4.3用一元一次方程解决问题预习讲义 2026年暑假苏科版六升七数学新生预习手册16

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册16 《第4章一元一次方程第3节用一元一次方程解决问题》预习讲义 一．预习目标 ( 1.熟记用一元一次方程解决实际问题的完整步骤：设、找、列、解、验、答；掌握配套、年龄、销售利润、行程、工程、几何、规律图形、鸡兔同笼八大类应用题的等量关系；学会用线形示意图、表格梳理复杂题目中的数量关系，规范书写解题格式。 2.对比算术法与方程法，体会方程顺向思维简化复杂应用题的优势；掌握直接设元、间接设元两种设未知数技巧，能从文字中提取隐藏等量关系。 3.求解后能检验解的实际意义（人数、时间、物品数量必须为正整数）；结合江苏本地考题情境建立数学模型，提升建模、逻辑推理与规范答题能力。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.找准题目中的等量关系，规范列出一元一次方程； 2.八大基础题型固定等量关系式，能快速套用模型列式； 3.利用线形图、表格转化文字信息，规范完整书写应用题解题步骤。 （二） 难点 1.多阶段、分段类问题（分段计费、先做后合作工程、追及先行问题）中梳理隐藏等量； 2.配套比例、环形行程、增长率问题中避免倍数、比例颠倒的易错陷阱； 3.解后检验，区分数学解与符合现实意义的实际解（如图形棋子数量不能为分数）。 ) 三．自主探究 （一）核心解题流程（课本标准6步法） 1.设：设未知数（分为两种） （1）直接设元：问什么设什么（大部分基础题）； （2）间接设元：题目所求不便直接列式，先设中间量（比例、环形行程题常用）； ⚠️ 注意：未知数必须带单位。 2.找：寻找等量关系（解题核心） 常用工具：线形示意图、表格，把文字转化为可视化数量关系；等量关系分为显性（“等于、是…的几倍、和为、差为”）、隐性（路程相等、总工作量为1、年龄差不变）。 3.列：根据等量关系列出一元一次方程； ⚠️ 统一单位：速度km/h与分钟、价格元、长度米等单位要统一。 4.解：按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程。 5.验：两层检验 ① 代入方程，检验等式左右两边相等； ② 检验数值符合现实：人数、套数、天数不能是负数、分数。 6.答：完整写出答案，带上对应单位，与问题提问对应。 （二）八大题型等量关系模板（结合教材例题） 1.配套用料问题（紫砂茶具例题） 下图中的一套紫砂壶茶具包括1把茶壶和6只茶杯。做1把茶壶需要0.6kg的泥料，做1只茶杯需要0.15kg的泥料。10.5kg泥料可以做几套这样的茶具? 【归纳】 （1）1套茶具=1壶+6只茶杯 （2）等量关系：茶壶总用料 + 茶杯总用料 = 全部泥料 （3）若做x套：单壶用料·x + 6·单杯用料·x=总原料 2. 年龄问题（小明、王老师例题） 今年小明13岁，王老师45岁。再过几年小明年龄是王老师年龄的三分之一? 【归纳】 （1）核心：两人年龄差永久不变；x年后两人年龄同时增加x （2）等量关系：若干年后较小者年龄=若干年后年长人年龄×倍数 3.销售利润打折问题（羽绒服例题） 一件羽绒服的标价为进价的1.5倍，在促销活动中以8折出售，获利96元。这件羽绒服的进价是多少元? 【归纳】 （1）标价=进价×倍数；售价=标价×折扣（8折即×0.8） （2）利润=售价−进价；利润率=×100% （3）等量关系：售价−进价=获利金额 4.行程问题（小明小亮追及例题） 小明、小亮相约从学校去博物馆，小明以5km/h的速度步行0.5h后，小亮骑自行车以15km/h的速度度沿同路线出发。小亮出发多久后可以追上小明? 【归纳】 基础公式：路程=速度×时间 ① 追及问题：先行者全部路程 = 后行者行驶路程； ② 环形同向追及：快者路程 − 慢者路程 = 环形周长； ③ 相向相遇：两人路程之和 = 总路程。 5. 工程问题（数据处理例题） 用计算机处理一批数据，甲单独做需18h完成，乙单独做需12h完成。现在先由甲单独做8h，剩下的部分由甲、乙合做完成，甲、乙两人合做了多长时间? 【归纳】 （1）把全部工作总量看作单位“1”，单人工作效率 = （2）等量关系：单独完成工作量 + 合作完成工作量 = 总工作量1 6.几何角度（三角形内角例题） 已知三角形三个角的度数之比为2:3:5，判断这个三角形的形状。 【归纳】 （1）三角形：内角和180°，按比例设2x、3x、5x； （2）等量关系：图形面积/内角和公式列等式。 7. 规律图形问题（黑白棋子） 用黑白两色棋子按图的方式摆图形，依此规律，图形中黑色棋子的个数有可能是50吗? 【归纳】 （1）先推导第m个图形的物品数量通项公式； （2）等量关系：通项=给定总数，求解后检验m是否为正整数。 8. 鸡兔同笼古算问题 今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何? 【归纳】 （1）总头数=鸡数量+兔数量； （2）总足数=鸡只数×2+兔只数×4。 四．经典例题 例1.（2024秋·盐城阜宁期末） 一套紫砂茶具含1把茶壶、6只茶杯，茶壶单套用料0.6kg，茶杯单只0.15kg，现有10.5kg泥料，设能做x套茶具，方程正确的是（ ） A. 0.6x+0.15x=10.5 B. 0.6x+6×0.15x=10.5 C. 0.6+6×0.15x=10.5 D. 0.6x+0.15(x+6)=10.5 例2.（2025秋·扬州邗江期末） 小明今年13岁，王老师45岁，设再过x年小明年龄是王老师的，方程是（ ） A. 13+x=×45 B. 13=(45+x) C. 13+x=(45+x) D. 3(13+x)=45 例3.（2024秋·南京秦淮期末） 羽绒服标价为进价1.5倍，8折销售获利96元，设进价x元，方程为（ ） A. 1.5x×0.8-x=96 B. 1.5x-0.8x=96 C. 1.5×0.8x=96 D. 1.5x×0.8+x=96 例4.（2026·苏州吴中一模） 小明步行速度5km/h，先走0.5h，小亮骑车15km/h同路追赶，设小亮出发xh追上，方程正确的是（ ） A. 15x=5×0.5 B. 15x=5×0.5+5x C. 15x+5x=5×0.5 D. 15(x+0.5)=5x 例5.（2024秋·淮安清江浦期末） 三角形三个内角比2:3:5，设三角度为2x、3x、5x，由内角和列方程2x+3x+5x=180，解得x=______，三角形类型为______。 例6.（2025秋·南通通州期末） 黑白棋子规律：第m个图形黑棋子数量为3m+1，若黑棋子共50个，解方程3m+1=50得m=，因此黑棋子个数______（填“可能/不可能”）为50。 例7.（2024秋·泰州姜堰期末） 鸡兔同笼共35个头，94只脚，设鸡有x只，则兔(35-x)只，列方程：________。 例8.（2026·盐城亭湖二模） 甲单独处理数据18h完成，乙单独12h完成，甲先做8h，剩余甲乙合作xh，总工作量记为1，方程：________。 例9.（2024秋·盐城阜宁期末·销售利润应用题）一件自行车进价360元，按标价9折销售时利润率为15%。 (1) 求这辆自行车的标价； (2) 若商家在9折基础上再降价15元促销，卖出一辆可获利多少元？ 例10.（2026·苏州吴中一模·环形追及行程题）环形步道周长400m，小红跑步速度是爷爷的倍，两人从同一起点同向同时出发，5分钟后小红第一次追上爷爷。 (1) 求爷爷、小红每分钟的跑步速度； (2) 若两人从同一点反向同时出发，多久第一次相遇？ 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024秋·宿迁宿豫期末） 梯形面积120，上底12，高8，设下底x，方程正确的是（ ） A. B. (12+x)×8=120 C. 12+8x=120 D. =120 2.（2025秋·徐州云龙期末） 七层宝塔，下一层灯数是上一层2倍，共381盏，设顶层x盏，方程是（） A. x+2x+3x+4x+5x+6x+7x=381 B. x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381 C. 7×2x=381 D. x+7×2x=381 3.（2024秋·无锡锡山期末） 搭小鱼：1条用8根火柴，每多1条增加6根，n条小鱼火柴总数代数式为（ ） A. 6n+2 B. 8n C. 6n+8 D. 8n-6 4.（2025秋·常州武进期末） 印刷厂原计划每天印15万册，实际每天20万册，提前4天完成，设总任务x万册，方程为（ ） A. -=4 B. -=4 C. 15x-20x=4 D. +=4 5.（2024秋·盐城盐都期末） 计算程序：输入→减2→×4→+1，输出25，设输入x，方程是（ ） A. 4(x-2)+1=25 B. 4x-2+1=25 C. 4(x-2+1)=25 D. 4x-(2+1)=25 6.（2025秋·扬州广陵期末） 今年爸爸年龄是小丽3倍，5年后两人年龄和58，设小丽今年x岁，方程为（ ） A. 3x+5+x+5=58 B. 3x+x=58 C. 3(x+5)+x=58 D. 3x+5+x=58 7.（2024秋·泰州海陵期末） 合唱组27人，舞蹈组19人，新增20人后合唱人数是舞蹈2倍，设合唱新增x人，方程为（） A. 27+x=2[19+(20-x)] B. 27+27=2(19+x) C. 27+x=2×19+20-x D. 2(27+x)=19+20-x 8.（2025秋·南通崇川期末） 野鸭南海到北海7天，大雁北海到南海9天，同时起飞，x天相遇，总路程记1，方程为（ ） A. +=1 B. 7x+9x=1 C. -=1 D. -=1 （二）填空题 9.（2024秋·淮安涟水期末） 200m赛跑，前段速度6m/s，冲刺8m/s，总用时30s，设冲刺用时x秒，方程：________。 10.（2025秋·宿迁沭阳期末） 甲单独铺水管10天，乙15天，两队同时施工2天，剩余乙单独完成，设乙还需x天，方程：________。 11.（2024秋·镇江扬中期末） 3个面包+1盒4.8元牛奶，付20元找回3.8元，设面包单价x元，方程：________。 12.（2025秋·徐州沛县期末） 小明比爸爸小26岁，爸爸年龄是小明3倍，设小明x岁，方程：________。 13.（2024秋·无锡宜兴期末） 甲乙仓库共60t蔬菜，甲运进14t，乙运出10t后库存相等，设甲原有xt，方程：________。 14.（2025秋·常州溧阳期末） 航模小组女生占总人数一半，增加6名女生后女生占，设原有x人，方程：________。 15.（2024秋·盐城大丰期末） 今年七年级入学352人，比去年增加10%，设去年x人，方程：________。 16.（2025秋·苏州张家港期末） 解方程13+x=(45+x)，解得x=______。 （三）解答题 17.（2024秋·扬州宝应期末·分段水费计费）本地自来水分段收费标准：每月用水量≤10吨，单价3元/吨；用水量超过10吨，超出部分单价4元/吨。 (1) 小明家本月用水8吨，应交水费多少元？ (2) 小红家本月用水15吨，应交水费多少元？ (3) 小刚家本月缴纳水费46元，求他家本月用水量。 18.（2025秋·连云港东海期末·分配配套问题） 美术剪纸小组分发彩纸：若每人剪10张作品，剩余6张彩纸；若每人剪12张作品，缺少6张彩纸。 (1) 设小组有x人，用含x的代数式分别表示两种分配方式下彩纸总数量； (2) 列方程求出剪纸小组总人数； (3) 计算彩纸一共有多少张。 19.（2024秋·镇江扬中期末·相向行程相遇）甲乙两地全程480km，慢车从甲地出发速度60km/h，快车从乙地出发速度100km/h，两车同时相向开出。 (1) 出发多久后两车相遇？ (2) 相遇时快车一共行驶了多少千米？ 20.（2025秋·宿迁泗阳期末·梯形几何应用题）已知梯形面积为120，上底长12，高为8。 (1) 设梯形下底长为x，根据梯形面积公式列出方程； (2) 求出梯形下底的长度； (3) 若用该梯形的上下底之和与高之和作为长方形周长，长方形长为12，求长方形宽。 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·南京玄武一模） 商品进价180元，8折出售获利24元，标价x元，方程（ ） A. 0.8x-180=24 B. 0.8x=180-24 C. 8x-180=24 D. x-0.8x=24 2.（2024秋·盐城射阳期末） 甲乙两地480km，慢车60km/h、快车100km/h相向出发，x小时相遇，方程（ ） A. 60x+100x=480 B. 100x-60x=480 C. 60+100x=480 D. 60x+100=480 3.（2025秋·苏州相城期末） 两位数，十位数字a，个位比十位大3，该两位数表示为（ ） A. a+a+3 B. 10a+a+3 C. 10(a+a+3) D. 10a+3 4.（2026·南通海门二模） 河道总长1800米，甲乙两队整治总时长80天，甲每天30m，乙每天18m，设甲整治x米，方程（ ） A. +=80 B. 30x+18(80-x)=1800 C. +=80 D. 30x+18x=1800 5.（2024秋·泰州兴化期末） 1个盒身配2个盒底，每张铁皮做12个盒身或24个盒底，用x张做盒身，等量方程（总铁皮固定）（ ） A. 2×12x=24(总张数-x) B. 12x=2×24(总张数-x) C. 12x+24x=总铁皮 D. 12x=24(总张数-x) 6.（2025秋·宿迁泗洪期末） 球赛积分：胜3分、平1分、负0分，10场得22分，胜场是平场3倍，设平x场，方程（ ） A. 3×3x+x=22 B. 3x+3x=22 C. 3(10-x)+x=22 D. 3x+x=22 7.（2026·扬州江都一模） 数轴A点-10，B点20，P从A以2单位/秒右行，Q从B以1单位/秒左行，t秒相遇，方程（ ） A. 2t+t=30 B. 2t-t=30 C. -10+2t=20+t D. 2t=20+t 8.（2024秋·淮安洪泽期末） 日历竖列相邻三日期，中间数x，上下两数为（ ） A. x-7,x+7 B. x-1,x+1 C. x-6,x+6 D. x-5,x+5 9.（2025秋·镇江丹阳期末） 长方形周长60，长比宽多8，设宽x，方程（ ） A. 2(x+x+8)=60 B. x+x+8=60 C. 2x+x+8=60 D. x(x+8)=60 10.（2026·徐州贾汪二模） 工程甲单独20天，乙30天，甲先做5天，再合作x天完成，正确方程（ ） A. +(+)x=1 B. +=1 C. A、B都对 D. A、B都错 （二）填空题 11.（2024秋·无锡惠山期末） 商品标价500元，7折出售仍获利50元，进价______元。 12.（2025秋·常州金坛期末） 父子年龄和50，5年后父亲年龄是儿子4倍，儿子今年__岁。 13.（2026·盐城滨海一模） 环形跑道400m，甲6m/s、乙4m/s同向出发，__秒第一次追上。 14.（2024秋·南通海门期末） 甲乙合作工程12天完成，甲单独20天，乙单独____天完工。 15.（2025秋·泰州高港期末） 三个连续奇数和69，中间数为______。 16.（2026·宿迁泗阳二模） 某数3倍减5等于该数加9，这个数是______。 17.（2024秋·连云港灌云期末） 长方形长是宽2倍，周长72，面积______。 18.（2025秋·苏州昆山期末） 打印稿件，每分钟30字提前10分钟，每分钟20字超时6分钟，稿件共______字。 19.（2026·南京浦口一模） 鸡兔同笼50头，140足，兔______只。 20.（2024秋·扬州仪征期末） 解方程+(+)x=1，x=______。 （三）解答题 21．规定：用{m}表示大于m的最小整数，例如{}＝2，{4}＝5，{﹣1.5}＝﹣1等；用[m]表示不大于m的最大整数，例如[]＝3，[2]＝2，[﹣3.2]＝﹣4． （1）{2.4}+[﹣8]＝　 　； （2）如果整数x满足关系式：3{x}+2[x]＝18，则x＝　 　． 22.（2026·盐城阜宁三模·购物方案选择）商场推出两种促销方案：方案一全场商品统一9折；方案二每满100元赠送20元代金券，代金券可当场抵扣货款。 (1) 采购标价合计600元的商品，选择方案一实际应付多少钱？ (2) 采购标价合计600元的商品，选择方案二实际支付多少钱？ (3) 若采购标价800元的商品，对比两种方案，哪种更省钱？ 23.（2024秋·镇江句容期末·步行追及行程）甲乙两人从同一地点出发，甲步行速度4km/h，先走1.5小时后，乙骑自行车以10km/h同路线追赶甲。 (1) 乙出发多久后能追上甲？ (2) 追上时两人距离出发点有多远？ (3) 若乙想在1小时内追上甲，骑车速度至少需要达到多少km/h？ 24．某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 25．在一个装有进水管和出水管的容器里，请根据图中提供的信息解答问题：      (1)出水管每分钟出水多少升？ (2)从进水管开始进水到出水管全部排完水，需用多长时间？ 26.我市某个批发市场出售A、B两种商品并开展优惠促销活动,其中A商品标价为每件90元,B商品标价为每件100元.活动方式如下两种: 活动一:A商品每件7折;B商品每件八五折; 活动二:所购商品累计少于100件没有优惠,达到或超过100件全部八折.两个活动不能同时参加. (1)某客户购买A商品30件,B商品100件,选择哪种活动便宜?能便宜多少钱? (2)某客户购买A商品x件(x为正整数),购买B商品的件数比A商品件数的2倍多4. ①B商品购买了　　　　件(用含x的代数式表示);  ②问:该客户如何选择才能获得最大优惠?请说明理由. 27．点A，B，C为数轴上的三点，如果点C在点A，B之间，且到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇妙点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇妙点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇妙点，但点D是{B，A}的奇妙点． （1）点A表示的数为1，点B表示的数为2，点C表示的数为5，B是否为{C，A}的奇妙点？请说明理由。 （2）如图2，M，N为数轴上的两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为6．表示数　 　的点是{M，N}的奇妙点；表示数　 　的点是{N，M}的奇妙点； （3）如图3，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为﹣10，点B所表示的数为50．现有一动点P从点A出发向右运动，点P运动到数轴上的什么位置时，B为其余两点的奇妙点？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册16 《第4章一元一次方程第3节用一元一次方程解决问题》预习讲义 一．预习目标 ( 1.熟记用一元一次方程解决实际问题的完整步骤：设、找、列、解、验、答；掌握配套、年龄、销售利润、行程、工程、几何、规律图形、鸡兔同笼八大类应用题的等量关系；学会用线形示意图、表格梳理复杂题目中的数量关系，规范书写解题格式。 2.对比算术法与方程法，体会方程顺向思维简化复杂应用题的优势；掌握直接设元、间接设元两种设未知数技巧，能从文字中提取隐藏等量关系。 3.求解后能检验解的实际意义（人数、时间、物品数量必须为正整数）；结合江苏本地考题情境建立数学模型，提升建模、逻辑推理与规范答题能力。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.找准题目中的等量关系，规范列出一元一次方程； 2.八大基础题型固定等量关系式，能快速套用模型列式； 3.利用线形图、表格转化文字信息，规范完整书写应用题解题步骤。 （二） 难点 1.多阶段、分段类问题（分段计费、先做后合作工程、追及先行问题）中梳理隐藏等量； 2.配套比例、环形行程、增长率问题中避免倍数、比例颠倒的易错陷阱； 3.解后检验，区分数学解与符合现实意义的实际解（如图形棋子数量不能为分数）。 ) 三．自主探究 （一）核心解题流程（课本标准6步法） 1.设：设未知数（分为两种） （1）直接设元：问什么设什么（大部分基础题）； （2）间接设元：题目所求不便直接列式，先设中间量（比例、环形行程题常用）； ⚠️ 注意：未知数必须带单位。 2.找：寻找等量关系（解题核心） 常用工具：线形示意图、表格，把文字转化为可视化数量关系；等量关系分为显性（“等于、是…的几倍、和为、差为”）、隐性（路程相等、总工作量为1、年龄差不变）。 3.列：根据等量关系列出一元一次方程； ⚠️ 统一单位：速度km/h与分钟、价格元、长度米等单位要统一。 4.解：按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程。 5.验：两层检验 ① 代入方程，检验等式左右两边相等； ② 检验数值符合现实：人数、套数、天数不能是负数、分数。 6.答：完整写出答案，带上对应单位，与问题提问对应。 （二）八大题型等量关系模板（结合教材例题） 1.配套用料问题（紫砂茶具例题） 下图中的一套紫砂壶茶具包括1把茶壶和6只茶杯。做1把茶壶需要0.6kg的泥料，做1只茶杯需要0.15kg的泥料。10.5kg泥料可以做几套这样的茶具? 解：设可做x套茶具，根据题意，得0.6x+6×0.15x=10.5，解这个方程，得 x=7.答:可以做7套茶具。 【归纳】 （1）1套茶具=1壶+6只茶杯 （2）等量关系：茶壶总用料 + 茶杯总用料 = 全部泥料 （3）若做x套：单壶用料·x + 6·单杯用料·x=总原料 2. 年龄问题（小明、王老师例题） 今年小明13岁，王老师45岁。再过几年小明年龄是王老师年龄的三分之一? 解：设若干年后小明年龄一若干年后王老师年龄X可设再过x年小明年龄是王老师年龄的三分之一。根据题意，得13+x=(45+x)。解这个方程，得x=3。 答:3年后小明年龄是王老师年龄的三分之一。 【归纳】 （1）核心：两人年龄差永久不变；x年后两人年龄同时增加x （2）等量关系：若干年后较小者年龄=若干年后年长人年龄×倍数 3.销售利润打折问题（羽绒服例题） 一件羽绒服的标价为进价的1.5倍，在促销活动中以8折出售，获利96元。这件羽绒服的进价是多少元? 解：设这件羽绒服的进价是x元。根据题意，得1.5×80% -x = 96.解这个方程，得x=480. 答:这件羽绒服的进价是480元。 【归纳】 （1）标价=进价×倍数；售价=标价×折扣（8折即×0.8） （2）利润=售价−进价；利润率=×100% （3）等量关系：售价−进价=获利金额 4.行程问题（小明小亮追及例题） 小明、小亮相约从学校去博物馆，小明以5km/h的速度步行0.5h后，小亮骑自行车以15km/h的速度度沿同路线出发。小亮出发多久后可以追上小明? 解：设小亮出发xh后追上小明，根据题意画出如图所示的线形示意图: 根据题意，得5×0.5+5x=15x.解这个方程，得x=0.25. 答:小亮出发0.25h后追上小明。 【归纳】 基础公式：路程=速度×时间 ① 追及问题：先行者全部路程 = 后行者行驶路程； ② 环形同向追及：快者路程 − 慢者路程 = 环形周长； ③ 相向相遇：两人路程之和 = 总路程。 5. 工程问题（数据处理例题） 用计算机处理一批数据，甲单独做需18h完成，乙单独做需12h完成。现在先由甲单独做8h，剩下的部分由甲、乙合做完成，甲、乙两人合做了多长时间? 解：设甲、乙两人合做了xh。根据题意，得+(+)x=1，解这个方程，得x=4. 答:甲、乙两人合做了4h。 【归纳】 （1）把全部工作总量看作单位“1”，单人工作效率 = （2）等量关系：单独完成工作量 + 合作完成工作量 = 总工作量1 6.几何角度（三角形内角例题） 已知三角形三个角的度数之比为2:3:5，判断这个三角形的形状。 解：设三角形三个角的大小分别为2x，3x，5x，根据题意，得2x+3x+5x=180° 解这个方程，得x=18°,所以2x=36°+3x=56°,5x=90°,所以三角形三个角的大小分别为36°，54，90，答:这个三角形是直角三角形。 【归纳】 （1）三角形：内角和180°，按比例设2x、3x、5x； （2）等量关系：图形面积/内角和公式列等式。 7. 规律图形问题（黑白棋子） 用黑白两色棋子按图的方式摆图形，依此规律，图形中黑色棋子的个数有可能是50吗? 解：设第m个图形中有黑色棋子50个，根题题意，得3m+1=50,解这个方程，得m= m不是整数，不符合题意。答:图形中黑色棋子的个数不可能是50 【归纳】 （1）先推导第m个图形的物品数量通项公式； （2）等量关系：通项=给定总数，求解后检验m是否为正整数。 8. 鸡兔同笼古算问题 今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何? 解：设鸡有x只。根据题意，得2x+4(35-x)=94。解这个方程，得x=23，35-x=12. 答:鸡有23只，免有12只。 【归纳】 （1）总头数=鸡数量+兔数量； （2）总足数=鸡只数×2+兔只数×4。 四．经典例题 例1.（2024秋·盐城阜宁期末） 一套紫砂茶具含1把茶壶、6只茶杯，茶壶单套用料0.6kg，茶杯单只0.15kg，现有10.5kg泥料，设能做x套茶具，方程正确的是（ ） A. 0.6x+0.15x=10.5 B. 0.6x+6×0.15x=10.5 C. 0.6+6×0.15x=10.5 D. 0.6x+0.15(x+6)=10.5 【答案】：B 【解析】：每套茶具含6个茶杯，x套茶壶总用料0.6x，茶杯总用料6×0.15x，两者相加等于总泥料，对应B选项。 例2.（2025秋·扬州邗江期末） 小明今年13岁，王老师45岁，设再过x年小明年龄是王老师的，方程是（ ） A. 13+x=×45 B. 13=(45+x) C. 13+x=(45+x) D. 3(13+x)=45 【答案】：C 【解析】：x年后小明年龄13+x，王老师年龄45+x，等量关系：小明年龄=王老师年龄×。 例3.（2024秋·南京秦淮期末） 羽绒服标价为进价1.5倍，8折销售获利96元，设进价x元，方程为（ ） A. 1.5x×0.8-x=96 B. 1.5x-0.8x=96 C. 1.5×0.8x=96 D. 1.5x×0.8+x=96 【答案】：A 【解析】：标价1.5x，8折售价1.5x×0.8，利润公式：利润=售价-进价，代入得对应方程。 例4.（2026·苏州吴中一模） 小明步行速度5km/h，先走0.5h，小亮骑车15km/h同路追赶，设小亮出发xh追上，方程正确的是（ ） A. 15x=5×0.5 B. 15x=5×0.5+5x C. 15x+5x=5×0.5 D. 15(x+0.5)=5x 【答案】：B 【解析】：追上时两人路程相等，小明总路程=先行0.5h路程+x小时步行路程，小亮路程15x。根据题意，得15x=5×0.5+5x 。 例5.（2024秋·淮安清江浦期末） 三角形三个内角比2:3:5，设三角度为2x、3x、5x，由内角和列方程2x+3x+5x=180，解得x=______，三角形类型为______。 【答案】：18；直角三角形 【解析】：合并同类项得10x=180，x=18，最大角5×18=90o，故为直角三角形。 例6.（2025秋·南通通州期末） 黑白棋子规律：第m个图形黑棋子数量为3m+1，若黑棋子共50个，解方程3m+1=50得m=，因此黑棋子个数______（填“可能/不可能”）为50。 【答案】：不可能 【解析】：图形序号m必须是正整数，不是整数，不符合现实意义。 例7.（2024秋·泰州姜堰期末） 鸡兔同笼共35个头，94只脚，设鸡有x只，则兔(35-x)只，列方程：________。 【答案】：2x+4(35-x)=94 【解析】：鸡单只2条腿，兔单只4条腿，总脚数=鸡总脚数+兔总脚数。 例8.（2026·盐城亭湖二模） 甲单独处理数据18h完成，乙单独12h完成，甲先做8h，剩余甲乙合作xh，总工作量记为1，方程：________。 【答案】：+(+)x=1 【解析】：甲8小时工作量，合作效率+，两段工作量相加等于全部工作1。 例9.（2024秋·盐城阜宁期末·销售利润应用题）一件自行车进价360元，按标价9折销售时利润率为15%。 (1) 求这辆自行车的标价； (2) 若商家在9折基础上再降价15元促销，卖出一辆可获利多少元？ 解：(1) 设自行车标价为x元。利润 = 进价×利润率=360×15%=54元，售价为0.9x 根据等量关系：售价−进价=利润，0.9x-360=54，0.9x=414,x =460答：自行车标价460元。 (2) 9折售价：460×0.9=414元，促销价：414-15=399元，获利：399-360=39元，答：卖出一辆获利39元。 例10.（2026·苏州吴中一模·环形追及行程题）环形步道周长400m，小红跑步速度是爷爷的倍，两人从同一起点同向同时出发，5分钟后小红第一次追上爷爷。 (1) 求爷爷、小红每分钟的跑步速度； (2) 若两人从同一点反向同时出发，多久第一次相遇？ 解：(1) 设爷爷速度为3xm/min，小红速度为5xm/min。同向追及等量关系：快者路程 − 慢者路程=环形一圈周长，5(5x-3x)=400，10x=400,x=40，爷爷速度：3×40 = 120m/min，小红速度：5×40 = 200m/min。答：爷爷120米/分，小红200米/分。 (2) 设反向出发t分钟第一次相遇。反向相遇等量关系：两人路程之和 = 环形周长，120t+ 200t=400，320t = 400, t = 1.25答：1.25分钟后两人第一次相遇。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024秋·宿迁宿豫期末） 梯形面积120，上底12，高8，设下底x，方程正确的是（ ） A. B. (12+x)×8=120 C. 12+8x=120 D. =120 【答案】：A 【解析】：梯形面积公式S=，直接代入数值列式。 2.（2025秋·徐州云龙期末） 七层宝塔，下一层灯数是上一层2倍，共381盏，设顶层x盏，方程是（） A. x+2x+3x+4x+5x+6x+7x=381 B. x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381 C. 7×2x=381 D. x+7×2x=381 【答案】：B 【解析】：每层灯数是上一层2倍，七层依次为x,2x,4x,8x,16x,32x,64x，总和381。 3.（2024秋·无锡锡山期末） 搭小鱼：1条用8根火柴，每多1条增加6根，n条小鱼火柴总数代数式为（ ） A. 6n+2 B. 8n C. 6n+8 D. 8n-6 【答案】：A 【解析】：n=1时，6×1+2=8；n=2时，6×2+2=14，符合图形变化规律。 4.（2025秋·常州武进期末） 印刷厂原计划每天印15万册，实际每天20万册，提前4天完成，设总任务x万册，方程为（ ） A. -=4 B. -=4 C. 15x-20x=4 D. +=4 【答案】：A 【解析】：原计划天数，实际天数，计划天数-实际天数=提前4天。 5.（2024秋·盐城盐都期末） 计算程序：输入→减2→×4→+1，输出25，设输入x，方程是（ ） A. 4(x-2)+1=25 B. 4x-2+1=25 C. 4(x-2+1)=25 D. 4x-(2+1)=25 【答案】：A 【解析】：严格按照程序分步运算，先算x-2，整体乘4再加1等于输出值。 6.（2025秋·扬州广陵期末） 今年爸爸年龄是小丽3倍，5年后两人年龄和58，设小丽今年x岁，方程为（ ） A. 3x+5+x+5=58 B. 3x+x=58 C. 3(x+5)+x=58 D. 3x+5+x=58 【答案】：A 【解析】：小丽今年x，爸爸3x；5年后两人各加5，年龄相加等于58。 7.（2024秋·泰州海陵期末） 合唱组27人，舞蹈组19人，新增20人后合唱人数是舞蹈2倍，设合唱新增x人，方程为（） A. 27+x=2[19+(20-x)] B. 27+27=2(19+x) C. 27+x=2×19+20-x D. 2(27+x)=19+20-x 【答案】：A 【解析】：舞蹈新增人数为20-x，新增后合唱人数=2×新增后舞蹈人数。 8.（2025秋·南通崇川期末） 野鸭南海到北海7天，大雁北海到南海9天，同时起飞，x天相遇，总路程记1，方程为（ ） A. +=1 B. 7x+9x=1 C. -=1 D. -=1 【答案】：A 【解析】：野鸭每日效率，大雁每日效率，相遇时两者路程和为全程1。 （二）填空题 9.（2024秋·淮安涟水期末） 200m赛跑，前段速度6m/s，冲刺8m/s，总用时30s，设冲刺用时x秒，方程：________。 【答案】：8x+6(30-x)=200 【解析】：冲刺路程8x，前段路程6(30-x)，两段路程相加等于200米。 10.（2025秋·宿迁沭阳期末） 甲单独铺水管10天，乙15天，两队同时施工2天，剩余乙单独完成，设乙还需x天，方程：________。 【答案】：2(+)+=1 【解析】：合作2天工作量+乙单独x天工作量=总工程1。 11.（2024秋·镇江扬中期末） 3个面包+1盒4.8元牛奶，付20元找回3.8元，设面包单价x元，方程：________。 【答案】：3x+4.8+3.8=20 【解析】：面包总价+牛奶价格+找回零钱=付款金额20元。 12.（2025秋·徐州沛县期末） 小明比爸爸小26岁，爸爸年龄是小明3倍，设小明x岁，方程：________。 【答案】：3x-x=26 【解析】：爸爸年龄-小明年龄=固定年龄差26。 13.（2024秋·无锡宜兴期末） 甲乙仓库共60t蔬菜，甲运进14t，乙运出10t后库存相等，设甲原有xt，方程：________。 【答案】：x+14=60-x-10 【解析】：甲原有x，乙原有60-x；变化后两者库存相等。 14.（2025秋·常州溧阳期末） 航模小组女生占总人数一半，增加6名女生后女生占，设原有x人，方程：________。 【答案】：x+6=(x+6) 【解析】：原有女生x，新增后总人数x+6，女生人数占比。 15.（2024秋·盐城大丰期末） 今年七年级入学352人，比去年增加10%，设去年x人，方程：________。 【答案】：x(1+10%)=352 【解析】：去年人数×(1+增长率)=今年入学人数。 16.（2025秋·苏州张家港期末） 解方程13+x=(45+x)，解得x=______。 【答案】：3 【解析】：去分母39+3x=45+x，移项合并得2x=6，x=3。 （三）解答题 17.（2024秋·扬州宝应期末·分段水费计费）本地自来水分段收费标准：每月用水量≤10吨，单价3元/吨；用水量超过10吨，超出部分单价4元/吨。 (1) 小明家本月用水8吨，应交水费多少元？ (2) 小红家本月用水15吨，应交水费多少元？ (3) 小刚家本月缴纳水费46元，求他家本月用水量。 解：(1) 8×3 = 24元答：应交水费24元。 (2) 前10吨费用：10×3=30元，超出5吨费用：5×4=20元，总水费：30+20=50元，答：应交水费50元。 解析：分段计算，10吨以内低价，超出部分单独按高价计费，两段费用相加。 (3) 46>30，用水量超过10吨，设用水x吨。10×3+4(x-10)=46，30+4x-40=46,4x = 56,x = 14，答：本月用水14吨。 18.（2025秋·连云港东海期末·分配配套问题） 美术剪纸小组分发彩纸：若每人剪10张作品，剩余6张彩纸；若每人剪12张作品，缺少6张彩纸。 (1) 设小组有x人，用含x的代数式分别表示两种分配方式下彩纸总数量； (2) 列方程求出剪纸小组总人数； (3) 计算彩纸一共有多少张。 解：(1) 第一种分配：10x+6；第二种分配：12x-6 (2) 彩纸总量不变，列方程：10x+6=12x-6，2x=12,x=6答：小组共6人。 (3) 代入10×6+6 = 66张，答：彩纸一共66张。 19.（2024秋·镇江扬中期末·相向行程相遇）甲乙两地全程480km，慢车从甲地出发速度60km/h，快车从乙地出发速度100km/h，两车同时相向开出。 (1) 出发多久后两车相遇？ (2) 相遇时快车一共行驶了多少千米？ 解：(1) 设x小时后两车相遇。相向相遇等量关系：慢车路程+快车路程=总路程 60x+100x=480，160x=480,x=3，答：出发3小时后相遇。 (2) 快车路程：100×3 = 300km，答：相遇时快车行驶300千米。 20.（2025秋·宿迁泗阳期末·梯形几何应用题）已知梯形面积为120，上底长12，高为8。 (1) 设梯形下底长为x，根据梯形面积公式列出方程； (2) 求出梯形下底的长度； (3) 若用该梯形的上下底之和与高之和作为长方形周长，长方形长为12，求长方形宽。 解： (1) 梯形面积公式：S=，代入得：=120 (2) 化简方程：4(12 +x）=120,12+x=30,x=18，答：下底长18。 (3) 梯形上下底和：12+18=30，高为8，周长总和：30+8=38，设长方形宽为y，长方形周长公式：2(12+y)=38，12+y=19,y=7，答：长方形宽为7。 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·南京玄武一模） 商品进价180元，8折出售获利24元，标价x元，方程（ ） A. 0.8x-180=24 B. 0.8x=180-24 C. 8x-180=24 D. x-0.8x=24 【答案】：A 【解析】：8折售价0.8x，利润=售价-进价，代入数值列式。 2.（2024秋·盐城射阳期末） 甲乙两地480km，慢车60km/h、快车100km/h相向出发，x小时相遇，方程（ ） A. 60x+100x=480 B. 100x-60x=480 C. 60+100x=480 D. 60x+100=480 【答案】：A 【解析】：相向相遇，两车行驶路程之和等于全程480km。 3.（2025秋·苏州相城期末） 两位数，十位数字a，个位比十位大3，该两位数表示为（ ） A. a+a+3 B. 10a+a+3 C. 10(a+a+3) D. 10a+3 【答案】：B 【解析】：十位数字代表10a，个位a+3，两位数数值为十位+个位。 4.（2026·南通海门二模） 河道总长1800米，甲乙两队整治总时长80天，甲每天30m，乙每天18m，设甲整治x米，方程（ ） A. +=80 B. 30x+18(80-x)=1800 C. +=80 D. 30x+18x=1800 【答案】：A 【解析】：甲用时，乙整治剩余1800-x米用时，总天数和为80。 5.（2024秋·泰州兴化期末） 1个盒身配2个盒底，每张铁皮做12个盒身或24个盒底，用x张做盒身，等量方程（总铁皮固定）（ ） A. 2×12x=24(总张数-x) B. 12x=2×24(总张数-x) C. 12x+24x=总铁皮 D. 12x=24(总张数-x) 【答案】：A 【解析】：配套关系：盒底总数=2×盒身总数，盒身12x，盒底24(总-x)。 6.（2025秋·宿迁泗洪期末） 球赛积分：胜3分、平1分、负0分，10场得22分，胜场是平场3倍，设平x场，方程（ ） A. 3×3x+x=22 B. 3x+3x=22 C. 3(10-x)+x=22 D. 3x+x=22 【答案】：A 【解析】：平x场，胜3x场，总积分=胜场得分+平场得分。 7.（2026·扬州江都一模） 数轴A点-10，B点20，P从A以2单位/秒右行，Q从B以1单位/秒左行，t秒相遇，方程（ ） A. 2t+t=30 B. 2t-t=30 C. -10+2t=20+t D. 2t=20+t 【答案】：A 【解析】：AB间距30，相向运动路程和等于30，P路程2t，Q路程t。 8.（2024秋·淮安洪泽期末） 日历竖列相邻三日期，中间数x，上下两数为（ ） A. x-7,x+7 B. x-1,x+1 C. x-6,x+6 D. x-5,x+5 【答案】：A 【解析】：日历每周7天，竖列上下日期相差7天。 9.（2025秋·镇江丹阳期末） 长方形周长60，长比宽多8，设宽x，方程（ ） A. 2(x+x+8)=60 B. x+x+8=60 C. 2x+x+8=60 D. x(x+8)=60 【答案】：A 【解析】：宽x，长x+8，周长公式2(长+宽)=60。 10.（2026·徐州贾汪二模） 工程甲单独20天，乙30天，甲先做5天，再合作x天完成，正确方程（ ） A. +(+)x=1 B. +=1 C. A、B都对 D. A、B都错 【答案】：C 【解析】：A分段计算工作量；B把甲总天数记为5+x，两种方程等价，均成立。 （二）填空题 11.（2024秋·无锡惠山期末） 商品标价500元，7折出售仍获利50元，进价______元。 【答案】：300 【解析】：设进价x，500×0.7-x=50，350-x=50，解得x=300。 12.（2025秋·常州金坛期末） 父子年龄和50，5年后父亲年龄是儿子4倍，儿子今年__岁。 【答案】：7 【解析】：设儿子x，父亲50-x，50-x+5=4(x+5)，解得x=7。 13.（2026·盐城滨海一模） 环形跑道400m，甲6m/s、乙4m/s同向出发，__秒第一次追上。 【答案】：200 【解析】：6t-4t=400，2t=400，t=200。 14.（2024秋·南通海门期末） 甲乙合作工程12天完成，甲单独20天，乙单独____天完工。 【答案】：30 【解析】：设乙单独x天，+=，通分求解得x=30。 15.（2025秋·泰州高港期末） 三个连续奇数和69，中间数为______。 【答案】：23 【解析】：设中间x，(x-2)+x+(x+2)=69，3x=69，x=23。 16.（2026·宿迁泗阳二模） 某数3倍减5等于该数加9，这个数是______。 【答案】：7 【解析】：3x-5=x+9，2x=14，x=7。 17.（2024秋·连云港灌云期末） 长方形长是宽2倍，周长72，面积______。 【答案】：288 【解析】：宽x，长2x，2(x+2x)=72，x=12，长24，面积12×24=288。 18.（2025秋·苏州昆山期末） 打印稿件，每分钟30字提前10分钟，每分钟20字超时6分钟，稿件共______字。 【答案】：960 【解析】：设计划x分钟，30(x-10)=20(x+6)，x=42，总字数30×32=960。 19.（2026·南京浦口一模） 鸡兔同笼50头，140足，兔______只。 【答案】：20 【解析】：设兔x，鸡50-x，4x+2(50-x)=140，解得x=20。 20.（2024秋·扬州仪征期末） 解方程+(+)x=1，x=______。 【答案】：4 【解析】：通分化简+x=1，x=，x=4。 （三）解答题 21．规定：用{m}表示大于m的最小整数，例如{}＝2，{4}＝5，{﹣1.5}＝﹣1等；用[m]表示不大于m的最大整数，例如[]＝3，[2]＝2，[﹣3.2]＝﹣4． （1）{2.4}+[﹣8]＝　 　； （2）如果整数x满足关系式：3{x}+2[x]＝18，则x＝　 　． 解：（1）由题意得：{2.4}＝3；[﹣8]＝﹣8．{2.4}+[﹣8]＝3﹣8＝﹣5，答案：﹣5； （2）由题意得3（x+1）+2x＝18，3x+3+2x＝18，5x＝15，x＝3． 22.（2026·盐城阜宁三模·购物方案选择）商场推出两种促销方案：方案一全场商品统一9折；方案二每满100元赠送20元代金券，代金券可当场抵扣货款。 (1) 采购标价合计600元的商品，选择方案一实际应付多少钱？ (2) 采购标价合计600元的商品，选择方案二实际支付多少钱？ (3) 若采购标价800元的商品，对比两种方案，哪种更省钱？ 解：(1) 600×0.9 = 540元，答：方案一应付540元。 (2) 600元包含6个100元，可抵扣代金券：6×20=120元，实付：600 - 120 = 480元 答：方案二实付480元。 (3) 方案一：800×0.9 = 720元，方案二：800含8个100，抵扣8×20=160元，实付800-160=640元，720>640，因此方案二更省钱。 23.（2024秋·镇江句容期末·步行追及行程）甲乙两人从同一地点出发，甲步行速度4km/h，先走1.5小时后，乙骑自行车以10km/h同路线追赶甲。 (1) 乙出发多久后能追上甲？ (2) 追上时两人距离出发点有多远？ (3) 若乙想在1小时内追上甲，骑车速度至少需要达到多少km/h？ 解：(1) 设乙出发x小时追上甲。追上时路程相等：甲先行路程 + 甲后续路程 = 乙骑行路程4×1.5+4x=10x，6+4x=10x,6x = 6,x = 1，答：乙出发1小时后追上甲。 (2) 乙骑行路程：10×1=10km，答：距离出发点10千米。 (3) 甲全程总路程：4×1.5+4×1=10km，设最低速度为vkm/h，1小时乙路程≥10：v×1 ≥ 10→v≥ 10，答：骑车速度至少10km/h。 24．某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 解：(1)设该工厂有男工x人，则女工有（2x－20）人，由题意得：x＋2x－20＝88，解得：x＝36，女工：2×36－20＝52（人），答：该工厂有男工36人，有女工52人． （2）设调y名女工帮男工制作盒底，由题意得：50（36＋y）×2＝（52－y）×120，解得：y＝12，答：调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好。 25．在一个装有进水管和出水管的容器里，请根据图中提供的信息解答问题：      (1)出水管每分钟出水多少升？ (2)从进水管开始进水到出水管全部排完水，需用多长时间？ 解：（1）设出水管每分钟出水升，根据题意得进水管每分钟进水（升） ∴可列方程，∴， 答：出水管每分钟出水12升． （2）根据题意，得（分钟） 答：从进水管开始进水到出水管全部排完水，需用分钟的时间． 26.我市某个批发市场出售A、B两种商品并开展优惠促销活动,其中A商品标价为每件90元,B商品标价为每件100元.活动方式如下两种: 活动一:A商品每件7折;B商品每件八五折; 活动二:所购商品累计少于100件没有优惠,达到或超过100件全部八折.两个活动不能同时参加. (1)某客户购买A商品30件,B商品100件,选择哪种活动便宜?能便宜多少钱? (2)某客户购买A商品x件(x为正整数),购买B商品的件数比A商品件数的2倍多4. ①B商品购买了　　　　件(用含x的代数式表示);  ②问:该客户如何选择才能获得最大优惠?请说明理由. 解 (1)选择活动一需付款30×0.7×90+100×0.85×100=10 390(元);选择活动二需付款(30×90+100×100)×0.8=10 160(元).∵10 390>10 160,∴选择活动二便宜,能便宜10 390-10 160=230元. (2)①(2x+4).②当x+2x+4=100时,x=32. (i)当x<32时,选择活动一能获得最大优惠. (ii)当x≥32时,选择活动一需付款90×0.7x+100×0.85(2x+4)=(233x+340)元. 选择活动二需付款90×0.8x+100×0.8(2x+4)=(232x+320)元. 因为233x+340>232x+320, 所以选择活动二能获得最大优惠. 27．点A，B，C为数轴上的三点，如果点C在点A，B之间，且到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇妙点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇妙点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇妙点，但点D是{B，A}的奇妙点． （1）点A表示的数为1，点B表示的数为2，点C表示的数为5，B是否为{C，A}的奇妙点？请说明理由。 （2）如图2，M，N为数轴上的两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为6．表示数　 　的点是{M，N}的奇妙点；表示数　 　的点是{N，M}的奇妙点； （3）如图3，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为﹣10，点B所表示的数为50．现有一动点P从点A出发向右运动，点P运动到数轴上的什么位置时，B为其余两点的奇妙点？ 解：（1）∵点A表示的数为1，点B表示的数为2，点C表示的数为5，∴AB=2-1=1，BC=5-2=3，∴BC=3AB，∴点B是{C，A}的奇妙点 （2）4；0 （3）设点P表示的数为x，当数50是（A，P）的奇妙点时， 50-（-10）=3（x-50） 解之：x=70； 当数50是（P，A）的奇妙点时，x-50=3（50+10）解之：x=230.∴点P运动到数轴上的70或230位置时，B为其余两点的奇妙点 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $