理由． 【答案】（1） （2）或或或 （3）当的面积取得最大值时，；可以为，此时 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可计算出，由折叠的性质可得，，，则．容易证明，计算得，因此； （2）分三类讨论，当时，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，利用，结合勾股定理构造方程组，可以求出与的值．在中，利用勾股定理构造方程，解得，将与的值代入即可；当时，容易得到，则，从而求出与的值，代入的表达式即可；当时，容易证明，从而求出与的值，代入的表达式即可； （3）先分析面积最大的情况，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，，则，，利用可计算得，进而得到．利用三角形面积公式可得．则，利用分组分解法可得，因此当时，取得最大值，容易计算得此时；再分析能否为，假设，容易证明，则，在中，利用勾股定理构造方程，解得，因此． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， 在中，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在中，， ∴， 联立①与②，得， ， 解得或， 在中，，， ∵， ∴， 化简，得， ∵， ∴， 当时，， 当时，； ②当时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由①可知，， ∴； ③当时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在中，， ∴， 由①可知，， ∴； 综上所述，符合条件的的长为或或或； 【小问3详解】 解：先探究面积最大的情况， ①当点在矩形的内部或边界时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 变形，得， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 当且仅当时，取得最大值； ②当点在矩形的外部时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，，则，， 同理①可得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 变形，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当且仅当时，取得最大值； 如图， 当时，， ∴，即点落在边上， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，； 再探究的情况， 假设可以等于，如图，连接，设，则， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴假设成立，当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省2026年初中学业水平考试 数 学 考生须知： 1．本卷共5页，考试时间120分钟，满分120分． 2．本卷所有的答案都必须用0．5mm黑色签字笔写在答题卡的对应区域上，写在试卷、草稿纸上均无效． 3．本试卷中“连结”和“连接”同义． 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，总分30分．请从每题所给的四个选项中选出唯一正确的选项，多选、错选、不选均不给分． 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 对于多项式，这个多项式的次数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 2025年，杭州市出口额6469亿元，增长，增速高于全国、全省个百分点．其中6469亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小杭随意画了一个三角形，其中互为同旁内角的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 四根木棒的长度分别为 ， ， ， ．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，能够组成三角形的概率是（ ） A. B. 1 C. D. 6. 如图用长方形和正方形木板作盒子的侧面和底面，做成竖式和横式两种无盖箱子．现在仓库里有m块正方形木板和n块长方形木板，问：两种箱子各做多少个，恰好将库存的木板用完，假设竖式纸盒做了x个，横式纸盒y个．本题的方程列式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术》中提到了割圆术，其本质上可以用来估算的近似值，如图，现在在半径为R的圆内有一n边正多边形，则可以精确表示为（ ） A. B. C. D. 8. 在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 9. 如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 10. 如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，总分18分 11. ______． 12. 在方程中，小金解得，则______． 13. 如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 14. 如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 15. 阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 16. 如图，四边形内接于圆，对角线和相交于点E．已知，．若对角线被交点E分成的线段满足，则边的长为______． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 化简求值：，其中x的值为的解． 18. 解不等式组，并写出其整数解：． 19. 印度数学家婆罗摩笈多曾提出过一类有趣的方程问题：求双曲型二元二次方程的整数解．例如求方程的正整数解． 设x，y为正整数，将方程两边同时加上4，得． 利用分组分解法因式分解得：． 因为5是质数，在整数范围内可分解为或 当且，可以解得，（舍去） 当且，可以解得， 当且，可以解得， 综上所述该方程的正整数解为：或者． （1）上面的解决过程中，为何将，舍去？请说明理由； （2）请你仿照上面的方法，求方程的整数解． 20. 已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． （1）给出 的证明； （2）若，求的度数． 21. 【项目名称】校园生态池鱼群数量的调查与决策 【项目背景】在“建设美丽浙江”的活动中，某校开展了“校园绿化与生态平衡”的项目化学习．小衢和小嘉两位同学加入了一个关于“校园生态池内锦鲤数量调查”的小组．为了不伤害鱼类，他们无法将池中的锦鲤全部捞出清点，于是决定利用数学课上学过的知识进行估算． 【项目任务】 任务一：模型建构 （1）小衢查阅了资料，发现了“标记重捕法”公式．小嘉认为，该方案的核心统计学思想是：在样本足够大且混合均匀的情况下，利用样本的______来估计总体的相应指标． 任务二：数据收集与分析 同学们按照计划开始实验：小衢先从生态池中随机捞出120条锦鲤，在它们身上做上不伤害身体的绿色生态标记，然后全部放回池中．几天后，待标记的锦鲤在池中充分搅拌、混合均匀后，小嘉进行了三次抽样调查（每次捞出清点后均重新放回池中），并与小衢一起记录、计算，制成了如下表格： 抽样次序 捞出锦鲤总数（条） 带有标记的锦鲤数（条） 本次抽样估算的锦鲤总数（条） 第一次 200 8 a 第二次 （数据未显示） （数据未显示） 2600 第三次 220 12 b （2）请直接写出任务一中横线上的内容，并计算表格中a和b的值； （3）为了使最终的估算结果更具代表性，减小随机误差，请你帮小衢和小嘉计算出该校园生态池内锦鲤总数的最终合理估算值． 任务三：项目应用与决策 （4）学校生态池的运营标准规定：为了维持水体生态平衡，该池塘内的锦鲤总数应保持在2800条．若低于这个数量，需要及时补充鱼苗．已知花鸟市场售卖的锦鲤鱼苗为“每袋100条”． 请根据任务二中计算出的最终合理估算值做出决策：目前生态池是否需要补充锦鲤？如果需要，最少需要采购多少袋锦鲤鱼苗？ 22. 在一次数学思维拓展课上，小绍和小台对一道几何题进行了合作探究．已知：如图，四边形 的两条对角线，相交于点P，且满足． （1）基础尝试：小绍通过观察图形，提出这两个三角形相似．请你帮小绍指出哪两个三角形相似，并写出证明过程． （2）拓展计算：小台在小绍证明的基础上，添加了特殊条件：若对角线，且测得 ， ，． ①请你求出线段的长； ②请你求出的面积． 23. 已知二次函数（a为常数且） （1）求该二次函数图像的对称轴；若该函数图像经过点，求a的值； （2）若，当时，该函数的最大值为8，求a的值； （3）在（2）的条件下，设点和点都在该二次函数的图像上，且在（其中）的范围内，求的最大值． 24. 如图，在矩形中，．点是边上的一动点，将沿折叠，点落在点处． （1）若，当落在对角线上时，求的长； （2）若，连接．若为等腰三角形，求所有符合条件的的长； （3）若，在点运动的过程中，线段的中点为．求当的面积取得最大值时，点到点的距离，同时探讨能否为，若可以，请求出此时的长；若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $