专题07图形的旋转暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题07图形的旋转暑假预习讲义 · 理解旋转、旋转中心、旋转角、对应点的定义，能准确识别图形旋转中的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。 · 掌握图形旋转的基本性质，能运用性质找出对应线段、对应角的等量关系，确定对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 · 会按照给定旋转中心、方向、角度，利用尺规画出一个图形旋转后的完整图形。 · 能结合旋转的性质进行线段长度、角度大小的计算，解决简单几何求值、证明题。 · 区分平移、轴对称、旋转三种图形变换的异同，理解旋转属于全等变换，变换前后图形全等。 · 感受旋转在生活、几何图案中的应用，建立图形变换的空间观念，体会转化思想。 · 分层预习要求 基础层：熟记旋转三要素与三条基本性质，能辨认旋转现象，找出旋转角、对应点； 提高层：规范画出旋转后的图形，利用旋转性质计算线段、角度； 拓展层：结合三角形、四边形，完成旋转类几何证明与综合计算。 预习必备 知识梳理 1.旋转相关概念 2.旋转的性质 3.旋转作图 4.三大全等变换对比 5.常见几何题型及解题思路 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.判断生活中的旋转现象 2.图形旋转而成图案的判定 3.找旋转中心.旋转角.对应点 4.旋转中的规律问题 5.由旋转的性质求解 6.旋转性质说明线段或角相等 7.旋转的性质及辨析 8.画旋转图形 9.求绕原点旋转90度点的坐标 10.求绕某点旋转90度点的坐标 11.求绕原点旋转一定角度点的坐标 12.坐标与旋转规律问题 13.线段问题 14.面积问题 15.角度问题 强化题型 解答题10题 知识点01:旋转的相关概念 1. 旋转定义 把一个平面图形绕着平面内某一个定点转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 定点叫做旋转中心； 转动的角度叫做旋转角； 图形旋转后得到的点、线段、角分别叫做原图形的对应点、对应线段、对应角。 2. 旋转三要素（判定与画图必备） 旋转中心（定点，可以在图形内部、图形边上、图形外部） 旋转方向：顺时针、逆时针 旋转角度（常见：30°、45°、60°、90°、120°、180°） 3. 旋转角判定方法 任意一组对应点与旋转中心相连形成的夹角，就是旋转角。 例：点A旋转到A'，旋转中心为O，则 ∠AOA'是旋转角；多组对应点形成的旋转角大小全部相等。 4. 特殊旋转：中心对称（旋转 180°） 把图形绕定点旋转 180° 后能与原图重合，这种旋转叫做中心对称，定点称为对称中心。 知识点02:旋转的基本性质（全等变换核心依据） 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。 4.对应线段相等，对应角相等。 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 补充拓展性质 1.旋转中心是唯一不动的点，其余点全部按同一方向、同一角度转动； 2.对应线段的夹角等于旋转角； 3.对应点连线的垂直平分线全部经过旋转中心。 知识点03:旋转作图旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 作图关键要点 1.每个顶点都要单独旋转，不可遗漏顶点； 2.旋转方向、旋转角度必须严格按照题目要求； 3.截取线段长度必须与原线段相等，保证全等。 知识点04:旋转、平移、轴对称三种全等变换对比表 变换类型 核心要素 不变量 独有特征 平移 平移方向、平移距离 图形形状、大小、线段长度、角度 所有点移动方向、距离相同，无固定不动点 轴对称 对称轴 图形形状、大小、线段长度、角度 对应点连线垂直于对称轴，被对称轴平分 旋转 旋转中心、旋转方向、旋转角 图形形状、大小、线段长度、角度 对应点到旋转中心距离相等，存在唯一定点不动 共同点：三者均为全等变换，变换前后图形全等，不改变图形大小、形状，只改变位置。 知识点05:旋转常见几何题型与解题思路 题型 1：求线段长度 解题依据：对应点到旋转中心距离相等、旋转前后对应边相等； 思路：找到旋转对应边，直接等量代换；出现等腰三角形可结合勾股定理计算。 题型 2：求角度大小 解题依据：旋转角相等、对应角相等、三角形内角和、等腰三角形性质； 思路：先找出旋转角，再利用全等、等腰三角形、外角定理推导所求角度。 题型 3：旋转几何证明（线段相等、角相等、垂直） 解题模板： 由旋转得全等，写出对应边、对应角相等； 结合已知条件推导相等线段或相等角； 利用全等、等腰、直角判定完成证明。 题型 4：旋转综合模型（高频几何模型） 半角模型：正方形中含 45° 旋转，通过旋转拼接线段构造全等； 手拉手模型：两个共顶点等腰三角形旋转，产生两组全等三角形； 等边三角形旋转：旋转 60°，构造新等边三角形； 等腰直角三角形旋转：旋转 90°，构造等腰直角三角形。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 旋转三要素 做题遗漏旋转方向、旋转中心 判断旋转必须同时看中心、方向、角度 审题先圈出旋转三要素 旋转角识别 误把图形内角当作旋转角 旋转角是「对应点与旋转中心连线」的夹角 找两组对应点连线，夹角才是旋转角 作图失误 只旋转部分顶点、截取长度不等 图形所有顶点都要旋转，截距与原长相等 作图完成后核对每组OA=OA' 概念混淆 认为旋转改变图形大小 旋转是全等变换，图形大小、形状不变 旋转只改变位置，边长、角度均不变 180° 旋转 旋转 180° 作图时不反向延长 旋转 180° 对应点、旋转中心三点共线 180° 旋转可直接延长线段截取等长 角度计算 分不清顺时针、逆时针角度差值 顺、逆时针旋转角度互补（和为 360°） 题目明确方向时严格按指定方向计算 题型1.判断生活中的旋转现象 【典例】数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【跟踪专练1】小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【跟踪专练2】如图是一款落方块游戏的某一个状态，由相同的小正方形组成的图形经过平面内的旋转或平移能落入空白部分，将该图形填满成为长方形，则应该选择的图形是（   ） A． B． C． D． 题型2.图形旋转而成图案的判定 【典例】以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【跟踪专练1】将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 题型3.找旋转中心.旋转角.对应点 【典例】我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 【跟踪专练1】如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是________ 【跟踪专练2】如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 题型4.旋转中的规律问题 【典例】下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 【跟踪专练1】有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【跟踪专练2】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型5.由旋转的性质求解 【典例】如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接．则的长为______． 【跟踪专练1】如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将绕点逆时针旋转得到，点、对应点分别为、．若，当点、、、在同一条直线上时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，，的延长线与交于点，则的长为________． 题型6.旋转性质说明线段或角相等 【典例】如图，若绕某个点逆时针旋转后与重合，若，则的长为______． .   【跟踪专练1】如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，点C落在边上的E处，则B、D两点间的距离为（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，．把绕边上的点D顺时针旋转得到，交于点E．若，则的面积是______． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点在边上，且，若，则长为（  ） A．3 B．2 C． D． 题型7.旋转的性质及辨析 【典例】在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 【跟踪专练1】下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A．B． C．D． 【跟踪专练2】下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是（　　） A． B． C．D． 题型8.画旋转图形 【典例】如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将长方形向______平移______格，再绕______，______时针旋转______，就可以将其移至方框所示的位置． 【跟踪专练2】如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 题型9.求绕原点旋转90度点的坐标 【典例】把点绕原点O逆时针旋转，则点P的对应点的坐标是______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，将点P绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为_____． 【跟踪专练3】如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，则点的对应点的坐标（   ） A． B． C． D． 题型10.求绕某点旋转90度点的坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点A按逆时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 【跟踪专练3】如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 题型11.求绕原点旋转一定角度点的坐标 【典例】点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可能是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转 【跟踪专练1】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为______． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是__________． 【跟踪专练3】如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型12.坐标与旋转规律问题 【典例】我们规定：在平面直角坐标系中，设点到原点的距离为（希腊字母读作“柔”），从轴的正半轴出发绕点逆时针旋转度角，用表示点的雷达坐标，则点的雷达坐标为________． 【跟踪专练1】已知点的坐标为，点的坐标为，则点绕点顺时针旋转后的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第秒时叶片尖点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型13.线段问题 【典例】如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【跟踪专练1】如图，将矩形纸片绕顶点B顺时针旋转得到矩形，取、的中点M、N，连接．若，．则线段长度的最大值为___________． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 题型14.面积问题 【典例】将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为______． 【跟踪专练2】如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________． 题型15.角度问题 【典例】如图将绕点C逆时针旋转得到，点B恰好落在上，若，则旋转角为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【跟踪专练1】如图，将绕点逆时针旋转110°，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为______． 【跟踪专练2】如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 解答题 1．如图，经过旋转后到达的位置，点落在的延长线上，． (1)直接写出旋转中心； (2)若相交于点，求的度数； 2．如图，已知是等边三角形，为边上一点，连接．将绕点旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接，．求证：四边形是平行四边形． 3．如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．试判定四边形的形状，并说明理由． 4．由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点A的直线，于点B． 问题探究： (1)如图（1），求证；（提示：过点C作于点C，与交于点E） (2)当绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，，，满足什么样关系式，请直接写出你的猜想； (3)在绕点A旋转过程中，当，时，则___________，___________． 5．在如图所示的网格中，线段的端点和均为格点（网格线的交点）． (1)将线段绕点逆时针旋转得到，连接； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的，并写出点．、的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．作出将绕点顺时针旋转得到的（点、的对应点分别为点、），并直接写出点、的坐标． 8．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 9．已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________； (2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由； (3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）； ②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 10．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点． . (1)若点P的坐标是，如图1，记点A旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，则点即为点A关于点P的二次关联点，求出的坐标； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，在图2中画出图形找出A旋转后对应的点和点P，并求点P的坐标； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，直接写出此时点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07图形的旋转暑假预习讲义 · 理解旋转、旋转中心、旋转角、对应点的定义，能准确识别图形旋转中的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。 · 掌握图形旋转的基本性质，能运用性质找出对应线段、对应角的等量关系，确定对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 · 会按照给定旋转中心、方向、角度，利用尺规画出一个图形旋转后的完整图形。 · 能结合旋转的性质进行线段长度、角度大小的计算，解决简单几何求值、证明题。 · 区分平移、轴对称、旋转三种图形变换的异同，理解旋转属于全等变换，变换前后图形全等。 · 感受旋转在生活、几何图案中的应用，建立图形变换的空间观念，体会转化思想。 · 分层预习要求 基础层：熟记旋转三要素与三条基本性质，能辨认旋转现象，找出旋转角、对应点； 提高层：规范画出旋转后的图形，利用旋转性质计算线段、角度； 拓展层：结合三角形、四边形，完成旋转类几何证明与综合计算。 预习必备 知识梳理 1.旋转相关概念 2.旋转的性质 3.旋转作图 4.三大全等变换对比 5.常见几何题型及解题思路 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.判断生活中的旋转现象 2.图形旋转而成图案的判定 3.找旋转中心.旋转角.对应点 4.旋转中的规律问题 5.由旋转的性质求解 6.旋转性质说明线段或角相等 7.旋转的性质及辨析 8.画旋转图形 9.求绕原点旋转90度点的坐标 10.求绕某点旋转90度点的坐标 11.求绕原点旋转一定角度点的坐标 12.坐标与旋转规律问题 13.线段问题 14.面积问题 15.角度问题 强化题型 解答题10题 知识点01:旋转的相关概念 1. 旋转定义 把一个平面图形绕着平面内某一个定点转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 定点叫做旋转中心； 转动的角度叫做旋转角； 图形旋转后得到的点、线段、角分别叫做原图形的对应点、对应线段、对应角。 2. 旋转三要素（判定与画图必备） 旋转中心（定点，可以在图形内部、图形边上、图形外部） 旋转方向：顺时针、逆时针 旋转角度（常见：30°、45°、60°、90°、120°、180°） 3. 旋转角判定方法 任意一组对应点与旋转中心相连形成的夹角，就是旋转角。 例：点A旋转到A'，旋转中心为O，则 ∠AOA'是旋转角；多组对应点形成的旋转角大小全部相等。 4. 特殊旋转：中心对称（旋转 180°） 把图形绕定点旋转 180° 后能与原图重合，这种旋转叫做中心对称，定点称为对称中心。 知识点02:旋转的基本性质（全等变换核心依据） 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。 4.对应线段相等，对应角相等。 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 补充拓展性质 1.旋转中心是唯一不动的点，其余点全部按同一方向、同一角度转动； 2.对应线段的夹角等于旋转角； 3.对应点连线的垂直平分线全部经过旋转中心。 知识点03:旋转作图旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 作图关键要点 1.每个顶点都要单独旋转，不可遗漏顶点； 2.旋转方向、旋转角度必须严格按照题目要求； 3.截取线段长度必须与原线段相等，保证全等。 知识点04:旋转、平移、轴对称三种全等变换对比表 变换类型 核心要素 不变量 独有特征 平移 平移方向、平移距离 图形形状、大小、线段长度、角度 所有点移动方向、距离相同，无固定不动点 轴对称 对称轴 图形形状、大小、线段长度、角度 对应点连线垂直于对称轴，被对称轴平分 旋转 旋转中心、旋转方向、旋转角 图形形状、大小、线段长度、角度 对应点到旋转中心距离相等，存在唯一定点不动 共同点：三者均为全等变换，变换前后图形全等，不改变图形大小、形状，只改变位置。 知识点05:旋转常见几何题型与解题思路 题型 1：求线段长度 解题依据：对应点到旋转中心距离相等、旋转前后对应边相等； 思路：找到旋转对应边，直接等量代换；出现等腰三角形可结合勾股定理计算。 题型 2：求角度大小 解题依据：旋转角相等、对应角相等、三角形内角和、等腰三角形性质； 思路：先找出旋转角，再利用全等、等腰三角形、外角定理推导所求角度。 题型 3：旋转几何证明（线段相等、角相等、垂直） 解题模板： 由旋转得全等，写出对应边、对应角相等； 结合已知条件推导相等线段或相等角； 利用全等、等腰、直角判定完成证明。 题型 4：旋转综合模型（高频几何模型） 半角模型：正方形中含 45° 旋转，通过旋转拼接线段构造全等； 手拉手模型：两个共顶点等腰三角形旋转，产生两组全等三角形； 等边三角形旋转：旋转 60°，构造新等边三角形； 等腰直角三角形旋转：旋转 90°，构造等腰直角三角形。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 旋转三要素 做题遗漏旋转方向、旋转中心 判断旋转必须同时看中心、方向、角度 审题先圈出旋转三要素 旋转角识别 误把图形内角当作旋转角 旋转角是「对应点与旋转中心连线」的夹角 找两组对应点连线，夹角才是旋转角 作图失误 只旋转部分顶点、截取长度不等 图形所有顶点都要旋转，截距与原长相等 作图完成后核对每组OA=OA' 概念混淆 认为旋转改变图形大小 旋转是全等变换，图形大小、形状不变 旋转只改变位置，边长、角度均不变 180° 旋转 旋转 180° 作图时不反向延长 旋转 180° 对应点、旋转中心三点共线 180° 旋转可直接延长线段截取等长 角度计算 分不清顺时针、逆时针角度差值 顺、逆时针旋转角度互补（和为 360°） 题目明确方向时严格按指定方向计算 题型1.判断生活中的旋转现象 【典例】数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 【跟踪专练1】小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 【跟踪专练2】如图是一款落方块游戏的某一个状态，由相同的小正方形组成的图形经过平面内的旋转或平移能落入空白部分，将该图形填满成为长方形，则应该选择的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移运动和旋转运动，掌握平移和旋转的不变性是解题的关键． 根据平移和旋转的不变性即可求解． 【详解】解：补全图中长方形如图： 则图中空白部分图形的形状和大小与B中的图形一模一样，故B中图形经过旋转和平移能落入空白部分， 故选：B． 题型2.图形旋转而成图案的判定 【典例】以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移和旋转的性质依次分析选项，即可得选出答案． 【详解】解：A.大红“双喜字”是平移，不是旋转图形，故选项符合题意； B. 三张叶片电风扇旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； C. 四叶风车旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； D. 红五星旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； 故选A． 【跟踪专练1】将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义即可求解，掌握旋转的定义是解题的关键． 【详解】 解：将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是， 故选：． 【跟踪专练2】如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 题型3.找旋转中心.旋转角.对应点 【典例】我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 【答案】90 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转角度． 根据图形的旋转性质，可知顺时针旋转得到，点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D，由此可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵顺时针旋转得到， ∴可知点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D， ∵点O是大正方形对角线的交点， ∴， ∴． 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是________ 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，找旋转角等知识点，牢记旋转角的定义是解题的关键：旋转角是指对应线段的夹角． 根据正方形的性质可得，由旋转角的定义即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ， 以点为中心把顺时针旋转得到，而旋转角是指对应线段的夹角， 就是旋转角， 旋转角的度数是， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 题型4.旋转中的规律问题 【典例】下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 【跟踪专练1】有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根据商和余数的情况确定即可． 【详解】解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置， ∵2021÷4=505余1， ∴第2021次旋转后得到的图形为第505个循环组的第一个图，是图①． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，图形变化规律，观察出四次旋转后矩形又回到初始水平位置是解题的关键． 【跟踪专练2】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 题型5.由旋转的性质求解 【典例】如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接．则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理．掌握旋转的性质是解题的关键． 由勾股定理可求，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后角度相等是解题的关键． 由旋转可得，进而可得． 【详解】解：∵绕点A旋转得到， ， ， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，将绕点逆时针旋转得到，点、对应点分别为、．若，当点、、、在同一条直线上时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ． 【跟踪专练3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，，的延长线与交于点，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，先由旋转性质得到相关线段及角度相等，进而由直角三角形全等的判定定理得到，，再由平行线的性质得到，等量代换确定，然后根据等腰三角形的判定与性质得出，最后由勾股定理及相关线段关系得到，表示出，代入对应线段长度计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点逆时针旋转得到，则， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ， 在中，， 由勾股定理可得， ， 则． 题型6.旋转性质说明线段或角相等 【典例】如图，若绕某个点逆时针旋转后与重合，若，则的长为______． .   【答案】7 【分析】由旋转的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，点C落在边上的E处，则B、D两点间的距离为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 连接，在中，根据勾股定理可得，由旋转的性质可得，，，进而可得，由邻补角互补可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出B、D两点间的距离． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 根据勾股定理可得： ， 由旋转的性质可得： ，，， ， ， 在中，，， 根据勾股定理可得： ， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，．把绕边上的点D顺时针旋转得到，交于点E．若，则的面积是______． 【答案】6 【分析】由旋转的性质可知：，，设，则，，继而根据锐角三角函数可得，列方程，解方程可得，，继而即可根据三角形面积公式即可求解． 【详解】由旋转的性质可知：，， 设，则，， ， 即：， 整理得： 解得， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查旋转的性质和锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和锐角三角函数． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点在边上，且，若，则长为（  ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 将绕点A逆时针旋转得到，根据等腰直角三角形的性质确定，再由旋转的性质得出，，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，如图所示： ∵，， ∴， ∵旋转，， ∴，， ∴， 连接， ∴， ∵， ∴， 故选：C 题型7.旋转的性质及辨析 【典例】在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可对D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项正确，不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项错误，符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C选项正确，不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【跟踪专练1】下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转、线段的定义，根据旋转及线段的定义逐一判断即可求解，掌握旋转及线段的定义是解题的关键． 【详解】解：A、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； B、该图形是由线段绕其端点顺时针旋转得到，符合题意； C、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； D、该图形是由射线绕其端点顺时针旋转得到，不合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是（　　） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据平移变换的性质，旋转变换的性质判断即可． 【详解】解：A、只能通过旋转得到，本选项不符合题意； B、只能通过轴对称得到，本选项不符合题意； C、只能通过旋转变换得到，本选项不符合题意； D、可以通过平移变换得到，也可以通过旋转变换和轴对称变换得到，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平移、旋转和轴对称的概念．熟练掌握平移、旋转和轴对称的概念是解决本题的关键． 题型8.画旋转图形 【典例】如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答 【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等， 分析选项，可得正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是． 故选：． 【点睛】本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键. 【跟踪专练1】如图，将长方形向______平移______格，再绕______，______时针旋转______，就可以将其移至方框所示的位置． 【答案】 右 5 顺 90 【分析】根据所给图示可知，长方形向右平移5格得到长方形，再将长方形绕顺时针旋转即可． 【详解】解：根据图示可知，将长方形向右平移5格，再绕，顺时针旋转，就可以将其移至方框所示的位置． 故答案为：右，5，，顺，90． 【点睛】本题考查图形的平移和旋转，解题的关键是看懂所给图示，掌握平移和旋转的特点． 【跟踪专练2】如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图—旋转变换和轴对称，解题的关键：利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到，然后根据对称的性质画出点、关于轴对称的点、，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，和即为所作， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 题型9.求绕原点旋转90度点的坐标 【典例】把点绕原点O逆时针旋转，则点P的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化——旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观；作出图形，过点P作轴于点A，作轴于点B，过点作轴于点，作轴于点，根据点A的坐标求出、的长度，根据旋转变换只改把图形的位置，不改变图形的形状与大小求出、的长度，即可得解. 【详解】解：过点P作轴于点A，作轴于点B，过点作轴于点，作轴于点，如图所示： ∵点， ∴，， ∵点绕原点O逆时针旋转得到点， ∴，， ∴点的坐标是. 故答案为：. 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，将点P绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意作轴，轴，证即可求解． 【详解】解：如图所示：作轴，轴， 由题意得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的坐标为 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，则点的对应点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型． 根据题意画出图形，即可可得结论． 【详解】解：如图，． 故选：B． 题型10.求绕某点旋转90度点的坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点A按逆时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了图形旋转后的点的坐标，根据题意和网格特点画出旋转后的线段，即可求解，数来你掌握旋转的特点是解题的关键． 【详解】 ∵将线段绕点A按逆时针方向旋转后，得到线段， ∴， ∴线段旋转后的位置如图所示， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形．利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论． 【详解】解：如图，． 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转作图． 根据旋转的性质，进行作图即可求出点旋转后的坐标． 【详解】解：由题意可得绕点按逆时针方向旋转后的图形是，如图所示， 由图象可得点旋转后的坐标是． 故答案为． 【跟踪专练3】如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】三角形旋转后，边长大小不变，根据旋转方向分为顺时针和逆时针旋转，进行两种情况的讨论画图求解即可． 【详解】解： 因为，所以时，，当时，，解得 即点，所以， 三角形旋转后形状不变，，所以 ①当绕点A顺时针旋转90°后得到，如图①，此时在第一象限，则点 横坐标是，纵坐标是，则点坐标为； ②当绕点A逆时针旋转90°后得到，如图②，此时在第三象限，则点 横坐标是，纵坐标是，则点坐标为， 所以点坐标为或， 故选： 【点睛】本题主要考查了旋转与坐标结合，如何应用旋转的性质并分类讨论是解题的关键． 题型11.求绕原点旋转一定角度点的坐标 【典例】点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可能是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转 【答案】C 【分析】本题主要考查点坐标的运用，根据题意作图，并运用勾股定理，全等三角形的判定和性质即可求解，掌握勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在第一象限，点在第二象限， ∴点绕原点逆时针旋转， 如图所示，    ∴，则， ，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点绕原点逆时针旋转得到点， 故选：C． 【跟踪专练1】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，先由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理推出，由旋转的性质可得，再求出，进而得到点在y轴上，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴点在y轴上， ∴点的坐标为， 故答案为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，等边对等角，过点A作轴于B，则，则可推出，由旋转的性质可得，则点在y轴上，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于B， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点在y轴上， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据点A的坐标求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设点B的对应点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 题型12.坐标与旋转规律问题 【典例】我们规定：在平面直角坐标系中，设点到原点的距离为（希腊字母读作“柔”），从轴的正半轴出发绕点逆时针旋转度角，用表示点的雷达坐标，则点的雷达坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：． 先计算出点到原点的距离，再求出点与x轴的正半轴的夹角，然后利用新定义表示出雷达坐标． 【详解】点到原点的距离为， 因为点在第二象限的角平分线上，所以点与轴的正半轴的夹角为， 所以点的雷达坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知点的坐标为，点的坐标为，则点绕点顺时针旋转后的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点绕非原点旋转后的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握关于旋转点对称点的坐标特征．根据A点绕点旋转180度得到点C，即点C与点A关于点中心对称，由此进行求解即可． 【详解】解：∵点绕旋转180度得到点C， ∴点C与点A关于点中心对称， 设点C的坐标为， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第秒时叶片尖点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，探索规律，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， 第1、2、3、秒的坐标为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第秒时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：D． 题型13.线段问题 【典例】如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得，即可得，根据勾股定理可得，根据旋转的性质得，，根据勾股定理即可得． 【详解】解：在中，，，， 则， ∴， ∴， ∵绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和旋转的性质． 【跟踪专练1】如图，将矩形纸片绕顶点B顺时针旋转得到矩形，取、的中点M、N，连接．若，．则线段长度的最大值为___________． 【答案】 【分析】由三角形中位线定理可求的长，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：如图，中点M，中点N，取的中点H，连接，，， ∵， ， ∴， ∵点M是的中点，点H是的中点， ∴， ∵将矩形纸片绕顶点B顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∵点H是的中点，点N是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点H在上时，有最大值，最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图： ∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴ΔBFG是等边三角形， ∴BF=BG=FG， ∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”， ∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示： ∴∠EBH=60°， ∵， ∴，EH=3， ∴EC=2EH=6， ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型14.面积问题 【典例】将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答． 【详解】解：设与交于点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， ， 阴影部分的面积． 故选：． 【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度 【跟踪专练1】如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．连接，根据旋转的性质和正方形的性质得出，，， 三点共线，三点共线，根据勾股定理得求出长，再分别求出和的面积即可求出阴影面积． 【详解】解：如图，连接，， 正方形绕点顺时针旋转到正方形，， 点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点， 在中，， ，， ， ， ， 的面积， 的面积正方形的面积， 阴影部分的面积的面积的面积 【跟踪专练2】如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案． 【详解】如图，交于点，连接 根据题意得：， ∵ ∴ ∴ ∵正方形绕点顺时针旋转到 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题是面积问题(旋转综合题)，考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质． 题型15.角度问题 【典例】如图将绕点C逆时针旋转得到，点B恰好落在上，若，则旋转角为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】C 【分析】先求出，根据旋转的性有，即可证明，即问题得解． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性有， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即旋转角度为40°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的定义的知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，将绕点逆时针旋转110°，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为______． 【答案】/35度 【分析】根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 解答题 1．如图，经过旋转后到达的位置，点落在的延长线上，． (1)直接写出旋转中心； (2)若相交于点，求的度数； 【答案】(1)旋转中心为点； (2)． 【分析】（）根据旋转的概念即可求解； （）设相交于点，根据对顶角线段可得，由旋转性质可知，最后由三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了旋转的性质，对顶角相等，三角形的内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：旋转中心为点； （2）解：设相交于点， ∴， ∵经过旋转后到达的位置， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，已知是等边三角形，为边上一点，连接．将绕点旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、图形旋转的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理和等边三角形的性质是解题的关键． 先利用等边三角形的性质得到 及相关角度，再结合旋转性质得到 ，从而推出 ；接着证明 为等边三角形，得到 ，进而推出 ；最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵将绕点旋转得到， ∴． ∴，是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．试判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是正方形，理由见解析 【分析】根据旋转的性质可得，，，从而得到．四边形有三个内角为直角，且邻边相等，可判定四边形是正方形． 【详解】解：四边形是正方形， 理由如下： ∵由绕点逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 4．由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点A的直线，于点B． 问题探究： (1)如图（1），求证；（提示：过点C作于点C，与交于点E） (2)当绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，，，满足什么样关系式，请直接写出你的猜想； (3)在绕点A旋转过程中，当，时，则___________，___________． 【答案】(1)见解析； (2)图（2）：；图（3）：； (3)，或． 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定的应用、等腰直角三角形的判定与性质等，添加恰当的辅助线证明三角形全等是解题的关键； （1）过点C作于点C，与交于点E，证，则为等腰直角三角形得，根据，即可得出结论； （2）过点C作于点C，与交于点E，证明，则为等腰直角三角形，据此即可得到，根据即可证得; （3）分两种情况，证明是等腰直角三角形，求得的长，在直角中，利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得答案， 【详解】（1）如图，过点C作于点C，与交于点E， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ，， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：如图（2）：．理由如下： 过点C作于点C，与交于点E， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴． 如图（3）：． 理由如下： 过点C作于点C，与交于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴； （3）在绕点A旋转的过程中，，有两种情况： 第一种情况： 如图①的位置，， 过点D作于点H．   ∵，，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形． ∵，， ∴． ∵，， ∴，． ∴； 第二种情况：如图②的位置，， 过点C作交于点E，过点D作交延长线于点H，与相交于点O， ∵，，， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵，，， ∴． ∵，，， ∴，， ∴． 综上所述：的长为2，的长为或． 5．在如图所示的网格中，线段的端点和均为格点（网格线的交点）． (1)将线段绕点逆时针旋转得到，连接； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了画旋转图形以及位似图形． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据题意可知是以点为位似中心，在点O的左上方将放大2倍的图象，对此画位似图形即可． 【详解】（1）解：，如下图所示： （2）解：如下图所示： 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的，并写出点．、的坐标． 【答案】画图见解析，，， 【分析】本题考查了作图−-旋转变换，坐标与图形等知识，根据旋转的性质和网格的特征作出A、B、C绕点O旋转后对应的点，连接即可． 【详解】解：如图，即为所求， ， 由图知：，，． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．作出将绕点顺时针旋转得到的（点、的对应点分别为点、），并直接写出点、的坐标． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可． 【详解】解：如图所示， ， 则． 8．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 9．已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________； (2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由； (3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）； ②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 【答案】(1)8； (2)结论成立，理由见解析； (3)①作图见解析；②（）中的结论不成立，． 【分析】（1）先利用角平分线定理得出，再利用勾股定理求出，即可得出结论； （2）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （3）①依题意即可补全图形； ②先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点是的平分线上的点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 同理，， ∴， 故答案为； （2）解：上述结论成立．理由：如图，    过点作于，于， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①补全图形如图．    ②上述结论不成立，．理由： 过点作于，于， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 10．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点． . (1)若点P的坐标是，如图1，记点A旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，则点即为点A关于点P的二次关联点，求出的坐标； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，在图2中画出图形找出A旋转后对应的点和点P，并求点P的坐标； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【分析】（1）如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，证明，则，进而可得，； （2）如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，，由，，可得，，则，进而可得； （3）设，过作轴于，连接与直线的交点为，证明，得出，，进而可得，可得与的纵坐标相同，即点的纵坐标为，再由点在直线上，可求得a的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于， 由旋转的性质可知，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，设，过作轴于，连接与直线的交点为，    则， ∵将点A绕点P顺时针旋转得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴与的纵坐标相同，即点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $