精品解析：安徽省马鞍山市东方实验学校2024—2025学年八年级第二学期期末考试数学试卷

马鞍山市东方实验学校2024-2025学年第二学期期末测试卷 八年级数学 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则 的值是（ ） A. 49 B. C. D. 2. 若方程 的两根为，，则 的值为：（ ） A. 2 B. C. D. 3. 如图所示，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（ ）米． A. 13 B. 15 C. 18 D. 20 4. 如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转40°，再沿直线前进8米，又向左转40°，这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（　　）米． A. 56 B. 64 C. 80 D. 72 5. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，设，，为三角形的三条高，若，，．则线段的长为（　　） A. B. 4 C. D. 8. 一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数 ，一定不会发生变化的统计量是( ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 9. 已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（ ） A. 0，﹣ B. 0， C. ﹣1，2 D. 1，﹣2 10. 如图，在中，，，是 边中线，点 ， 分别在边 和上，，于点 ，以下结论：（1）；（2）；（3）．（4）；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______. 12. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____． 13. 若关于 的方程是一元二次方程，则_________． 14. 八年级（1）班四个绿化小组植树的棵数如下：8，8，10， x ．已知这组数据的众数和 平均数相等，那么这组数据的方差是_____． 15. 多边形的各内角相等，一个外角为，则此多边形的内角和为________． 16. 在实数范围内分解因式________ 17. 小淇用正方形纸片制作成图①的七巧板，设计拼成图②的“房屋”．若正方形纸片的边长为4，则“房屋”的高度________________． 18. 如图，矩形中，，，点 、 分别是对角线 和边 上的动点，且 ，则的最小值是____________． 三．解答题（本大题共6小题，共58分） 19. 解方程、计算 （1）解方程 ； （2）计算：． 20. 已知关于x的一元二次方程(x－m)2＋2(x－m)＝0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程有一个根为4，求m的值． 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，DC的中点， 如果OE=，，求菱形ABCD的周长和面积； 连接OF，猜想：四边形OEDF是什么特殊四边形？并证明你的猜想． 22. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）． b．八年级学生成绩在这一组的是： 81 83 84 84 84 86 89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； （3）成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 23. 利民商店经销甲、乙两种商品现有如下信息 信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11； 信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元： 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元． 甲、乙两种商品的进货单价各是多少？ 据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a元，在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？ 24. 已知在平行四边形中，点 在 边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于点 ，交于点 ，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若 为的中点，，平行四边形的面积为36，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市东方实验学校2024-2025学年第二学期期末测试卷 八年级数学 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则 的值是（ ） A. 49 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简计算是解题的关键． 根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C ． 2. 若方程 的两根为，，则 的值为：（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据方程 的两根为，得，，根据进行计算即可得；掌握一元二次方程根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为， ∴， ∴， 故选：B． 3. 如图所示，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（ ）米． A. 13 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长． 【详解】解：∵，， ∴（米）． ∴树折断之前有18米． 4. 如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转40°，再沿直线前进8米，又向左转40°，这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（　　）米． A. 56 B. 64 C. 80 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴他需要走9次才会回到原来的起点，即一共走了（米）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．解题的关键是理解任何一个多边形的外角和都是360°． 5. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定 的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 7. 如图，设，，为三角形的三条高，若，，．则线段的长为（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解方程组等知识点，能灵活掌握勾股定理的应用是解决问题的关键．可设，，则根据勾股定理和已知条件可得方程组，解方程组可求的长，再根据勾股定理即可求出线段的长． 【详解】解：∵， ∴， 设，，则 ， 解得， ， 故选：D． 8. 一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数 ，一定不会发生变化的统计量是( ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项，结合方差、平均数、中位数及众数的求法逐项验证即可得到答案． 【详解】A、原来数据的方差加入一个数 后的方差一定发生了变化，不符合题意； B、原来数据的平均数是＝，加入一个数 ，平均数一定变化，不符合题意； C、原来数据的中位数是3，加入一个数 后，如果中位数一定变化，不符合题意； D、原来数据的众数是2，加入一个数 后众数仍为2，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查统计量的计算，熟记方差、平均数、中位数及众数的求法是解决问题的关键． 9. 已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（ ） A. 0，﹣ B. 0， C. ﹣1，2 D. 1，﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可. 【详解】设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根， ∴（a+1）x02﹣a x0+a2﹣a﹣2=0①， （a+1）x02﹣a x0﹣a2+a+2=0②， ∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0， 解得a=2或﹣1， 当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣； ②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0. ∴方程的解是0或﹣. 故选A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义. 10. 如图，在中，，，是 边中线，点 ，分别在边 和上，，于点 ，以下结论：（1）；（2）；（3）．（4）；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握在直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半成为解题的关键． （1）设，则从而可得到，，从而可得到，即可判定（2）由是直角三角形，则再结合可得可判定（2）；（3）先证明，可知，由直角三角形斜边上的中线的性质可知，即，据此即可判定（3）；（4）由可得，然后可证明，则，即可判定（4）． 【详解】解：如图：（1）∵在中，，，是 边中线， ∴， 设，则，， ∴， ∴． ∴，故（1）正确； （2）∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴，故（2）错误． （3）在和中， ， ∴， ∴， ∵，M是 的中点， ∴． ∴，即，故（3）正确． （4）∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴，故（4）正确． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______. 【答案】x>3 【解析】 【分析】利用二次根式的定义和分母不为零，分析得出答案即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴x-3＞0， ∴x的取值范围是：x＞3． 故答案为x＞3． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 12. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可． 【详解】解：由数轴可得：0＜a＜2， 则a+ =a+ =a+（2﹣a） =2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围． 13. 若关于 的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于 的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 八年级（1）班四个绿化小组植树的棵数如下：8，8，10， x ．已知这组数据的众数和 平均数相等，那么这组数据的方差是_____． 【答案】2. 【解析】 【分析】根据题意先确定x的值，再根据方差公式进行计算即可. 【详解】解：当x=10时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去． 当众数为8时，根据题意得， 解得x=6， 则这组数据的方差是：. 故答案为2． 【点睛】本题考查了数据的收集和处理，主要考查了众数、平均数和方差的知识，解题时需要理解题意，分类讨论． 15. 多边形的各内角相等，一个外角为，则此多边形的内角和为________． 【答案】 ##1260度 【解析】 【分析】先根据任意多边形的外角和为求出该多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算内角和即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 任意多边形的外角和为，该多边形的一个外角为，且各内角相等， ， ∴此多边形内角和． 16. 在实数范围内分解因式________ 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式2，然后再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】原式=2(-5)=2(x+)(x-)． 故答案为：2(x+)(x-)． 考点：因式分解 17. 小淇用正方形纸片制作成图①的七巧板，设计拼成图②的“房屋”．若正方形纸片的边长为4，则“房屋”的高度________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据七巧板的各个组成图形的特点，求出各部分的边长，图②中的h是小正方形的边长、平行四边形长边上的高、中三角形的直角边长的和，据此解决即可． 【详解】解：如图1，，，， ∴在中，， ∴， ∴在图2中，，，， 过点作于点M，则是等腰直角三角形，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查七巧板，勾股定理，正方形的性质，正确识别图形是解题的关键． 18. 如图，矩形中，，，点、 分别是对角线 和边 上的动点，且 ，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，使，过点 作，交 的延长线于点，连接、、，交 于点 ，根据矩形的性质及勾股定理得，，继而得到是等边三角形，证明，得到，继而得到， 当 、、 三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，然后在中，根据角的直角三角形的性质及勾股定理得到，，最后再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点作，使，过点 作，交 的延长线于点，连接、、，交 于点 ， ∴， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点、 分别是对角线 和边 上的动点， ∴， 当 、、 三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角的直角三角形，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键． 三．解答题（本大题共6小题，共58分） 19. 解方程、计算 （1）解方程 ； （2）计算：． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查一元二次方程的求解，运用因式分解法即可求解； （2）本题考查二次根式的混合运算，利用平方差公式和二次根式的乘除运算法则即可计算． 【小问1详解】 解： ，    ，  或   ， ，； 【小问2详解】 解： ，  ， ，    ， ． 20. 已知关于x的一元二次方程(x－m)2＋2(x－m)＝0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程有一个根为4，求m的值． 【答案】（1）详见解析；（2）m＝4或6 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）将x=4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明： 方法1：(x－m)2＋2(x－m)＝0，即(x－m)(x－m＋2)＝0 ∴x1＝m，x2＝m－2 ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 方法2：∵ (x－m)2＋2(x－m)＝0，即x2－2mx＋m2＋2x－2m＝0 即x2＋(2－2m)x＋m2－2m＝0 a＝1，b＝2－2m，c＝m2－2m b2－4ac＝(2－2m)2－4(m2－2m)＝4＞0． ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：方法1：∵该方程有一个根为4 ∴m＝4或m－2＝4 ∴m＝4或6 . 方法2：∵该方程有一个根为4， ∴(4－m)2＋2(4－m)＝0 即m2－10m＋24＝0解得m＝4或6 方法3：x＝＝＝， 解得x1＝m，x2＝m－2． ∴m＝4或m－2＝4 即m＝4或6 . 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=4求出m值． 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，DC的中点， 如果OE=，，求菱形ABCD的周长和面积； 连接OF，猜想：四边形OEDF是什么特殊四边形？并证明你的猜想． 【答案】（1）20，24；（2）四边形是菱形，理由详见解析. 【解析】 【分析】(1)、根据三角形中位线定理易求AB，AC的长，进而可求出菱形的周长，再求出AC的长即可求出菱形的面积；(2)、猜想：四边形OEDF是菱形，利用已知条件证明OE=OF=DF=DE即可． 【详解】、∵菱形的对角线，相交于点 ，点， 分别是，的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴菱形的周长； ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积； 、猜想：四边形是菱形，理由如下： ∵点 ，分别是，的中点， ∴， 同理可得，，，， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理的运用以及菱形面积公式的运用，属于中等难度的题型．熟记菱形的各种判定方法和各种性质是解题关键． 22. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）． b．八年级学生成绩在这一组的是： 81 83 84 84 84 86 89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； （3）成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 【答案】（1）83.5； （2）小宇， 理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前； （3）105人． 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可； （2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案； （3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案． 【小问1详解】 八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84 故中位数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 估计八年级获得优秀奖的学生有105人 【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． 23. 利民商店经销甲、乙两种商品现有如下信息 信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11； 信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元： 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元． 甲、乙两种商品的进货单价各是多少？ 据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a元，在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？ 【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元件，乙种商品的进货单价是6元件（2）当a定为或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元 【解析】 【分析】设甲种商品的进货单价是x元件，乙种商品的进货单价是y元件，根据给定的三个信息，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 当零售单价下降a元件时，每天可售出件，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】设甲种商品的进货单价是x元件，乙种商品的进货单价是y元件， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种商品的进货单价是5元件，乙种商品的进货单价是6元件． 当零售单价下降a元件时，每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：当a定为或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24. 已知在平行四边形中，点 在 边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于点 ，交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若 为的中点，，平行四边形的面积为36，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，从而得到，推出，即可得结论； （2）过点 作交 于点 ，交 于点 ，由等腰三角形的性质可得，，由同角的余角相等可得，从而即可得结论； （3）连接，过点 作于点，于点，证明，推出，证明，推出，设，，则，在中，，即，再由，求出的值，最后由进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：过点 作交 于点 ，交 于点 ， ， 由（1）可得：， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点 作于点，于点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， 在中，，即， ， 由解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一的性质、同角的余角相等、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形，学会利用参数构建方程解决问题，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $