山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末考试模拟练习

**基本信息** 该模拟卷全面覆盖高一下学期核心知识，如复数、统计抽样、立体几何、概率等，解答题融合数学文化（哥德巴赫猜想）、实际应用（环保知识竞赛统计）与空间几何综合问题，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数象限、分层抽样、直观图还原等|基础概念与运算结合，如第4题以素数和概率考查数学文化| |多选题|3/18|向量基底、频率分布直方图等|选项分层设错，如第10题综合考查统计图表分析与数据意识| |填空题|3/15|随机数表抽样、向量共线、二面角|注重细节应用，如第14题通过四棱锥求二面角考查空间观念| |解答题|5/77|复数纯虚数、三角函数边角关系、棱台体积与线面角、概率比赛方案|综合性强，如第19题设计比赛方案选择与概率计算，体现应用意识与逻辑推理|

山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末考试模拟练习 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题5分）某班有男生30人，女生20人，现需要安排5人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（本题5分）如图，是水平放置的的直观图，，则（ ） A． B． C． D． 4．（本题5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ）． A． B． C． D． 5．（本题5分）已知向量为单位向量，，且，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 7．（本题5分）如图，在菱形中，，且，，若，则（    ）    A． B． C． D． 8．（本题5分）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法正确的是（  ） A．在中，已知，，，则 B．向量，，则 C．向量，可以作为平面向量的一组基底 D．已知点，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 10．（本题6分）为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（    ） A．a的值为0.030 B．抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C．2000名考生中约有10名成绩优秀 D．估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 11．（本题6分）如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点，且∥平面，则（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的正切值为2 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．底面四边形内（包含边界）有一动点Q，，则动点Q的轨迹长度为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体．选取方法是从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为_____． 66  67  70  67  14     64  05  71  95  86     11  05  65  09  68     76  83  20  37  90 57  16  00  11  66     14  90  84  45  11     75  73  88  05  90     52  27  41  14  86 13．（本题5分）已知向量，，若，则_______． 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______    四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16．（本题15分）已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 17．（本题15分）为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． (1)求a的值； (2)从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； (3)认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 18．（本题17分）如图，在三棱台中，平面ABC，，． (1)求三棱台的体积； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值． 19．（本题17分）甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末考试模拟练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C A D B D AC ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由，得 复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 2．C 【分析】先求出女生所占比例，再求出女生人数即可. 【详解】由题意得该班女生所占比例为， 应抽取的女生人数为，故C正确. 故选：C 3．A 【分析】利用斜二测画法中的原图形与直观图之间的关系进行求解即可. 【详解】由题意可知，，， 将直观图还原后如图， 则，，. 故选：A 4．C 【分析】根据古典概型概率公式计算. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，随机选取两个不同的数共有28种情况， 其中和等于30的有，这两种情况， 所以所求概率为． 故选：C. 5．A 【分析】将向量等式两边平方后代入条件求得，再利用投影向量的定义计算即得. 【详解】由两边取平方，可得， 因，，则，代入解得， 故在方向上的投影向量的模为. 故选：A. 6．D 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 7．B 【分析】以向量作为基底，用基底表示，，然后代入已知条件得,再根据即可求解. 【详解】由题意，以向量作为基底， 因为，且, 则, 所以， , 所以 , 又因为, 所以，解得， 所以. 故选：B. 8．D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 9．AC 【分析】对于A，应用正弦定理求解即可；对于B，，再计算模长即可判断；对于C，判断是否共线即可；对于D，设，分和求解即可． 【详解】对于A，，，， 由正弦定理得，即，解得，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，不共线， 即向量，可以作为平面向量的一组基底，故C正确； 对于D，点P是线段的三等分点，设， ①，即，解得，； ②，即，解得，； 则点P的坐标不可能为，故D错误． 故选：AC． 10．ABD 【分析】根据频率之和为、极差、优秀率、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 解得，A选项正确. 根据频率分布直方图，， 所以极差介于40分至60分之间，B选项正确. 90分以上频率为，对应有人，C选项错误. 成绩介于70分至90分之间的频率为， 所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，D选项正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】由面面垂直的性质定理及线面垂直的判断定理可判断A；取中点为，连接，则可得为与所成角（或补角），由面面平的判断定理及以性质定理可得平面在直角三角形中，求解即可；由题意可得三棱锥的外接球球心为的中点，求得半径为，求出外接球的表面积，即可判断C；确定动点的轨迹是以为圆心1为半径的半圆，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为平面平面，交线为， 又平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取中点为，连接， 因为为中点， 所以∥， 所以为与所成角（或补角）， 又平面，平面，所以∥平面， 又因为∥平面，，平面平面， 所以平面∥平面， 又平面平面，平面平面， 所以∥， 又平面， 所以平面平面， 所以，，， 所以，故B正确； 对于C，因为和为直角三角形， 所以三棱锥的外接球球心为的中点， 又因为 ， 所以，， 所以半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误； 对于D，连接，则为三棱锥的高， 又，， 所以, 故， 所以动点的轨迹是以为圆心1为半径的半圆，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：C选项中，得到三棱锥的外接球球心为的中点是判断C的关键. 12．20 【分析】根据随机数表读法分别读取有效的5个数字即可得出结论. 【详解】依题意从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取， 依次读取两个数字舍去大于50的数且重复的数字只取一次，可得数字为14,05,11,09,20; 所以选出来的第5个个体的编号为20. 故答案为：20 13．2 【分析】根据向量坐标的线性运算先求，利用共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有， 因为，所以， 故答案为：2. 14． 【分析】过作交于，连接，由线面垂直的性质结合勾股定理可得，则，再根据二面角的定义可知即为二面角的平面角，求即可. 【详解】如图过作交于，连接，    因为底面，底面，所以，，， 因为底面是正方形，， 所以由勾股定理可得，即， 又，，所以，所以， 因为平面平面，所以即为二面角的平面角， 因为，由勾股定理可得，，， 设，则，所以由得， 解得， 所以， 在中由余弦定理可得， 因为，所以， 即二面角的大小为， 故答案为： 15．(1) (2). 【分析】（1）根据复数的除法及乘法计算，再应用纯虚数的概念计算求参； （2）根据共轭复数及加法计算，最后根据点在第四象限，列出不等式计算求参. 【详解】（1）因为， 所以， 由是纯虚数，得， 解得， 所以； （2）由（1）知 所以 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案； （2）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 所以， 又，所以； （2）由（1）知，又， 由正弦定理， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以的取值范围是. 17．(1) (2)众数为65分，平均数为71.8分 (3)68分 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1，可求出的值； （2）根据众数和平均数的定义求解即可； （3）根据频率分布直方图计算出第40百分位数，即可得出结果. 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1， 可得，解得， （2）估计本次竞赛成绩的众数为分， 估计本次竞赛成绩的平均数为 分. （3）由题意，成绩位于前百分之六十的考生为良好，则良好认定的分数线是第40百分位数， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为， 设第40百分位数为，则， 则，解得， 因此，估计良好认定的分数线为68分. 18．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合已知求出，再利用棱台的体积公式计算得解． （2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证． （3）利用线面角的定义求解． 【详解】（1）在三棱台中，平面，平面，则， 在直角梯形中，由，得， 而，则，， 所以 ． （2）由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面． （3）连接， 由（2）知，平面，则与平面所成角即为， 在中，，，， 则，即与平面所成角的正弦值为． 19．(1)方案二被选择的可能性更大，理由： 抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，则共有36种情况，如下： ， ， 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有： ，共16种情况， 故选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为，故方案二被选择的可能性更大. (2) 【分析】（1）列举出向上的点数所有情况和点数之差的绝对值不大于1的情况，求出概率，得到结论； （2）分三类情况，利用独立事件的概率乘法公式分别计算概率，再利用互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）若选择方案一，甲获胜包括三类情况：①甲在前两局获胜，其概率为：； ②甲在第一局，第三局获胜，其概率为：；③甲在第二局，第三局获胜，其概率为：， 因三类情况两两互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $