第1讲 1.1反比例函数 2026-年苏科版八升九数学暑假预习讲义

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第1讲 1.1　反比例函数　 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的一般形式。 1. 能从实际问题中抽象出反比例函数关系。 1. 掌握反比例函数的三种表达式形式，能准确判断一个函数是否为反比例函数。 1. 会用待定系数法确定反比例函数的表达式。 【知识梳理】 一、反比例函数的定义 一般地，形如 （为常数，）的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数。 关键理解：反比例函数中，两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，即 （）。 二、反比例函数的三种表达式形式 反比例函数 （）等价于以下三种形式： 形式 表达式 说明 形式一 最基本的形式，在分母位置 形式二 乘积形式，与的乘积为常数 形式三 指数形式，的指数为 注意：三种形式本质相同，解题时可灵活转换。 三、自变量的取值范围 在反比例函数 （）中： 自变量的取值范围：的一切实数 函数值的取值范围：的一切实数 原因：分母不能为0，因此；同时，所以也不可能为0。 四、待定系数法求反比例函数表达式 由于反比例函数 中只有一个待定系数，因此只需要知道一对、的对应值（或图象上一个点的坐标） ，即可求出的值，从而确定解析式。 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： 第一步 设：设反比例函数的表达式为 （）； 第二步 代：把已知的一组、对应值代入所设的表达式中，得到关于的方程； 第三步 解：解方程求出的值； 第四步 写：将的值代回表达式，写出最终结果。 做一做（即时练习）： 1. 下列函数中，哪些是反比例函数？请在括号内打“√”。 · （1）（　）　　（2）（　）　　（3）（　） · （4）（　）　　（5）（　）　　（6）（　） 1. 反比例函数 中，自变量的取值范围是______。 1. 若函数 的图象经过点，则______。 1. 已知与成反比例，且当时，，则与的函数表达式为______。 1. 在反比例函数 中，当时，______；当时，______。 【典例精讲】 【例1】（反比例函数的识别） 下列函数中，哪些是反比例函数？如果是，请指出的值。 （1）　　（2）　　（3）　　（4）　　（5）　　（6） 【分析】 根据反比例函数的三种表达式形式逐一判断：、、，且。 【解答】 （1），符合的形式，，是反比例函数。 （2），是一次函数，不是反比例函数。 （3），符合的形式，，是反比例函数。 （4），是一次函数（正比例函数），不是反比例函数。 （5），符合的形式，，是反比例函数。 （6），符合的形式，，是反比例函数。 【反思】 判断一个函数是否为反比例函数，可以看它是否满足三种等价形式中的任意一种。特别要注意 中的指数为，不能出现在分子位置作为一次函数的系数。 【例2】（根据实际问题列反比例函数表达式） （1）某矩形的面积为，长为，宽为，试写出与的函数关系式，并判断是否为反比例函数。 （2）一辆汽车从甲地到乙地，全程千米，行驶速度为千米/时，行驶时间为小时，试写出与的函数关系式，并判断是否为反比例函数。 【分析】 先根据等量关系建立方程，再写成函数形式，最后对照反比例函数的定义判断。 【解答】 （1）矩形面积 = 长 × 宽，即， ∴ （），符合的形式，。 是反比例函数，定义域（实际意义）。 （2）路程 = 速度 × 时间，即， ∴ （），符合的形式，。 是反比例函数，定义域（实际意义）。 【反思】 实际问题中列反比例函数关系时，需要注意自变量的取值范围受实际意义的限制。如长度、速度均为正数。 【例3】（待定系数法求反比例函数表达式） 已知是的反比例函数，且当时，。 （1）求与的函数表达式； （2）当时，求的值。 【分析】 先设，代入已知的、值求，再写出表达式。 【解答】 （1）设 （）， 将，代入，得 ， 解得 ， ∴ 与的函数表达式为 。 （2）当时，。 【反思】 待定系数法是求函数表达式的基本方法。反比例函数中只有一个参数，所以只需要一组对应值即可确定。 【跟踪练习1】 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 若与成反比例，且当时，，则与的函数表达式为______。 1. 已知反比例函数 的图象经过点。 · （1）求的值和函数表达式； · （2）当时，求的值。 1. 某蓄水池的容积为立方米，注满水池所需的时间（小时）与注水速度（立方米/小时）成反比例关系。 · （1）写出与的函数表达式； · （2）当注水速度为立方米/小时时，需要多少小时注满？ 【举一反三】 1. 若函数 是反比例函数，则的取值范围是______。 1. 反比例函数 中，当时，______；当时，______。 1. 已知与成反比例，且当时，，则与的函数表达式是______。 1. 若点在反比例函数 的图象上，则______。 1. 下列关系式中，是的反比例函数的是（填序号）______。 · ① 　　② 　　③ 　　④ 1. 某三角形的面积为，底边长为，高为，则与的函数表达式为______，它是______函数（填“正比例”或“反比例”）。 1. 已知反比例函数 ，当时，，则当时，______。 1. 若与成反比例，且当增大时减小，则______0（填“>”或“<”）。（提示：可通过取特殊值验证） 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 形如 （为常数，______）的函数称为反比例函数。 1. 反比例函数 中，自变量的取值范围是______。 1. 在反比例函数 中，当时，______；当时，______。 1. 若与成反比例，且当时，，则______，函数表达式为______。 1. 函数 中，______。 1. 若点在反比例函数 的图象上，则______。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 函数 是反比例函数。（　　） 1. 函数 是反比例函数。（　　） 1. 反比例函数 中，可以等于0。（　　） 1. 在反比例函数 中，当时，。（　　） 三、选择题。 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 反比例函数 中，当时，的值为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 若点在反比例函数 的图象上，则的值为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 下列各点中，在反比例函数 的图象上的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. ◆ B组·能力提升 1. 已知是的反比例函数，且当时，。 · （1）求与的函数表达式； · （2）当时，求的值； · （3）当时，求的值。 1. 已知与成反比例，且当时，。 · （1）求关于的函数表达式； · （2）求当时的函数值； · （3）求当时自变量的值。 1. 已知，与成正比例，与成反比例。当时，；当时，。 · （1）求关于的函数表达式； · （2）当时，求的值。 1. 某工厂生产一种产品，每天生产件所需的时间为小时。已知与成反比例，且当时，。 · （1）写出与的函数表达式； · （2）如果每天生产件产品，需要多少小时？ ◆ C组·思维拓展 1. 已知反比例函数 的图象经过点和点。 · （1）求和的值； · （2）点是否在这个函数的图象上？请说明理由。 1. 已知反比例函数 （），当的值由增加到时，的值减少了，求的值。 1. 阅读理解： 反比例函数 （）中，与的乘积始终等于。因此，如果两个变量、满足为定值（不为0），则它们成反比例关系。 利用上述知识，解答下列问题： （1）已知与成反比例，且当时，，求当时的值； （2）若与成反比例，且当时，，求当时的值。 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 反比例函数的定义 （为常数，） 在分母位置，指数为 三种表达式形式 ，， 三者等价，可灵活转换 自变量取值范围 分母不为0 函数值取值范围 ，不可能为0 待定系数法 设 → 代 → 解 → 写 一组对应值即可确定 常见错误提醒 错误类型 正确理解 认为 是反比例函数 ，是正比例函数（一次函数） 认为 是反比例函数 不是的形式，不是反比例函数 忽略的条件 时，，是常函数，不是反比例函数 忽略自变量的取值范围 反比例函数中，实际问题中还需考虑等实际限制 混淆“成正比例”与“成反比例” 为正比例；为反比例，本质不同 学习建议 1. 熟记反比例函数的三种表达式形式，判断时能快速对应。 1. 用待定系数法时按“设→代→解→写”四步走，避免遗漏。 1. 实际问题中列函数关系式后，注意标注自变量的实际取值范围。 1. 区分“正比例函数”与“反比例函数”：（乘）与（除），一正一反。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：（1）√；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）√ 1. 答案： 1. 答案：（，解得） 1. 答案： 1. 答案：；（；，解得） 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：B 1. 答案： 1. 答案：（1），；（2） 1. 答案：（1）（）；（2）小时 举一反三 1. 答案： 1. 答案：； 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：①③④ 1. 答案：；反比例 1. 答案：（由，；当时，） 1. 答案：（时，增大减小；时，增大也增大） A组·基础过关 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：； 1. 答案：； 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：√ 1. 答案：× 1. 答案：× 1. 答案：× 1. 答案：B 1. 答案：A 1. 答案：B 1. 答案：A B组·能力提升 1. 答案： （1）设，代入，，得，，∴； （2）当时，； （3）当时，，解得。 1. 答案： （1）设（，）， 代入，，得，， ∴（）。 （2）当时，。 （3）当时，，，解得。 1. 答案： （1）设（），（），则。 代入，，得； 代入，，得，即。 解得，，∴。 （2）当时，。 1. 答案： （1）设，代入，，得，，∴（）； （2）当时，，解得（小时）。 C组·思维拓展 1. 答案： （1）代入，得，，∴。 代入，得。 （2）当时，，所以点在这个函数的图象上。 1. 答案： 当时，；当时，。 由题意，， ，，，。 1. 答案： （1）设，代入，，得，∴。 当时，。 （2）设（）， 代入，，得，， 当时，，，，。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（4题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（14题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（4题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（3题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $