精品解析：安徽省马鞍山市第七中学2025—2026学年八年级第二学期期末数学试题

2025～2026学年第二学期期末教学质量监测 八年级数学学科 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是安徽某著名风景区内的建筑基底层正多边形的部分示意图，其外角为，则该正多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 5. 的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲、乙两人投掷10次标枪的落点如图所示，若两人的平均成绩相同，则对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（ ） A. B. 3或 C. 3或 D. 或 8. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 2 9. 已知八年级（1）班和（2）班人数相等，如图是一次考评中两班成绩的箱线图，则下列说法正确的是（ ） A. （1）班成绩比（2）班成绩集中 B. （1）班成绩的第三四分位数是80分 C. （1）班同学的成绩有超过140分的 D. （1）班和（2）班成绩的中位数相同 10. 如图，以的各边为边，在边的同侧分别作三个正方形，，，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 若，则四边形是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若且，则四边形是正方形 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 某校践行“五育并举”教育理念，小方同学本学期“五育”综合评定得分（各项满分均为20分）如下表所示，最终按德智体美劳的比例分别为核算得分，他的最终得分是______分． 项目 德 智 体 美 劳 得分 20 15 14 18 20 13. 近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 14. 如图，一棵树的一段被风吹断，顶端C着地，段与地面成夹角，若段长度为4米，则顶端着地处C与大树底端A之间的距离为______米． 15. 如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 16. 如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 17. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 18. 矩形ABCD中，AD=32厘米，AB=24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，则t=___秒时，点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形． 三、计算题：本大题共2小题各3分，共6分． 19. 计算：． 20. 解方程：3x2﹣2x﹣1=0． 四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它靠出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的芦苇，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： （1）如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； （2）求芦苇的长度． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若该方程的一个根为2，求k的值及方程的另一根． 23. 如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且，求四边形的周长． 24. 今年国家卫生健康委员会相关负责人宣布，将正式实施为期三年的“体重管理年”行动，普及健康生活方式，帮助居民科学管理体重，为推进“体重管理年”．某校举行了“健康体重，一起行动”科普教育，并组织2000名学生参加了知识答卷，为了解科普效果，从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【数据收集与整理】成绩频数分布表： 组别 A B C D E 成绩（分） 频数 4 a 12 10 6 【分析数据】成绩在C组（）的数据（单位：分）：71，72，73，73，74，76，76，76，78，78，79，80 【解决问题】 （1）请补全频数分布直方图； （2）这次测试成绩的中位数是 分，C组成绩的众数是 分，扇形E的圆心角的度数是 ； （3）若成绩在80分以上（不含80分）为科普教育知识成绩优秀，估计该校成绩达到优秀学生有多少人？ 25. 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF． （1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期期末教学质量监测 八年级数学学科 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A 的被开方数含分母，不满足条件，∴ A错误； ∵ 选项B ，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，∴ B错误； ∵ 选项C 满足最简二次根式的两个条件，∴ C正确； ∵ 选项D ，被开方数含分母，不满足条件，∴ D错误． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，不能直接合并相加，∴，A计算错误. 选项B：∵，∴，B计算错误. 选项C：∵，∴C计算错误. 选项D：∵，∴D计算正确. 3. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据其定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程”即可求解． 【详解】解：A、化简得，，不是一元二次方程，不符合题意； B、，当时，该方程不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C ． 4. 如图是安徽某著名风景区内的建筑基底层正多边形的部分示意图，其外角为，则该正多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于，且正多边形的每个外角相等，利用除以一个外角的度数即可求出边数． 【详解】解：∵多边形的外角和为，且该多边形为正多边形， ∴该正多边形的边数， 该正多边形是正八边形． 5. 的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，找出不能判定为直角三角形的选项． 【详解】解：A、 ，且， ，得， 是直角三角形，不符合要求； B 、，设，，， 则，解得， 最大角， 不是直角三角形，符合要求； C 、，整理得，符合勾股定理逆定理， 是直角三角形，不符合要求； D 、，设，，， 则，符合勾股定理逆定理， 是直角三角形，不符合要求． 6. 已知甲、乙两人投掷10次标枪的落点如图所示，若两人的平均成绩相同，则对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】方差是反映一组数据波动大小的量，方差越小，数据越稳定（集中）． 【详解】解：观察图形可知，甲的落点分布比较分散，乙的落点分布比较集中． ∵方差越小，数据越集中，方差越大，数据越分散． ∴． 7. 若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（ ） A. B. 3或 C. 3或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先利用非负数的性质求出x和y的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边均为直角边，或较长边为斜边两种情况． 【详解】解：∵，，且 ∴，， 解得， 分两种情况计算第三边： (1)当，都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得： 第三边长， (2)当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得： 第三边长， ∴此三角形第三边的边长为或． 8. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 9. 已知八年级（1）班和（2）班人数相等，如图是一次考评中两班成绩的箱线图，则下列说法正确的是（ ） A. （1）班成绩比（2）班成绩集中 B. （1）班成绩的第三四分位数是80分 C. （1）班同学的成绩有超过140分的 D. （1）班和（2）班成绩的中位数相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的识别与分析，从图形中获取中位数、四分位数及极差的相关统计信息并判断即可． 【详解】解：．（1）班成绩的极差约为，（2）班成绩的极差约为，（1）班成绩波动更大，不如（2）班集中，故该选项不符合题意； ．（1）班成绩的下四分位数（箱体下边缘）是80分，第三四分位数（箱体上边缘）约为110分，故该选项不符合题意； ．（1）班成绩的最大值没有超过140分的成绩，故该选项不符合题意； ．（1）班和（2）班成绩的中位数（箱体内横线）均对应刻度100，故两班成绩的中位数相同，故该选项符合题意； 10. 如图，以的各边为边，在边的同侧分别作三个正方形，，，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 若，则四边形是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质易证得，进而得到四边形是平行四边形，利用正方形的性质求出，再逐项判断即可． 【详解】解：四边形，，都是正方形， 、、、， ， 在和中， ， ， 、， 是正方形的对角线， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故A选项正确； 四边形和都是正方形， 、， ， ， 四边形不是矩形， 故B选项错误； 四边形是平行四边形， 若要使四边形是菱形，则需要，即， ， 当时，四边形是菱形， 故C选项正确； 当时，， 平行四边形是矩形， 当时，四边形是菱形， 四边形是正方形， 故D选项正确； 综上，错误的是选项B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 某校践行“五育并举”教育理念，小方同学本学期“五育”综合评定得分（各项满分均为20分）如下表所示，最终按德智体美劳的比例分别为核算得分，他的最终得分是______分． 项目 德 智 体 美 劳 得分 20 15 14 18 20 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可得，德智体美劳的权重比为，总权重为， 最终得分为． 13. 近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设月平均增长率为，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【详解】解：设该新能源汽车月平均增长率为． 根据题意列方程得：， 解得：，， 因为增长率不能为负，不合题意，舍去． ∴该新能源汽车月平均增长率为． 14. 如图，一棵树的一段被风吹断，顶端C着地，段与地面成夹角，若段长度为4米，则顶端着地处C与大树底端A之间的距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】由含30度直角三角形的性质得出，再由勾股定理即可求出． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴（米） 在中，． 15. 如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 【答案】13 【解析】 【分析】根据正方形面积公式求出阴影部分边长为7，结合图形得出与的数量关系，求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：阴影部分的面积是49， 中间小正方形的边长为， 由图可知，中间小正方形的边长等于， ， ， ， 在中，，由勾股定理得：， 大正方形的边长是13． 16. 如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，，再结合勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，且，从而即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴． 17. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 18. 矩形ABCD中，AD=32厘米，AB=24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，则t=___秒时，点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形． 【答案】7或25 【解析】 【分析】分两种情况：①如果四边形PBQD是菱形，则PD＝BP＝32−t，在Rt△ABP中，根据勾股定理得出AB2＋AP2＝BP2，列出关于t的方程，解方程求出t的值；②如果四边形APCQ是菱形，则AP＝AQ＝CQ＝t，在Rt△ABQ中，根据勾股定理得出AB2＋BQ2＝AQ2，列出关于t的方程，解方程求出t的值． 【详解】分两种情况： ①如果四边形PBQD是菱形，则PD=BP=32﹣t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， 在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2， 即242+t2=（32﹣t）2， 解得：t=7，即运动时间为7秒时，四边形PBQD是菱形； ②如果四边形APCQ是菱形，则AP=AQ=CQ=t． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABQ=90°， 在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AB2+BQ2=AQ2， 即242+（32﹣t）2=t2， 解得：t=25，即运动时间为25秒时，四边形APCQ是菱形． 故答案为：7或25． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，运用数形结合及方程思想是解本题的关键． 三、计算题：本大题共2小题各3分，共6分． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 20. 解方程：3x2﹣2x﹣1=0． 【答案】． 【解析】 【分析】利用因式分解法将方程左边因式分解即可求解. 【详解】解：将方程左边因式分解得：（x﹣1）（3x+1）=0， ∴x﹣1=0或3x+1=0， 解得：． 四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它靠出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的芦苇，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： （1）如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； （2）求芦苇的长度． 【答案】（1）， （2）尺 【解析】 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【小问1详解】 解：由题意可得：尺，尺， 【小问2详解】 解：设芦苇长尺， 则水深尺， 在中，， 即， 解得：， 则（尺）， 答：芦苇长尺． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若该方程的一个根为2，求k的值及方程的另一根． 【答案】（1）； （2）k的值为，方程的另一根为4． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可； （2）设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为a， ∴， 解得：， ∴方程的另一个根为4； ∴， 解得：； ∴k的值为，方程的另一根为4． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练堂握根的判别式及根与系数的关系的相关知识是解题的关键． 23. 如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且，求四边形的周长． 【答案】（1）详见解析 （2）28 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，可证四边形是平行四边形，根据垂直的定义得到，于是得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形的周长公式即可得到结论． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 24. 今年国家卫生健康委员会相关负责人宣布，将正式实施为期三年的“体重管理年”行动，普及健康生活方式，帮助居民科学管理体重，为推进“体重管理年”．某校举行了“健康体重，一起行动”科普教育，并组织2000名学生参加了知识答卷，为了解科普效果，从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【数据收集与整理】成绩频数分布表： 组别 A B C D E 成绩（分） 频数 4 a 12 10 6 【分析数据】成绩在C组（）的数据（单位：分）：71，72，73，73，74，76，76，76，78，78，79，80 【解决问题】 （1）请补全频数分布直方图； （2）这次测试成绩的中位数是 分，C组成绩的众数是 分，扇形E的圆心角的度数是 ； （3）若成绩在80分以上（不含80分）为科普教育知识成绩优秀，估计该校成绩达到优秀学生有多少人？ 【答案】（1）补全频数分布直方图，如图所示． （2）77；76； （3）800人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图可得到的值，然后补全频数分布直方图； （2）将样本中成绩从低到高排列，排在中间的两个数是76，77，可得中位数，再根据众数的定义求出众数即可，用乘以组的百分比即可得到扇形的圆心角的度数； （3）用学生总人数乘以成绩在80分以上（不含80分）的百分比，计算即可得解． 【小问1详解】 解：被抽取的学生人数为， ； 补全频数分布直方图：略； 【小问2详解】 解：将40名学生的成绩从低到高排列，位于第20和第21的成绩为76和78， ∴中位数为：， C组成绩中，76出现的次数最多，故众数为76． 扇形的圆心角的度数是． 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校成绩达到优秀的学生约有800人． 25. 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF． （1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 【答案】（1）AF=DE，理由见解析 （2）四边形HIJK是正方形，图和理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF=DE． （2）根据已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一个角是直角，从而来可得到该四边形是正方形． 【小问1详解】 解：AF=DE． ∵ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°， ∵AE=BF， ∴△DAE≌△ABF， ∴AF=DE． 【小问2详解】 解：四边形HIJK是正方形．补全图形如图②，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点， ∴HI=KJ=AF，HK=IJ=ED， ∵AF=DE， ∴HI=KJ=HK=IJ， ∴四边形HIJK是菱形， ∵△DAE≌△ABF， ∴∠ADE=∠BAF， ∵∠ADE+∠AED=90°， ∴∠BAF+∠AED=90°， ∴∠AOE=90°， ∴∠KHI=90°， ∴四边形HIJK是正方形． 【点睛】此题主要考查正方形的判定的方法与性质和菱形的判定，及全等三角形的判定等知识点的综合运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $