专题01反比例函数-2026年苏科版数学八升九暑假预习讲义

专题01反比例函数 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.反比例函数概念：包含反比例函数定义、三种标准解析式、自变量与函数值取值范围、函数判定方法、待定系数法求解析式。 2.反比例函数图像与性质：包含双曲线图像基本特征、标准作图步骤、k的符号对应图像象限与增减性、图像双重对称性、函数值基础比较方法。 3.比例系数k的几何意义：包含双曲线上动点与坐标轴围成矩形、三角形定值面积模型，掌握面积与k值双向求解方法。 4.反比例函数实际应用：包含实际问题函数建模步骤、自变量取值限定、初中常见反比例数量关系模型。 ✅ 反比例函数是初中函数体系核心模型，搭建起代数数量关系与几何图像特征的互通桥梁，是函数计算、图像分析、面积求解、函数综合大题的重要理论根基。 图像增减规律与 k 的几何意义是解题两大核心工具，二者相辅相成、缺一不可。 ✺学习目标： 知识要求：1.理解反比例函数的概念，熟记三种解析式形式，掌握自变量、函数值取值范围，能正确判定反比例函数。 2.掌握待定系数法，能根据已知点坐标求解反比例函数解析式。 3.认识反比例函数双曲线图像，掌握作图方法，能根据比例系数k的符号判断图像位置与增减性质。 4.理解并掌握k的几何意义，能熟练进行图形面积与k值的相互计算。 5.掌握反比例函数与一次函数、正比例函数的基础综合应用，会求交点、比较函数值大小。 6.掌握常见反比例实际模型，能建立函数模型解决简单实际问题。 能力要求：1.规范使用待定系数法求解函数解析式，计算准确、步骤完整。 2.能结合图像理解函数性质，实现代数与几何的相互转化。 3.能根据k的正负分类讨论函数图像与增减性。 4.能从实际情境中提取变量关系，建立反比例函数模型解题。 ✺题型归纳： 题型1.用反比例函数描述数量关系 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 题型3.根据反比例函数的定义求参数 题型4.求反比例函数值 题型5.由反比例函数值求自变量 题型6.判断（画）反比例函数图象 题型7.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型8.已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型9.判断反比例函数的增减性 题型10.判断反比例函数图象所在象限 题型11.已知反比例函数的增减性求参数 题型12.比较反比例函数值或自变量的大小 题型13.已知比例系数求特殊图形的面积 题型14.求反比例函数解析式 题型15.反比例函数与几何综合 题型16.根据图形面积求比例系数（解析式） 题型17.一次函数与反比例函数图象综合判断 题型18.一次函数与反比例函数的交点问题 题型19.一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型20.实际问题与反比例函数 题型21.一次函数与反比例函数的实际应用 题型22.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、反比例函数的定义 1.定义：一般地，形如 y=（k为常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数。其中x是自变量，y是x的函数，k为比例系数。 2.三种等价解析式 ① 标准分式型：y= (k≠0)（常规通用） ② 乘积型：xy=k (k≠0)（两变量乘积为定值） ③ 负指数型：y=k (k≠0)（多用于参数判定） 3.变量取值范围：自变量：x≠0；函数值：y≠0。 4. 反比例函数解析式的确定 ▶核心原理：反比例函数y=(k≠0)仅含1个待定系数k，只要给出一组x、y对应值或函数图象上一个点的坐标，代入解析式求出k，就能确定该反比例函数的解析式。 ▶待定系数法四步解题步骤 设：设所求反比例函数解析式为y=(k≠0)}； 代：把已知的x、y对应数值代入y=，得到关于k的一元方程； 解：求解关于k的方程，算出k的具体取值； 定：将求得的k代回y=，最终确定反比例函数的解析式。 知识点二、反比例函数的图像及画法 1.反比例函数的图象 ▶反比例函数y=（k≠0）的图像由两条曲线组成，它是双曲线，这两条曲线分别位于第一、三象限（k>0时）或第二、四象限（k<0时）. ▶它们的图象与x轴，y轴没有交点，即双曲线的两支都无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交. 2.反比例函数图象的画法 ◉列表:要先取一些自变量的值，在原点的两边取三对或三对以上相反数，如1和-1,2和-2,3和-3等，列表表示出自变量和函数的对应值.求y值时，只需计算原点一侧的函数值. ◉描点:依据表格中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中逐个标出对应的点。 ◉连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接连接起来并延伸；注意双曲线的两支相互断开的，延伸的部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不会和坐标轴相交 ★关键注意点： 取互为相反数的自变量可以利用函数对称性简化计算； 连线必须用平滑曲线，不能画折线； 双曲线和坐标轴是渐近关系，不会产生交点。 知识点三、反比例函数的图象和性质 反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，其图象和性质如下： ▲性质：k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小; k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大. 知识点四、比例系数k的几何意义 ▶过双曲线上任意一点p(x,y分别作x轴、y轴的垂线PM.PN,所得到的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k| 面积求k必须先定大小、再定符号，符号由图像所在象限决定。 知识点五、反比例函数实际应用 反比例函数应用中常见的数量关系： ▶工程类问题：工作量=工作时间×工作效率。工作量一定，效率与时间成反比例； ▶行程类问题：路程=时间×速度。路程一定，速度与时间成反比例； ▶图形类问题：根据图形的特征，结合规则图形的周长公式、面积公式、体积公式等来解题。 ▶等积类问题：变形前后物体的体积（或质量）不变 ✺题型◆精讲 题型1.用反比例函数描述数量关系 1．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 2．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 3．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 2．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤；其中表示是的反比例函数的是______． 3．分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 题型3.根据反比例函数的定义求参数 1．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 2．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 3．已知函数．当m，n为何值时，该函数为反比例函数？ 题型4.求反比例函数值 1．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 3．已知反比例函数的图象经过点，判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 题型5.由反比例函数值求自变量 1．已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 2．已知反比例函数，当时，___________． 3．平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 题型6.判断（画）反比例函数图象 1．某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A．B．C．D． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．已知矩形的边，，矩形的面积为3，则与的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   题型7.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为__________． 3．将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 题型8.已知双曲线分布的象限，求参数范围 1．已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若双曲线经过第二、四象限，则的取值范围是____． 3．已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 题型9.判断反比例函数的增减性 1．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，若m从1逐渐增大到5，则的长（） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ ．（用“”“”或“”填空） 3．已知函数，小明研究该函数的图像及性质时，列出y与x的几组对应值如下表，请解答下列问题： x … 1 2 3 4 … y … (1)完成表格． (2)在平面直角坐标系中，描出以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (3)写出该函数的两条性质： ①___________； ②___________． 题型10.判断反比例函数图象所在象限 1．在一块平地上，划出一个占地面积为100平方米的矩形区域，这个矩形区域的相邻两边长为米，米，那么关于的函数图像位于平面直角坐标系中的（   ） A．第一、三象限B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 2．对于函数，当时，函数图象位于第______象限． 3．若反比例函数的图象经过点，其中，则反比例函数的图象在______象限． 题型11.已知反比例函数的增减性求参数 1．若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 2．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 3．已知反比例函数图像经过、，如果，，那么_______0．（填“”或“”） 题型12.比较反比例函数值或自变量的大小 1．已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．点，在反比例函数的图象上，则______（用，，连接）． 3．若点，都在反比例函数的图象上，则________（填“”或“”）． 题型13.已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 3．如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是______． 题型14.求反比例函数解析式 1．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C． D．12 2．在平面直角坐标系中，有函数（且）和反比例函数（），点在上，过点作轴，交于点，连接，若，则______． 3．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 题型15.反比例函数与几何综合 1．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，轴，点A在反比例函数图象上，点B、C均在反比例函数的图象上，，则点D的坐标为______． 3．如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 题型16.根据图形面积求比例系数（解析式） 1．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 2．如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为______． 3．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． (1)根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； (2)若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 题型17.一次函数与反比例函数图象综合判断 1．函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______ 3．如图，点和点都在反比例函数的图像上，作直线． (1)m=　 ，k=　 ； (2)点P为x轴上一点，若的面积等于18，求点P坐标． 题型18.一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．若函数与图象的一个交点坐标为，则的值为_____． 3．如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式时x的解集． 题型19.一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，经过原点的直线与反比例函数的图像交于A，两点点A在第一象限，点，，在反比例函数的图像上，轴，轴，五边形的面积为，四边形的面积为，则的值为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点是轴上的一点，当以点，，，为顶点的四边形的面积为7时，求点的坐标． 题型20.实际问题与反比例函数 1．为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 2．将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 3．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 题型21.一次函数与反比例函数的实际应用 1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 2．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    3．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． ✺巩固测试 一、单选题 1．三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B．C．D． 2．反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 二、填空题 6．已知反比例函数，当时，那么的值为________． 7．如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 8．函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． 9．无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 10．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 三、解答题 11．同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 … … 波长 … …    (1)求波长关于频率的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (2)当时，求电磁波的频率． 12．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． (1)________，________； (2)当时，求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 13．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 14．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01反比例函数 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.反比例函数概念：包含反比例函数定义、三种标准解析式、自变量与函数值取值范围、函数判定方法、待定系数法求解析式。 2.反比例函数图像与性质：包含双曲线图像基本特征、标准作图步骤、k的符号对应图像象限与增减性、图像双重对称性、函数值基础比较方法。 3.比例系数k的几何意义：包含双曲线上动点与坐标轴围成矩形、三角形定值面积模型，掌握面积与k值双向求解方法。 4.反比例函数实际应用：包含实际问题函数建模步骤、自变量取值限定、初中常见反比例数量关系模型。 ✅ 反比例函数是初中函数体系核心模型，搭建起代数数量关系与几何图像特征的互通桥梁，是函数计算、图像分析、面积求解、函数综合大题的重要理论根基。 图像增减规律与 k 的几何意义是解题两大核心工具，二者相辅相成、缺一不可。 ✺学习目标： 知识要求：1.理解反比例函数的概念，熟记三种解析式形式，掌握自变量、函数值取值范围，能正确判定反比例函数。 2.掌握待定系数法，能根据已知点坐标求解反比例函数解析式。 3.认识反比例函数双曲线图像，掌握作图方法，能根据比例系数k的符号判断图像位置与增减性质。 4.理解并掌握k的几何意义，能熟练进行图形面积与k值的相互计算。 5.掌握反比例函数与一次函数、正比例函数的基础综合应用，会求交点、比较函数值大小。 6.掌握常见反比例实际模型，能建立函数模型解决简单实际问题。 能力要求：1.规范使用待定系数法求解函数解析式，计算准确、步骤完整。 2.能结合图像理解函数性质，实现代数与几何的相互转化。 3.能根据k的正负分类讨论函数图像与增减性。 4.能从实际情境中提取变量关系，建立反比例函数模型解题。 ✺题型归纳： 题型1.用反比例函数描述数量关系 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 题型3.根据反比例函数的定义求参数 题型4.求反比例函数值 题型5.由反比例函数值求自变量 题型6.判断（画）反比例函数图象 题型7.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型8.已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型9.判断反比例函数的增减性 题型10.判断反比例函数图象所在象限 题型11.已知反比例函数的增减性求参数 题型12.比较反比例函数值或自变量的大小 题型13.已知比例系数求特殊图形的面积 题型14.求反比例函数解析式 题型15.反比例函数与几何综合 题型16.根据图形面积求比例系数（解析式） 题型17.一次函数与反比例函数图象综合判断 题型18.一次函数与反比例函数的交点问题 题型19.一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型20.实际问题与反比例函数 题型21.一次函数与反比例函数的实际应用 题型22.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、反比例函数的定义 1.定义：一般地，形如 y=（k为常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数。其中x是自变量，y是x的函数，k为比例系数。 2.三种等价解析式 ① 标准分式型：y= (k≠0)（常规通用） ② 乘积型：xy=k (k≠0)（两变量乘积为定值） ③ 负指数型：y=k (k≠0)（多用于参数判定） 3.变量取值范围：自变量：x≠0；函数值：y≠0。 4. 反比例函数解析式的确定 ▶核心原理：反比例函数y=(k≠0)仅含1个待定系数k，只要给出一组x、y对应值或函数图象上一个点的坐标，代入解析式求出k，就能确定该反比例函数的解析式。 ▶待定系数法四步解题步骤 设：设所求反比例函数解析式为y=(k≠0)}； 代：把已知的x、y对应数值代入y=，得到关于k的一元方程； 解：求解关于k的方程，算出k的具体取值； 定：将求得的k代回y=，最终确定反比例函数的解析式。 知识点二、反比例函数的图像及画法 1.反比例函数的图象 ▶反比例函数y=（k≠0）的图像由两条曲线组成，它是双曲线，这两条曲线分别位于第一、三象限（k>0时）或第二、四象限（k<0时）. ▶它们的图象与x轴，y轴没有交点，即双曲线的两支都无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交. 2.反比例函数图象的画法 ◉列表:要先取一些自变量的值，在原点的两边取三对或三对以上相反数，如1和-1,2和-2,3和-3等，列表表示出自变量和函数的对应值.求y值时，只需计算原点一侧的函数值. ◉描点:依据表格中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中逐个标出对应的点。 ◉连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接连接起来并延伸；注意双曲线的两支相互断开的，延伸的部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不会和坐标轴相交 ★关键注意点： 取互为相反数的自变量可以利用函数对称性简化计算； 连线必须用平滑曲线，不能画折线； 双曲线和坐标轴是渐近关系，不会产生交点。 知识点三、反比例函数的图象和性质 反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，其图象和性质如下： ▲性质：k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小; k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大. 知识点四、比例系数k的几何意义 ▶过双曲线上任意一点p(x,y分别作x轴、y轴的垂线PM.PN,所得到的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k| 面积求k必须先定大小、再定符号，符号由图像所在象限决定。 知识点五、反比例函数实际应用 反比例函数应用中常见的数量关系： ▶工程类问题：工作量=工作时间×工作效率。工作量一定，效率与时间成反比例； ▶行程类问题：路程=时间×速度。路程一定，速度与时间成反比例； ▶图形类问题：根据图形的特征，结合规则图形的周长公式、面积公式、体积公式等来解题。 ▶等积类问题：变形前后物体的体积（或质量）不变 ✺题型◆精讲 题型1.用反比例函数描述数量关系 1．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 2．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 3．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 2．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤；其中表示是的反比例函数的是______． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解：①变形为，含有常数项，不符合反比例函数形式； ②是二次函数，不符合反比例函数形式； ③可化为，其中，符合反比例函数形式； ④可化为，其中，符合反比例函数形式； ⑤分母是而非，不符合反比例函数形式； 综上分析可知：是的反比例函数的是③④． 故答案为：③④． 3．分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2） 解：由题意，得，是反比例函数． 题型3.根据反比例函数的定义求参数 1．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 2．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，将点代入反比例函数解析式，即可求解的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 3．已知函数．当m，n为何值时，该函数为反比例函数？ 【答案】当时，该函数为反比例函数． 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义计算即可． 【详解】解：函数为反比例函数， ，且，解得． 故当时，该函数为反比例函数． 题型4.求反比例函数值 1．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入反比例函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标一致，即为函数图象经过的点． 【详解】解：选项A：当时，，则点不在函数图象上； 选项B：当时，，则点不在函数图象上； 选项C：当时，，与点的纵坐标相等，则点在函数图象上； 选项D：当时，，则点不在函数图象上． 2．如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据函数图像以及P点坐标即可解答． 【详解】解：由P点坐标以及函数图像可知，当时，y的取值范围是． 3．已知反比例函数的图象经过点，判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】不在，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，掌握好反比例函数图象上的点的特征是解题关键． 将点代入函数解析式，求出m后，计算当时，是否为1． 【详解】解：不在，理由如下： 将点代入中，得， 解得，则， 令，则， ∴点不在该反比例函数的图象上． 题型5.由反比例函数值求自变量 1．已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质．将点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可． 【详解】解：将代入得： 解得：， 故选：B． 2．已知反比例函数，当时，___________． 【答案】2 【分析】此题考查了反比例函数的性质，将已知的值代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，代入得，， 解得． 故答案为：2． 3．平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 题型6.判断（画）反比例函数图象 1．某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的函数识别，根据方体污水处理池的容积等于底面积乘深度，且容积一定，故，，即可作答． 【详解】解：由题意可知： ， ∴中，当的值一定时，是h的反比例函数， ∴函数的图象：当时是“双曲线”在第一象限的分支． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 3．已知矩形的边，，矩形的面积为3，则与的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据矩形的面积公式得到，即，根据反比例函数的图象即可做出判断． 【详解】解：由题意，得，即， ∴是的反比例函数， ∵，， ∴选项A中图象符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象是解答的关键，注意变量的取值范围． 题型7.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 2．已知直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为__________． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（3，4）， ∴另一个交点的坐标是（-3，-4）． 故填（-3，-4）． 【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，掌握正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称成为解答本题的关键． 3．将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的平移，反比例函数图象的性质，由平移可得平移后所得函数解析式为，进而反比例函数的图象关于点中心对 称，恒过点，可得点，关于中心对称，即得，得到，即可得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵将向右平移两个单位，向下平移个单位， ∴平移后所得函数解析式为， ∵反比例函数的图象关于点中心对称，恒过点， ∴点，关于中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型8.已知双曲线分布的象限，求参数范围 1．已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数与图象位置的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， 解得：． 2．若双曲线经过第二、四象限，则的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据双曲线经过第二、四象限，则据此求解即可． 【详解】解：双曲线经过第二、四象限， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 题型9.判断反比例函数的增减性 1．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，若m从1逐渐增大到5，则的长（） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象性质与完全平方公式的应用，解题关键是通过联立直线和反比例函数求交点，结合完全平方公式确定长的最小值位置，进而判断其变化趋势． 联立直线与反比例函数的方程，求出交点的坐标为．设反比例函数上另一点，由推出，结合与反比例函数性质，得到，即与重合时最小，根据从到，在这个区间内，得出长变化情况． 【详解】解：如图，设直线与反比例函数的图像交于点， 联立方程 解得，， ∴． 设该反比例函数上另一点的坐标为， ， ， ． 由此可得，当点与重合时，的长最小， 此时． ， 的长先减小后增大． 故选：D． 2．若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ ．（用“”“”或“”填空） 【答案】 【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴令，则； 令，则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键． 3．已知函数，小明研究该函数的图像及性质时，列出y与x的几组对应值如下表，请解答下列问题： x … 1 2 3 4 … y … (1)完成表格． (2)在平面直角坐标系中，描出以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (3)写出该函数的两条性质： ①___________； ②___________． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)①该函数图像关于轴对称；②图像均在轴的下方 【分析】（1）根据函数解析式求出表格中相应的值即可； （2）根据描点法画函数图像即可； （3）根据函数图像得到该函数的性质． 【详解】（1）解：∵函数， ∴时，；时，；时，；时，； 故答案为：，，，； （2）函数图像如图所示： （3）该函数的性质有： ①该函数图像关于轴对称； ②图像均在轴的下方； ③时，随增大而减小；时，随增大而增大； 故答案为：①该函数图像关于轴对称；②图像均在轴的下方． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，正确画出函数图像是解本题的关键． 题型10.判断反比例函数图象所在象限 1．在一块平地上，划出一个占地面积为100平方米的矩形区域，这个矩形区域的相邻两边长为米，米，那么关于的函数图像位于平面直角坐标系中的（   ） A．第一、三象限B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 【答案】C 【分析】先根据矩形面积公式推导得到关于的函数表达式，再结合边长的实际意义确定，的取值范围，即可判断函数图像所在象限． 【详解】解：∵矩形面积等于相邻两边长的乘积，由题意得，整理得，该函数为反比例函数， 又∵，表示矩形的边长，边长为正实数， ∴， 可得， ∴函数图像只位于平面直角坐标系的第一象限． 2．对于函数，当时，函数图象位于第______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据得出函数经过第二、四象限，再结合，即可作答． 【详解】解：∵函数的， ∴函数经过第二、四象限， ∴当时，函数图象位于第二象限． 故答案为：二 3．若反比例函数的图象经过点，其中，则反比例函数的图象在______象限． 【答案】一、三 【分析】根据反比例函数的图象经过点，得到，即可得到反比例函数的图象所在象限． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∵， ∴， ∴反比例函数的图象在一、三象限； 故答案为：一、三． 【点睛】本题考查反比例函数的图象．利用图象上的点，求出的符号，是解题的关键． 题型11.已知反比例函数的增减性求参数 1．若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线且当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解题的关键． 根据反比例函数的性质可求k的取值范围，再确定的可能取值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而减小, ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 2．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 3．已知反比例函数图像经过、，如果，，那么_______0．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数性质，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键．先根据，判断出点、都在第二象限，且y随x的增大而增大，再根据反比例函数性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数图像经过、，且，， ∴点、都在第二象限，且y随x的增大而增大， ∴， 故答案为：． 题型12.比较反比例函数值或自变量的大小 1．已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据判断函数的增减性与所在象限，再结合三个点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ ，， ∵，三个点的横坐标都为正数， ∴ 三点都在第四象限， ∴，即． 2．点，在反比例函数的图象上，则______（用，，连接）． 【答案】 【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， 又点和点在反比例函数的图象上，且， ． 故答案为：． 3．若点，都在反比例函数的图象上，则________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数的自变量的值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．将点代入反比例函数的解析式求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型13.已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 2．如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是______． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质．作于点，由在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义得，再根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 题型14.求反比例函数解析式 1．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 2．在平面直角坐标系中，有函数（且）和反比例函数（），点在上，过点作轴，交于点，连接，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，设，可得，，进而得到，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设， ∵点在上， ∴， ∵轴，， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， 故答案为：． 3．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 题型15.反比例函数与几何综合 1．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数性质，正确的运算是解题的关键． 将点坐标代入求得，再利用正方形性质得到得到相关坐标． 【详解】解：点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 点在反比例函数的图象上， 可设， ， 解得，． ， ． 故选： D． 2．如图，菱形中，轴，点A在反比例函数图象上，点B、C均在反比例函数的图象上，，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】设A点的坐标为，，根据题意列方程组，即可求出的中点的横纵坐标，再根据菱形的性质得经过的中点且垂直，即可得B、D的横坐标，将点B的横坐标代入求出纵坐标，再根据D点与B点关于对称，即可求出D点的坐标． 【详解】解：设A点的坐标为，， ∵，轴， 组成方程组， 解得， 又∵的中点到点C的距离为， ∴的中点的横坐标为，纵坐标为A的纵坐标为， ∵四边形是菱形， ∴经过的中点且垂直， ∴点B的横坐标也为，代入得，， ∴点B的坐标为， ∵D点与B点关于对称， ∴D点的坐标为． 3．如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，然后根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可设， ∵，即点C是的中点，，点D在x轴上， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴． 题型16.根据图形面积求比例系数（解析式） 1．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 2．如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为______． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图象性质及k值的计算，运用的面积是6，设点坐标建立相关方程是解题的关键．设，由已知条件得到，，再根据建立关于k的方程，解方程即可求得k值． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过A点， ∴设， ∵D为的中点，， ∴， ∵轴，垂足为C，交于点D， ∴， ∵反比例函数（）的图象经过B点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：16． 3．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． (1)根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； (2)若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 【答案】(1)> (2) 【分析】（1）将两点横坐标代入反比例函数，求出，，再根据比较大小； （2）先证得四边形是矩形，再说明，，然后根据四边形的面积为20，得出点A的坐标，求出k的值． 【详解】（1）解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 即． （2）解：∵轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴、、， ∴，， ∵四边形的面积为20， ∴，解得， ∴， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． 题型17.一次函数与反比例函数图象综合判断 1．函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数与， ∴当时，，一次函数的图象过一，三，四象限，双曲线过一，三象限； 当时，，一次函数的图象过一，二，三象限，双曲线过二，四象限； 故满足题意的只有选项A； 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______ 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，表示出直线解析式，得出，求解即可，同理，当在原点左侧时，，求解即可． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ； ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． ∴的取值范围是或． 故答案为：或． 3．如图，点和点都在反比例函数的图像上，作直线． (1)m=　 ，k=　 ； (2)点P为x轴上一点，若的面积等于18，求点P坐标． 【答案】(1)-2，6 (2)或 【分析】（1）由已知可得，，求解即可解答． （2）连接、，作轴于C，轴于D，由（1）可得点M坐标，再根据的面积等于18，即可解答． 【详解】（1）∵，点和点都在反比例函数的图像上， ∴，． （2）解：连接、，作轴于C，轴于D， 由（1）知，，， ， 直线于x轴交点， ∵的面积等于18， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理得：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，掌握三角形面积公式是解题的关键． 题型18.一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可． 【详解】解：因为点是函数与图像的交点， 将点代入，可得，变形得到， 将点代入，可得，移项得到， 所以． 2．若函数与图象的一个交点坐标为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数解析式得到，是解决本题的关键． 根据函数解析式，可得，，进而得出，进一步进行计算即可求解． 【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴ ． ∴ 故答案为：． 3．如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式时x的解集． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】（1）把代入求出反比例函数的解析式，可求出点A的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）求出点，根据解答即可； （3）直接观察图象，即可解答． 【详解】（1）解：∵在函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵经过，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：∵C是直线与x轴的交点， ∴当时，， ∴点， ∴， ∴； （3） 解：不等式时x的解集为或． 题型19.一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 2．如图，经过原点的直线与反比例函数的图像交于A，两点点A在第一象限，点，，在反比例函数的图像上，轴，轴，五边形的面积为，四边形的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，，，由题意得，点A的坐标为，点D的坐标为，根据题意得，，根据，得E，的纵坐标的绝对值相等，根据E，在反比例函数的图像上得E，关于原点对称，点E的坐标为，得E，，共线，根据，即可证明四边形是平行四边形，可得，即，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，连接，，， 由题意A，关于原点对称， ∴点A的坐标为，点D的坐标为， ，的纵坐标的绝对值相等， ∵， ，的纵坐标的绝对值相等， ∵E，在反比例函数的图像上， ，关于原点对称，点E的坐标为， ，，共线， ∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，证得四边形是平行四边形是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点是轴上的一点，当以点，，，为顶点的四边形的面积为7时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （）由待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可得到不等式的解集； （）由得，当时，，当时，，求出，，然后分当时，和当时，两种情况可得关于的一元一次方程，然后解方程即可； 【详解】（1）解：将点代入，得， ； 反比例函数的表达式为． 将点代入，得， ． 将，代入，得， 解得 一次函数的表达式为； （2）解：由图象得，当时，即时，的取值范围为或； （3）解：设， 由得，当时，， 当时， ， ∴，， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 当时，如图： ， ∴， ∴点的坐标为， 综上可知：点的坐标或． 题型20.实际问题与反比例函数 1．为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断与的函数关系，可通过计算与的乘积，若乘积为定值，则与满足反比例函数关系，据此推导即可． 【详解】解：∵ ，，，，， 可得所有组满足， ∴y与x的函数关系式为． 2．将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 【答案】2 【分析】根据函数图象求出反比例函数的解析式，令，求解y． 【详解】解：已知氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系， ∴设y与x之间的函数解析式为， 由图象可得函数图象过点， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为． 3．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2)9.6×10-3 m2 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入， 得， ∴地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：将代入时， 则， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为平方米． 题型21.一次函数与反比例函数的实际应用 1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 2．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 3．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． ✺巩固测试 一、单选题 1．三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据面积公式推导出函数关系式，再结合边长和高都是正数确定函数图像所在的象限． 【详解】解：根据题意可知，，即， 可知函数图像为位于第一象限的反比例函数． 2．反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数判断函数图象所在象限和增减性，再结合各点纵坐标的大小比较横坐标即可. 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点A纵坐标为，点B纵坐标为，点C纵坐标为， ∴A、B在第三象限，C在第一象限，可得，，， 又∵，第三象限内随的增大而减小， ∴， ∴. 4．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 5．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 二、填空题 6．已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【答案】 【分析】将已知代入反比例函数解析式，计算即可得到的值 【详解】解：将代入，得 7．如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，，故，，根据，求解即可； 【详解】解：设，根据题意，得反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点， 故，， 的面积为， ， ， 设反比例函数的解析式为， ， ， 故反比例函数的解析式为； 8．函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】设点A的横坐标为m，根据轴可知点B、C的横坐标也为m，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合建立等式，化简即可求解． 【详解】解：设点A的横坐标为m，由图可知， ∵轴，交x轴于点C ∴点B、C的横坐标均为m，且点C的坐标为 ， ∵点A在的图像上，且位于第二象限 ， ∴点A的纵坐标为，且 ， ∴． ∵点B在的图像上，且位于第三象限 ， ∴点B的纵坐标为，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 9．无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 【答案】 【分析】因为牵引力F和速度v是反比例函数关系，所以先设反比例函数的一般形式，其中k为常数且，把已知的、代入反比例函数表达式，求出k的值，确定F与v的函数解析式，因为要求，所以将代入已得到的函数解析式，求解对应的v值，结合反比例函数的增减性，得到v的最大值． 【详解】∵牵引力和速度是反比例函数关系， ∴设， 将，代入解析式，得， ∴函数关系式为， 当时，代入得， ∵， 解得， ∴拖拉机速度的最大值为． 10．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 三、解答题 11．同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 … … 波长 … …    (1)求波长关于频率的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (2)当时，求电磁波的频率． 【答案】(1)， 图象如下：    (2)当时，电磁波的频率为 【分析】（1）设波长关于频率的函数解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式，进而画出图象即可． （2）将代入反比例函数解析式中即可求解． 【详解】（1）解：设波长关于频率的函数解析式为． 把点代入上式中，得， 解得， ． （2）解：当时，， ． 答：当时，电磁波的频率为． 12．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． (1)________，________； (2)当时，求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出，即可求出答案； （3）求出反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点，根据图象的位置关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点， ∴，， 解得， 故答案为： （2）由（1）可知反比例函数为，一次函数为 当时，即点的横坐标为， 当时，，， ∴， ∴的面积； （3）联立得到解得或， ∴反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点， 由图象可知，当时，直接写出自变量的取值范围为或． 13．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 14．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象性质：对于，当时，，求出；设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入求出k；在反比例函数中，令，求出y与1进行比较即可． 【详解】解：能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $