（暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型）-2026年数学八升九暑期进阶全攻略（北师大版）

2026-2027学年数学八升九暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一三角形的证明及其应用 1 考点二不等式与不等式组 5 考点三图形的平移与旋转 8 考点四因式分解 11 考点五分式与分式方程 13 考点六平行四边形 15 考点一三角形的证明及其应用 1．在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 【答案】/76度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可； 【解答】解：如图， ∵点为和角平分线的交点， ∴，. ， ∴ ． ． 在中，根据三角形内角和定理得 ． 2．如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为________________ ．    【答案】2或3或8 【分析】根据长方形的性质得出，，求出，画出符合题意的三种情况，再根据勾股定理求出答案即可． 【解答】解：，为的中点， ， 四边形是长方形，， ，， 有三种情况：，作的垂直平分线，交于，    此时在的垂直平分线上， 即，则， ， 即此种情况不存在； 当时，由勾股定理得：； 当时，有和两种情况，过作于，    由勾股定理得：， 即；， 所以的长是2或3或8． 3．如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【答案】或（写一个即可） 【分析】先证明，结合，再进一步求解即可． 【解答】解：∵， ∴，即， 添加：，而， 在和中， ， ∴， 添加：，而， 在和中， ， ∴． 4．如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长和的周长求出的长，进而求出的长． 【解答】解：是的垂直平分线 ， 的周长为厘米 ，即 的周长为厘米 ． 5．已知中，，为的平分线．若，则的值为____________________． 【答案】 【分析】如图，作于E，于F，在上截取，连接．首先证明，设，再证明，推出，求出即可解决问题． 【解答】解：如图，作于E，于F，在上截取，连接． ∵为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点二不等式与不等式组 6．已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最大值为________． 【答案】 【分析】将和用表示，将用表示，求出的取值范围，然后根据不等式的性质求解． 【解答】解：∵，， ∴， ∴ ∵，，是三个非负数， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴的最大值为12． 7．成都“机场直通道”设置在天府机场高速成都至机场方向左侧第一车道，起于龙泉山隧道入口处，止于天府机场，站分流匝道处．请根据图中所示限速牌用数学符号表示该公路段汽车行驶速度v的范围是______．（单位：） 【答案】 【解答】解：由图可知，． 8．A，B两种食品的营养成分如图所示，选取A，B食品共4份，要使蛋白质总含量不低于，且总能量最低，则应选A食品______份． 【答案】2 【分析】设选A种食品x份，依题意列出一元一次不等式，求出，得到或3或4，再分类计算总能量，并比较大小即可． 【解答】解：设选A种食品x份，依题意，得 ， 解得， ∵， ∴，且x为整数， ∴或3或4， 当时，总能量为（千焦）， 当时，总能量为（千焦）， 当时，总能量为（千焦）， 由，得 总能量最低，则应选A食品2份． 9．如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______________． 【答案】 【分析】本题考查了图形法求不等式的解集，掌握自变量值的计算，图形法求不等式解集的方法是关键． 根据题意得到，结合图形即可求解． 【解答】解：∵正比例函数和一次函数的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 结合图形，当时，，即， 不等式的解集为 ． 10．若关于的不等式组的解集为，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的整数的和是__________． 【答案】 【分析】根据不等式组的解集可知，根据方程的解为非负整数可知且为奇数，可得的取值范围是且为奇数，所以符合条件的整数是、、，求出它们的和即可． 【解答】解：不等式组， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 不等式组的解集为， ， ， 解方程， 可得：， 关于的方程的解为非负整数， 且为整数， 且为奇数， 且为奇数， 或或， 符合条件的整数的和是． 考点三图形的平移与旋转 11．在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】点平移的坐标变化规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【解答】解：点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得点的坐标为，即． 12．如图，已知三角形，，将三角形以每秒的速度沿所在的直线向右平移，所得的对应图形为三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．设平移时间为，若要使成立，则t的值为_________．    【答案】或9 【分析】根据平移的性质得到，分以下两种情况讨论：当点移到点右侧时，当点在点，点之间时，结合图形求解即可． 【解答】解：当点在点，点之间时，如下图   ， ， ， ； 当点移到点右侧时，如下图   ， ， ， ， （秒）； 综上可得：t的值为或9． 13．如图，将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接，则_______°． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，等于旋转角，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上， ∴ ，， ∴， 在中，根据三角形内角和定理得： ， ∴，解得：． 14．如图，已知与关于点成中心对称，若，则=______． 【答案】/6厘米 【分析】根据中心对称的性质可得点是线段的中点，即，进而可得出的长． 【解答】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称， ∴， 又， ∴， ∴． 15．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有____个． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质即可完成． 【解答】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形． 故答案为：2． 考点四因式分解 16．已知多项式可分解成，则_________． 【答案】 【分析】本题先将因式分解的结果展开，再根据多项式相等对应项系数相等，即可求出的值，用到多项式乘多项式的运算法则． 【解答】解：由题意得展开右侧多项式： ， 对比等式两边对应项系数，可得 17．多项式有一个因式是，则多项式的另一个因式是______． 【答案】 【分析】根据分解因式的定义，设出未知因式，利用多项式相等时对应项系数相等求解. 【解答】解：设多项式的另一个因式为，则 将等式右边展开，得， 由多项式相等，对应项系数相等，可得 解得， 因此多项式的另一个因式为， 故答案为 18．若，，则的值是________． 【答案】 【分析】把提取公因式得，把，代入计算即可得出答案． 【解答】解：∵，， ∴ ． 19．生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_______________． 【答案】 【分析】先对多项式进行因式分解，再代入计算各因式的值，将结果按从小到大排列后拼接得到密码． 【解答】对多项式因式分解：， 当时， 计算各因式的值：，，， 将三个因式的值按从小到大排列，拼接得到六位数密码“”． 20．对任意自然数________（填“是”或“不是”）30的倍数． 【答案】是 【分析】把原式变形为，即可作出判断． 【解答】解：∵，自然数， ∴，且为自然数， ∴且为整数， ∴是30的倍数． 考点五分式与分式方程 21．若，则________． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系，设参数表示出和，再代入所求分式化简计算即可得到结果． 【解答】解：设，其中， 则，， ∴． 22．使式子有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，只需保证分母不为零，列出分母不为0的式子即可求解． 【解答】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 23．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到的值． 【解答】解：， ， 即， 移项得， 等号两边都除以2得． 故答案为． 24．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 【答案】 且 【分析】先求出分式方程的解，结合为正数且，求出的取值范围． 【解答】解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， ∵为正数，且， ∴，且， ∴且． 25．李商隐《洞庭鱼》的诗句“洞庭鱼可拾，不假更垂罾．”生动描绘了洞庭湖鱼类繁盛的景象．洞庭湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了100条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3000条鱼，发现其中有15条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里有_______条鱼． 【答案】20000 【分析】本题考查用样本估计总体的统计方法，解题思路为利用总体中标记鱼的比例与样本中标记鱼的比例相等，列方程求解池塘鱼的总数． 【解答】解：设该池塘里共有条鱼， 根据题意可得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合实际意义． 考点六平行四边形 26．在平行四边形中，，则____________． 【答案】/度 【分析】利用平行四边形对边平行、对角相等的性质，结合已知角度比例关系求解即可． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由两直线平行，同旁内角互补，可得， ∵， 设，则， 可得方程 ， 解得， 即， 又∵， ∴． 27．如图，已知梯形 中，，，，上底，腰，则下底长为_______． 【答案】 【分析】过点作交于点，得出四边形是平行四边形，则，，，进而根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理求得，根据等角对等边可得，进而求得的长． 【解答】解：如图，过点作交于点， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 28．如图，在梯形中，，对角线，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和（）等于________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点 ，利用平行四边形的判定与性质将转化为，将转化为，从而构造出等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长即可． 【解答】解：过点作，交的延长线于点 ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ，即， ∴为等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， ， ． 29．如图，点C是线段上任意一点（不与点A、B重合），分别以、为边在线段的上方作等边、，连接．点P、Q分别为、的中点，连接．若，则线段长度的范围是_________． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，取的中点，连接，易得为等边三角形，利用三角形的中位线定理，得到为等边三角形，证明，得到点为的中点，进而推出三点共线，得到当点与点（）重合时，最长，当时，最短，进行求解即可. 【解答】解：延长交于点，连接，取的中点，连接，如图， ∵等边、， ∴， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵点P、Q分别为、的中点， ∴，， ∴，为等边三角形， ∴，即为的中点， ∴， ∴三点共线，点在线段上运动， ∴当点与点（）重合时，最长， 当时，最短，此时，， 又∵点C不与点A、B重合，故点不能与点重合， ∴. 30．如图，在平行四边形中，，，．点，分别是边，的中点，连接，，则的长为________；取，的中点，分别记为点，，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，连接交于点，连接，过点作于点，根据平行四边形的性质可推出，进而得到，求出的长，再根据勾股定理可求出的长，根据平行四边形的性质得到，，，推出，，证明得到，，进而得到的值，然后根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求出的值，最后再根据三角形中位线定理即可解答． 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接交于点，连接，过点作于点， 在平行四边形中，，，， ， ， ， 又， ， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 点是的中点，是的中点， ，， ， ，， ，点是的中点， ，， ∴，， ， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学八升九暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一三角形的证明及其应用 1 考点二不等式与不等式组 2 考点三图形的平移与旋转 3 考点四因式分解 4 考点五分式与分式方程 4 考点六平行四边形 5 考点一三角形的证明及其应用 1．在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 2．如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为________________ ．    3．如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 4．如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 5．已知中，，为的平分线．若，则的值为____________________． 考点二不等式与不等式组 6．已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最大值为________． 7．成都“机场直通道”设置在天府机场高速成都至机场方向左侧第一车道，起于龙泉山隧道入口处，止于天府机场，站分流匝道处．请根据图中所示限速牌用数学符号表示该公路段汽车行驶速度v的范围是______．（单位：） 8．A，B两种食品的营养成分如图所示，选取A，B食品共4份，要使蛋白质总含量不低于，且总能量最低，则应选A食品______份． 9．如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______________． 10．若关于的不等式组的解集为，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的整数的和是__________． 考点三图形的平移与旋转 11．在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标是______． 12．如图，已知三角形，，将三角形以每秒的速度沿所在的直线向右平移，所得的对应图形为三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．设平移时间为，若要使成立，则t的值为_________．    13．如图，将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接，则_______°． 14．如图，已知与关于点成中心对称，若，则=______． 15．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有____个． 考点四因式分解 16．已知多项式可分解成，则_________． 17．多项式有一个因式是，则多项式的另一个因式是______． 18．若，，则的值是________． 19．生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_______________． 20．对任意自然数________（填“是”或“不是”）30的倍数． 考点五分式与分式方程 21．若，则________． 22．使式子有意义，则的取值范围为______． 23．已知，则的值为________． 24．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 25．李商隐《洞庭鱼》的诗句“洞庭鱼可拾，不假更垂罾．”生动描绘了洞庭湖鱼类繁盛的景象．洞庭湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了100条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3000条鱼，发现其中有15条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里有_______条鱼． 考点六平行四边形 26．在平行四边形中，，则____________． 27．如图，已知梯形 中，，，，上底，腰，则下底长为_______． 28．如图，在梯形中，，对角线，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和（）等于________． 29．如图，点C是线段上任意一点（不与点A、B重合），分别以、为边在线段的上方作等边、，连接．点P、Q分别为、的中点，连接．若，则线段长度的范围是_________． 30．如图，在平行四边形中，，，．点，分别是边，的中点，连接，，则的长为________；取，的中点，分别记为点，，连接，则的长为________． 学科网（北京）股份有限公司 $