（暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型）-2026年数学七升八暑期进阶全攻略（北师大版）

2026-2027学年数学七升八暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一整式的乘除 1 考点二相交线与平行线 2 考点三概率初步 5 考点四三角形 7 考点五图形的轴对称 10 考点六变量之间的关系 12 考点一整式的乘除 1．计算 （1）； （2）． 2．计算： （1）已知，，求代数式的值； （2）已知，求的值． 3．先化简，再求值：，其中，． 4．下面是张老师给同学们出的两道题，要求用乘法公式进行简便运算： ①计算：； ②计算：． （1）任务一：第①题采用_____公式，第②题采用____公式（填“平方差或完全平方”）； （2）任务二：任意选择一题进行解答． 5．如图（单位：），图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）这样的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子？ 考点二相交线与平行线 6．如图，直线相交于点，平分，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若比大，求的度数． 7．如图，已知，请在网格中按下列要求作图： （1）过点C作直线，使得； （2）过点B作直线，使得． 8．用三角尺和直尺画平行线． （1）如图，过点画； （2）如图，过点画，与交于点；过点画，与的延长线交于点． 9．如图，已知点在直线上． （1）如图，在中，，，，求的度数； （2）如图，点在直线上，，平分，，，求的度数； （3）如图，点在直线上，点和点都在下方，且满足，，，平分，求的度数． 10．如图1，已知直线，点在直线PQ上，点C，D在直线上，连接，，，，平分，平分，与相交于E． （1）求的度数； （2）若将图1中的线段沿向右平移到的位置，如图2所示位置，此时平分，平分，与相交于E，，，求的度数． （3）若将图①中的线段沿向左平移到如图③所示的位置，平分，平分，与相交于点E，若，，请直接写出的度数（用含α，β的式子表示） 考点三概率初步 11．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）买一张彩票，中奖． （2）在10个同类产品中，有9个合格品、1个次品．从中一次性任意抽出2个进行检验，抽到的都是次品． （3）将花生油滴入水中，油会浮在水面上． 12．在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． （1）当n为何值时，这个事件不可能发生？ （2）当n为何值时，这个事件必然发生？ 13．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果见下表： 随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率 （1）请完成上表． （2）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？ （3）如果重新抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 14．某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有，，，，，，，的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去． （1）抽到印有4的卡片的概率为______； （2）你认为这个规则公平吗？请说明理由． 15．春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． （1）某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； （2）请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 考点四三角形 16．已知的三边长分别是a，b，c． （1）若a、b、c满足．判断的形状； （2）若，且为等腰三角形．求的周长． 17．如图，已知，，与相等吗？为什么？ 18．如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． （1）求证：； （2）求的长． 19．中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． （1）小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． （2）求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 20．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． （1）如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． （2）如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． （3）如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 考点五图形的轴对称 21．如图，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合． （1）与是否平行_______；（填“是”或“否”） （2）若，则的度数为__________．（用含的代数式表示） 22．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． （1）作关于直线l对称的图形； （2）求的面积． 23．如图所示，已知：线段a，b和∠α．完成下面题目： （1）尺规作图：作，使，，；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）尺规作图：作的角平分线． 24．已知直线，直线交，于点，，点，分别为射线，射线上的点，点在直线上． （1）如图，点在线段上，，，则的度数为________； （2）作的角平分线，射线的反向延长线与的角平分线交于点． ①点在线段上时，在图中补全图形，写出与的数量关系，并说明理由； ②点在直线上时，直接写出与的数量关系． 25．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为互优角，即若，，，则称和β互为互优角．本题中所有角都是大于且小于的角 （1）若和互为互优角，当时，则 度． （2）如图1，将一长方形纸片沿着翻折，点在线段上，点在线段上，点落在点处，若与互为互优角，则求的度数． （3）如图2，将一长方形纸片沿着翻折，点在线段上，点在线段上，点落在点处，点在边上，点和点关于的对称点为点和点，且点、点和点在一直线上，则与是否可能互为互优角，若可能请求出此时大小，若不可能请说明理由． 考点六变量之间的关系 26．写出下列各问题中的常量与变量． （1）每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； （2）用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 27．通常婴儿在1~6个月生长发育得非常快，他们的体重y（单位：g）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重．已知某婴儿出生时的体重为3500g，请完成下表． x/月 1 2 3 4 5 6 y/g 28．在某些情况下，可以按照体表面积计算用药剂量．有一种针对体重在以下儿童的计算方法： 儿童体表面积（单位：）体重（单位：）， 某种药儿童用药剂量该药成人用药剂量儿童体表面积． （1）这个情境中有哪些变量？随着儿童体重的增加，其他量会发生怎样的变化？ （2）有一种药物，成人每次用药剂量为．按照上述方法，体重为的儿童每次用药剂量大约是多少？ 29．下图是某自行车行驶路程与时间之间的关系，分别计算自出发起内、内、内该自行车的平均速度． 30．周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小华家离森林公园的距离是___________米； （2）小华在新华书店停留了___________分钟； （3）买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是___________米/分； （4）本次去森林公园途中，小华一共行驶了___________米． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学七升八暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一整式的乘除 1 考点二相交线与平行线 4 考点三概率初步 11 考点四三角形 15 考点五图形的轴对称 22 考点六变量之间的关系 30 考点一整式的乘除 1．计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： （1）已知，，求代数式的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值． 先利用整式乘法公式和运算法则展开，合并同类项化简原式，再代入和的值计算即可． 【解答】解：原式 将，代入得，原式 ． 4．下面是张老师给同学们出的两道题，要求用乘法公式进行简便运算： ①计算：； ②计算：． （1）任务一：第①题采用_____公式，第②题采用____公式（填“平方差或完全平方”）； （2）任务二：任意选择一题进行解答． 【答案】（1）完全平方，平方差 （2）选做①：39204；选做②：1 【分析】（1）任务一：观察所给算式，第①题利用完全平方公式进行解答，第②题利用平方差公式进行解答； （2）①先把198写成，再利用完全平方公式进行计算即可；②把2026写成，2024写成，再利用平方差公式进行计算即可． 【解答】（1）解：任务一：第①题采用完全平方公式，第②题采用平方差公式； （2）解：任务二： 选做①： ① ； 选做②： ② ． 5．如图（单位：），图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）这样的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子？ 【答案】 【分析】要计算瓶子中的水可倒满几个杯子，实际上是计算瓶子中水的体积是杯子中水的体积的几倍，列算式计算即可． 【解答】解：由题意可知： 图1几何体的容积为：， 图2几何体的容积为：， 则需要杯子的个数：（个）． 考点二相交线与平行线 6．如图，直线相交于点，平分，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若比大，求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由角平分线的定义和对顶角相等得出，由垂直的定义得出，最后由角的和差关系即可得出答案． （2）由已知条件得出，根据角平分线的定义得出，再由得出，即可求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【解答】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵比大， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得∶， ∴． 7．如图，已知，请在网格中按下列要求作图： （1）过点C作直线，使得； （2）过点B作直线，使得． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用平移思想，直线即可； （2）根据网格特点，画出直线即可. 【解答】（1）略 （2）略 8．用三角尺和直尺画平行线． （1）如图，过点画； （2）如图，过点画，与交于点；过点画，与的延长线交于点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据平行线的定义以及题目要求画出图形即可． 【解答】（1）解：如图1，即为所求作． （2）解：如图2，，即为所求作． 9．如图，已知点在直线上． （1）如图，在中，，，，求的度数； （2）如图，点在直线上，，平分，，，求的度数； （3）如图，点在直线上，点和点都在下方，且满足，，，平分，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）或 【分析】（1）首先根据平行线的性质求出，然后结合平角求解即可； （2）过点C作，首先由平行线的性质求出，然后得到，然后由平行线的性质求出，然后结合角平分线的定义求解即可； （3）过点C作，然后分两种情况讨论：当点N在点M左边时和当点N在点M右边时，然后分别根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【解答】（1）解：∵， ∴ ∴； （2）解：如图，过点C作 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴； （3）解：过点C作，当点N在点M左边时，如图， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴， ∴； 过点C作，当点N在点M右边时，如图， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 10．如图1，已知直线，点在直线PQ上，点C，D在直线上，连接，，，，平分，平分，与相交于E． （1）求的度数； （2）若将图1中的线段沿向右平移到的位置，如图2所示位置，此时平分，平分，与相交于E，，，求的度数． （3）若将图①中的线段沿向左平移到如图③所示的位置，平分，平分，与相交于点E，若，，请直接写出的度数（用含α，β的式子表示） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用平行线的性质求出，然后根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质和角平分线的定义求出，结合三角形内角和定理可求出结果； （2）利用平行线的性质求出，然后根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质和角平分线的定义求出和，结合四边形内角和定理可求出结果； （3）过点E作，直接利用平行线的性质结合角平分线的性质得出和的度数，进而得出答案． 【解答】（1）解：∵直线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，线段沿向右平移到，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：过点E作，如图所示： ∵，线段沿向左平移到，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点三概率初步 11．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）买一张彩票，中奖． （2）在10个同类产品中，有9个合格品、1个次品．从中一次性任意抽出2个进行检验，抽到的都是次品． （3）将花生油滴入水中，油会浮在水面上． 【答案】（1） 随机事件 （2） 不可能事件 （3） 必然事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，逐一判断每个事件的所属类型即可. 【解答】（1）解： 买一张彩票，中奖结果不确定，可能中奖也可能不中奖，因此该事件是随机事件； （2）已知10个同类产品中只有1个次品，从中任意抽出2个，不可能抽到2个次品，该事件一定不会发生，因此该事件是不可能事件； （3）花生油密度小于水，因此将花生油滴入水中，油一定会浮在水面上，该事件一定发生，因此该事件是必然事件 12．在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． （1）当n为何值时，这个事件不可能发生？ （2）当n为何值时，这个事件必然发生？ 【答案】（1）或 （2）或或 【分析】本题考查了事件的分类，理解必然事件的定义是解题的关键． （1）这个事件不可能发生，摸球数小于个，即可求解； （2）这个事件必然发生，摸球数大于个，即可求解． 【解答】（1）解：由题意得 当或时，不可能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件不可能发生； （2）解：由题意得 当或或时，一定能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件必然发生． 13．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果见下表： 随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率 （1）请完成上表． （2）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？ （3）如果重新抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】（1） 随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率 0.7 0.8 0.86 0.81 0.82 0.828 0.825 （2）0.83 （3）如果重新抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会相近，但一般不会完全一样，因为随机事件的频率具有不确定性，但频率会稳定在概率附近． 【分析】（1）根据优等品率优等品数随机抽取的乒乓球数进行求解即可； （2）根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值进行求解即可； （3）根据概率的意义进行求解即可． 【解答】（1）解：略 （2）解：由表格中的数据可知，随着抽取的乒乓球数量的增加，优等品率稳定在附近， ∴在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是． （3）解：略． 14．某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有，，，，，，，的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去． （1）抽到印有4的卡片的概率为______； （2）你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）这个规则不公平， 理由如下： 由题意可知，数字比4大的卡片为5，6，7，共3张， 因此小明去的概率为， 数字不大于4的卡片共有张，因此小亮去的概率为， ，两人去的概率不相等， 这个规则不公平． 【分析】先利用概率公式计算对应事件的概率，再比较两人去的概率，概率相等则规则公平，否则不公平． 【解答】（1） 解：由题意可知，共有8张等可能的卡片，其中印有数字4的卡片有2张， 因此抽到印有4的卡片的概率为； （2）略 15．春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． （1）某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； （2）请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 【答案】（1） （2）方案二 【分析】（1）列举出所有可能即可求； （2）分别求出两种方案下平均获奖的情况即可． 【解答】（1）解：所有可能的情况有6种，①正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；②正面朝上指针指向100元，获得100元购物券；③正面朝上指针指向谢谢，不得奖；④正面朝下指针指向50元，购物券金额减半获得25元购物券；⑤正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券；⑥正面朝下指针指向谢谢，不得奖；其中一次获得50元购物券的情况有2种：分别是正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券； 故一次获得50元购物券的概率为； （2）解：由（1）知，方案一：一次获得100元购物券的情况只有1种，故一次获得100元购物券的概率为；一次获得25元购物券的情况只有1种，故一次获得25元购物券的概率为； 一次平均获奖（元）， 方案二：直接获奖40元， 则顾客选择方案二更合算． 考点四三角形 16．已知的三边长分别是a，b，c． （1）若a、b、c满足．判断的形状； （2）若，且为等腰三角形．求的周长． 【答案】（1） 是等边三角形 （2） 的周长为或 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【解答】（1）解：是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵为等腰三角形，， ∴或， 当时，三角形的三边为3，3，5， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 当时，三角形的三边为5，5，3， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 综上，的周长为或． 17．如图，已知，，与相等吗？为什么？ 【答案】相等；理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据全等三角形的对应边相等进行求解即可． 【解答】略 18．如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）的长为 【分析】（1）利用余角的性质即可证明； （2）易得，则有，由即可求解． 【解答】（1）证明：略； （2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为． 19．中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． （1）小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． （2）求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）②； （2）见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可得只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA； （2）分别作，即可求解． 【解答】（1）解：因为只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 所以小张只要从两块碎片中选择第②块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是 （2）如图所示：为所求 20．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． （1）如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． （2）如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． （3）如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）， 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【解答】（1）解：结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 （3）略 考点五图形的轴对称 21．如图，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合． （1）与是否平行_______；（填“是”或“否”） （2）若，则的度数为__________．（用含的代数式表示） 【答案】是 【分析】（1）根据折叠性质，找出相等的角度，再根据平行线的判定，平面内垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． （2）根据折叠性质，找到相等的角，利用平行线转化角，得出与的角度关系，在中，根据三角形内角和，得到与之间的关系，根据对顶角相等，求出的角度． 【解答】解：（1）沿折叠， ， ． 又沿折叠， ，且与重合， ． 长方形中， ，， ． （2）长方形中，， ，， 根据折叠性质，，，， ， ， ， ． 22．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． （1）作关于直线l对称的图形； （2）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求： （2） 【分析】（1）根据轴对称性质得到对应点，然后顺次连接可得图形； （2）根据网格特点，利用割补法求解的面积即可． 【解答】（1）略 （2）解：的面积为． 23．如图所示，已知：线段a，b和∠α．完成下面题目： （1）尺规作图：作，使，，；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）尺规作图：作的角平分线． 【答案】（1）如图，即为所作， （2）如图，即为所作， 【分析】（1）根据已知线段与角的尺规作图方法作图； （2）利用尺规作图作一个角的平分线即可． 【解答】（1）略 （2）略 24．已知直线，直线交，于点，，点，分别为射线，射线上的点，点在直线上． （1）如图，点在线段上，，，则的度数为________； （2）作的角平分线，射线的反向延长线与的角平分线交于点． ①点在线段上时，在图中补全图形，写出与的数量关系，并说明理由； ②点在直线上时，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）； （2）①补全图形如下： 数量关系是： 由（1）得， 作交于点， ， 又平分，平分， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即； ②． 【分析】（1）作交于点，结合平行线性质推得； （2）①结合角平分线的尺规作图方法先补全图形，作交于点，综合角平分线定义、平行线性质推出，，代入即可证；②分情况讨论，考虑当点在点上方时或在点下方两种情况，同样综合角平分线定义、平行线性质及图形中角的关系进行推理即可得解． 【解答】（1）解：作交于点， ， ， 又，， ， ； （2）解：①略； ②当点在点上方时，作交于点， 交于点，如下图： ， 又平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即； 当点在点下方时， 射线的反向延长线与的角平分线无交点； 综上，点在直线上时，． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质、尺规作图作角平分线、角平分线的定义、几何图形中角度的计算，解题关键是结合题意梳理出角之间的关系． 25．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为互优角，即若，，，则称和β互为互优角．本题中所有角都是大于且小于的角 （1）若和互为互优角，当时，则 度． （2）如图1，将一长方形纸片沿着翻折，点在线段上，点在线段上，点落在点处，若与互为互优角，则求的度数． （3）如图2，将一长方形纸片沿着翻折，点在线段上，点在线段上，点落在点处，点在边上，点和点关于的对称点为点和点，且点、点和点在一直线上，则与是否可能互为互优角，若可能请求出此时大小，若不可能请说明理由． 【答案】（1）或 （2）或 （3）可能， 【分析】（1）根据互优角的定义，列出绝对值方程，结合角的取值范围求解． （2）利用折叠的性质得到角相等，结合互优角的定义和平角的性质，分两种情况列方程求解． （3）利用折叠的性质得到角的等量关系，设未知数表示相关角，结合互优角的定义列方程，分情况求解并验证． 【解答】（1）解：∵和互为互优角，， ∴， ∴或， 解得：或， 又∵角大于且小于， ∴或． （2）解：∵纸片沿翻折，点落在处， ∴． ∵与互为互优角， ∴． ∵， ∴． ①当时， ， 代入得：， ， ， ∴． ②当时， ， 代入得：， ， ， ∴． 综上，或． （3）解：∵点和点关于的对称点为点和点，点、、共线，将纸片沿翻折，点落在处， ∴，． 设，， ∵， ∴， ， 解得：． ∵与互为互优角， ∴． ①当时， ， ， 解得：， ∴（不符合题意，舍去）， ②当时， ， ， 解得：． ∴， 故与可能互为互优角，． 考点六变量之间的关系 26．写出下列各问题中的常量与变量． （1）每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； （2）用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 【答案】（1）练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量 （2）矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量 【解答】（1）解： 练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量； （2）解：， 矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量． 27．通常婴儿在1~6个月生长发育得非常快，他们的体重y（单位：g）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重．已知某婴儿出生时的体重为3500g，请完成下表． x/月 1 2 3 4 5 6 y/g 【答案】 x/月 1 2 3 4 5 6 y/g 【分析】由函数关系式代入计算即可． 【解答】解：由题意可得，，其中， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 28．在某些情况下，可以按照体表面积计算用药剂量．有一种针对体重在以下儿童的计算方法： 儿童体表面积（单位：）体重（单位：）， 某种药儿童用药剂量该药成人用药剂量儿童体表面积． （1）这个情境中有哪些变量？随着儿童体重的增加，其他量会发生怎样的变化？ （2）有一种药物，成人每次用药剂量为．按照上述方法，体重为的儿童每次用药剂量大约是多少？ 【答案】（1）变量是儿童体重、儿童体表面积、儿童用药剂量；随着儿童体重增加，儿童体表面积增大，儿童用药剂量也随之增大 （2）大约 【分析】（1）找出情境中数值可发生变化的量，再根据给出的一次关系式判断变化趋势即可； （2）按照题干给出的计算步骤，先求儿童体表面积，再计算儿童用药剂量即可． 【解答】（1）解：在这个情境中，儿童体重、儿童体表面积、儿童用药剂量都可以取不同的数值，因此这三个量是变量； 儿童体表面积的计算公式中，一次项系数，因此儿童体重增加时，儿童体表面积增大， 儿童用药剂量的计算公式中，成人用药剂量为定值，因此儿童用药剂量随儿童体表面积增大而增大， 即儿童体重增加时，儿童用药剂量也增大； （2）解：由题意得，儿童体重为，成人用药剂量为， 儿童体表面积: ， 儿童用药剂量: ， 答：体重为的儿童每次用药剂量大约是． 29．下图是某自行车行驶路程与时间之间的关系，分别计算自出发起内、内、内该自行车的平均速度． 【答案】，， 【分析】从图象中读取各时间段终点对应的路程，分别计算、、内的平均速度即可． 【解答】解：由图象可知， 内的平均速度为， 内的平均速度为， 内的平均速度为． 30．周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小华家离森林公园的距离是___________米； （2）小华在新华书店停留了___________分钟； （3）买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是___________米/分； （4）本次去森林公园途中，小华一共行驶了___________米． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）从函数图象中得到纵轴代表离家距离的含义，从而得到答案． （2）根据线段水平、上升、下降分别代表的运动状态为停留、前进、返回，根据函数图像中的时间差得到停留时间． （3）在函数图象中读取信息，根据运动距离＝运动速度运动时间，计算即可得到答案． （4）根据行驶距离等于家到森林公园的距离加上折返的距离，即可得到答案． 【解答】（1）解：根据函数图象知，小华家离森林公园的距离是米； 故答案为：； （2）解：（分钟）， ∴小华在新华书店停留了分钟； 故答案为：； （3）解：小华从新华书店到森林公园的路程为（米）， 所用时间为（分钟）， ∴小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是：（米/分）； 故答案为：； （4）解：根据函数图象可知，小华一共行驶了（米）． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $