精品解析：安徽省合肥市四十五中等校2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】A、∵，被开方数含分母，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故此选项符合题意； C、∵，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、∵，被开方数含分母，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 2. 下列是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为且二次项系数不为，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故不满足题意； 选项B：中，未说明，若则不是一元二次方程，故不满足题意； 选项D：中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故不满足题意； 选项C：中，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数，满足一元二次方程的所有条件，故满足题意． 3. 已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】∵正多边形的一个内角为， ∴该正多边形的一个外角为， ∵任意多边形的外角和为， ∴正多边形的边数为． 4. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义即可逐项判断，即可求解． 【详解】根据勾股数定义，需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方． A、，，，不是勾股数，不符合要求； B、，，且，，都是正整数，是勾股数，符合要求； C、不是正整数，不是勾股数，不符合要求； D、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合要求． 5. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 6. 当为何值时，代数式在实数范围内有意义（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：要使代数式在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数需为非负数，分式的分母不能为0， ∵二次根式的被开方数需为非负数， ，解得； 又∵分式的分母不能为0， ，解得； 综上，的取值范围是且． 7. 估计的运算结果应在（ ）． A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再用夹逼法估算无理数的范围，即可确定运算结果所在的区间． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴运算结果在到之间． 8. 某校开展“校园读书节”活动，10名学生的每日阅读打卡天数统计如表所示： 阅读打卡天数（天） 6 7 8 9 人数 1 3 4 2 则这10名学生阅读打卡天数的众数是（ ） A. 7 B. 8 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据众数的定义求解即可，众数是一组数据中出现次数最多的原数据． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的原数据，由表格可知，阅读打卡天数中，天出现的次数最多，共次， ∴这10名学生阅读打卡天数的众数为． 9. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的个数是（ ） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线相等的四边形；⑤对角线垂直的四边形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，根据中点四边形的性质，顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点得到一个四边形是矩形，据此判断即可． 【详解】解：如图，点，，，是，，，的中点， ∴是中位线，是中位线，是中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 当时，由可得， 由可得， ∴平行四边形是矩形， ∴顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点得到一个四边形是矩形． ∴①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线相等的四边形；⑤对角线垂直的四边形中对角线互相垂直的有②⑤， ∴共2个符合条件． 故选：B． 10. 对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得出，，再求出，再用裂项相消法计算求和即可． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得，， ∴， ∴， ∴ ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断绝对值内的正负性，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 根据正数的绝对值等于它本身，可得． 12. 已知样本1，2，2，3，的平均数为2，则方差是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出未知量，再代入方差公式计算即可． 【详解】解：由平均数的定义可得， 解得， 根据方差的计算公式，得． 13. 某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 14. 如图，在中，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使得点落在点处，连接． （1）当平分时，_____________； （2）线段的最小值为_____________． 【答案】 ①. 45 ②. 4 【解析】 【分析】（1）先求出的度数，再根据折叠的性质和三角形内角和，解答即可；（2）连接，过点C作交的延长线于点H，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长度，再根据勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形，， ， 平分， 由折叠的性质可知：， ； （2）当点A，F，C三点共线时，取得最小值， 如下图，连接，过点C作交的延长线于点H，则， ， ， ， ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，选择适当解法是解题的关键．化简后，选择因式分解法求方程的根即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴或， ∴，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）填空：线段___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），，；（2）直角三角形；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：（1），，AC＝5． 故答案为：，2，5； （2）△ABC为直角三角形，理由如下： ∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． 18. 如图，四边形是平行四边形，E，F是直线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由“平行四边形的对角线互相平分”得到，；然后结合已知条件证得，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解决问题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程，，，， ． ∵无论取何实数，都有， ∴， ∴， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2），方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明判别式恒大于0即可证明结论； （2）先将已知根代入原方程求出的值，再解一元二次方程得到另一个根． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：把代入原方程，得， 即， 解得． 将代入原方程，得， 因式分解得， 解得，， 因此方程的另一个根为． 20. 如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交于点，交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到四边形为平行四边形，结合线段中垂线的性质推出，进而证明； （2）根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 2026合肥城市足球联赛（合超）于3月14日震撼开赛．为了解这两个年级学生对本次合超的关注程度，现从这两个年级各自随机抽取名学生进行合超知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下（单位：分）：87，88，86，85，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_____________，并补全频数分布直方图； （2）八年级测试成绩的中位数是_____________分； （3）若测试成绩不低于85分，则认定该学生对合超比较关注．请估计该校七、八两个年级各800人对合超比较关注的学生一共有多少人，并说明理由． 【答案】（1）20， （2） （3）920 【解析】 【分析】(1)根据八年级测试成绩D组有7人，及它的百分比可得n的值，再求出七年级E组人数即可补全图形； (2)根据中位数的定义求解即可； (3)利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：因为八年级测试成绩D组有7人， 所以八年级进行合超知识测试学生数为（人），即 ， 七年级 组频数为 ， ∴频数分布直方图如下： 【小问2详解】 、、 三组的频率之和为 ， 、、、 四组的频率之和为 ， 中位数在 组，将 组数据从小到大排序为85， 85， 86， 87， 88， 88， 89， ，第10与第11两个数据分别是 85、86， 中位数为 ， 【小问3详解】 八年级 ，， 三组占 ， 共有 (人)， 七年级 ，， 三组人数为 (人)， 两年级共有 （人），占样本 ， （人）， 估计该校七、八两个年级对合超比较关注的学生一共有920 人． 七、（本题满分12分） 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1） （2）套 【解析】 【分析】（1）本题为增长率问题，设年均增长率为，利用两年后人数等于初始人数乘以增长率的平方列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． （2）先判断购买套数超过100套，再根据优惠规则表示出每套售价，结合总货款列一元二次方程，求解后根据最低售价要求舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得， 解得，(不符合题意，舍去)， 答∶该市参加健身运动人数的年均增长率为． 【小问2详解】 解∶(元)， 购买的健身器材套数大于100套， 设购买的健身器材套数为套， 根据题意，每套售价为， 列方程得， 整理得， 解得， 当时，每套售价为元，，符合题意， 当时，每套售价为元，，不符合题意，舍去， 若每套售价最低为998元，购买总套数不是正整数，不符合实际，该情况不存在， 综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套， 答∶购买的这种健身器材的套数为200套． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，为正方形的边上一动点（与、不重合），点在边上，且，连接、交于点． （1）判断线段和的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）如图2，当时，空白部分和四边形的面积之和为52，则_____________； （3）如图3，当点是边中点时，过点作于点，连接并延长交于点，若，求的长． 【答案】（1）解：，；理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）由（1）得到，根据计算即可； （3）连接，证明，得到垂直平分，推出，设，则，结合勾股定理计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 解得， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是边中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设，则， 由（1）知， ∴，， ∴， ， ∵， 即， 化简得， 解得（负值舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 4. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 当为何值时，代数式在实数范围内有意义（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 估计的运算结果应在（ ）． A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 8. 某校开展“校园读书节”活动，10名学生的每日阅读打卡天数统计如表所示： 阅读打卡天数（天） 6 7 8 9 人数 1 3 4 2 则这10名学生阅读打卡天数的众数是（ ） A. 7 B. 8 C. 3 D. 4 9. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的个数是（ ） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线相等的四边形；⑤对角线垂直的四边形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 12. 已知样本1，2，2，3，的平均数为2，则方差是____________． 13. 某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 14. 如图，在中，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使得点落在点处，连接． （1）当平分时，_____________； （2）线段的最小值为_____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）填空：线段___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 18. 如图，四边形是平行四边形，E，F是直线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 20. 如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交于点，交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求线段的长． 六、（本题满分12分） 21. 2026合肥城市足球联赛（合超）于3月14日震撼开赛．为了解这两个年级学生对本次合超的关注程度，现从这两个年级各自随机抽取名学生进行合超知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下（单位：分）：87，88，86，85，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_____________，并补全频数分布直方图； （2）八年级测试成绩的中位数是_____________分； （3）若测试成绩不低于85分，则认定该学生对合超比较关注．请估计该校七、八两个年级各800人对合超比较关注的学生一共有多少人，并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，为正方形的边上一动点（与、不重合），点在边上，且，连接、交于点． （1）判断线段和的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）如图2，当时，空白部分和四边形的面积之和为52，则_____________； （3）如图3，当点是边中点时，过点作于点，连接并延长交于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $