山东省诸城第一中学2025-2026学年高一下学期期末模拟检测（一）数学试题

诸城一中2025级高一下期末模拟检测（一) 数学试题 一、单选题 1.若复数==3-2i,则复数z的虚部为() A.-2i B.2i C.-2 D.2 2.cos22°sim52°-sin22°c0s52°=() A月 B月 C. 2 D.-3 2 3.已知向量ā=(2x-1),万=(11)，若a16,则3a-2=() A.2 B.2√2 C.3 D.10 4.已知函数f(x)的周期为2，且在(0,1)上单调递减，则f(x)可以是() A.f(x)=sinnx B.f(x)=tannx C.f)=sin 兀 D.f(x)=cosnc 7 A. 2 B.- 7 9 C. D. 2 9 9 6.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点. 其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的 高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为15√3-15)m,在它们之间的地 面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼 顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为() 30 A 60 15° ▣ D M B A.30m B.20m C.30v3m D.20v3m 7.己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,下列四个命题中错误的命 题是() A.在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B B.若B写b=2,C=5,则ABc有唯解 C.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形或直角三角形 D.若(a+c-6)a8=c,则角B-胃 8.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,AD1DC,AC=2,∠ACD=日，若DB.AC= 4 则cos20等于() D 1 A.2 B. C. 1 8 D.4 二、多选题 9.已知复数=4-3i,2=2+i,则() A.92=11-2i B.23=5 C.3+32=3+3 D.三-52在复平面内对应的点位于第二象限 10.函数f()=Asn(ox+)A0,。>04号的部分图象如图所示，则下列结论正确的 是() 11匹 12 O 12 A.=I 6 B.m=1 2 C.f(x)max-f(x)min =2 D.x=匹为f(y)的零点 6 1,已知6HBC的三个内角4，B,c的对边分别是a,,c,面积为5(a+c-b), 则下列说法正确的是(). A.cosAcosC的取值范围是 11 24 B.若△ABC是锐角三角形，则的取值范围 是(1,2) C.若角B的平分线BE与边AC相交于点E,且BE=√，则a+4c的最小值为9 D.若b2=aC,且外接圆半径为2，圆心为O,P为⊙O上的一动点，则PA.PB的取值 范围为[-2,6] 三、填空题 12.在平面直角坐标系xOy中，角x的始边落在x轴正半轴上，点P(2,-1)在角a的终边上， 则c0s2a= 13.已知向量ā=(m,1),b=(m+1,-2),若向量a,b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为 14.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°，BC,AC边上的两条中线AM,BN相 交于点P,则∠MPN的余弦值为 四、解答题 15.已知i是虚数单位，复数=2-3i. (1)若复数满足三1=3z-,求； (2)若关于x的实系数一元二次方程x2+x+n=0有一个根是z,求m+n的值. 16,已知(a+p)=2,ag=号 (1)求tan&的值； sin(a+3π)-cos(π-a) (2)求 2sin 3π 0+2】 +sin(π-a)的值； (3)求sin2a+cos2au的值 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC+V3 bsinC-a-c=0 (1)求角B的值： (2)若D为AC的中点，且BD=√5，b=2,求△ABC的面积 18.已知函数f(x)=sin2x+二+2sinx 6 (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间： (2若将了国的图象向无平移个单位，得到脑数8树的图象，求西数g)在区间心引 6 上的最大值和最小值； (3)在△ABC中，Q、b、c分别是角A、B、C的对边，若f 面积为2√3，求边a的长 19.布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利布洛卡于19世纪提出，其定义如 下：设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=O,则称点P为△ABC的布洛卡 点，角日为△ABC的布洛卡角.如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A,B,C,其对 边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为日，请完成以 下问题： ⊙ P (I)诺∠ABC= 24C=24B=1,求∠APC的大小及1m0的值 (2)已知0=匹的条件下，解下列两个问题： 6 ①若S=V3,求d+b2+c2的值；②若a=2,求S 诸城一中2025级高一下期末模拟检测（一) 数学试题参考答 1.C 2.B 3.D 4.D 【分析】举例说明函数的单调性不满足要求，排除AC:结合函数f(x)=tan匹x定义域，排 除B;求函数f(x)=coSx的周期，结合余弦函数的单调性判断D; 【详解】对于选项A:因为份-，如-1， 所以函数f(x)=sin心r在(O,I)上不单调递减，不符合题意，故A错误： 对于选项B:函数f(y)=tan的定义域为~行A+习》 所以函数f(x)=tanr在(0,1)上不单调，不符合题意，故B错误； 对于选项C: 所以函数f(x) sim匹x在(0,1)上不单调递减，不符合题意，故C错误： 对于选项D:因为f(x)=c0sx的最小正周期为T=2π=2， 又因为x∈(0,1)，则r∈(0，)，且y=cosx在(0，π)内单调递减 所以函数f(x)=cosD在(O,1)上单调递减，符合题意，故D正确. 5.A 【分析】根据诱导公式和倍角公式进行角的变换，然后代入求值即可 =1-2c0s2 故选：A. 6.C【详解】 在Rt△ABM中，AM= AB AB sin∠AMB sin15o, AM CM 在△ACM中，由正弦定理得 in30°sin45o, 所以CM=4AM.sin45°AB.si45o sin30° sinl5°.sin30° 且sinl5°=sin(45°-30°）=sin45°cos30°-cos45sin30°= 2√3√216-√2 2 2-2x2 4 在Rt△DCM中， CD=CM.sinm60°=AB:sin45°-sin600 155-15xV5xg sinl5°.sin30° 22=303m.故选：C. √6-√2、 4 ×2 7.D【详解】对于A,在△ABC中，由正弦定理知，sinA>sinB-a>b, 结合大边对大角可得A>B,故命题正确，A不符合题意； 对于B.因为8=背b=2,c=5, 由正弦定理 in Bsin,得nC-csmB.5x5 b c 33 X2= 242 =sinB’ b 由b>c知，C只有一解，所以△ABC有一个解，故命题正确，B不符合题意； 对于C,因为acosA=bcosB,由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB,则sin2A=sin2B, 因为A,B∈(0，)，可知2A=2B或2A+2B=元，即A=B或A+B= 2 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意： 对于D,因为(ad2+c2-b2)tanB=V3ac, 由余弦定理得：2 ac cosanB=5c,即simB=y5 2 因为B∈(Q,,所以B=或，故命题错误，D符合题意故选：D 3 8.B 【分析】取AC的中点O,连接OD,OB,利用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律 得(Dc-0A)子结合+D元2=C,求得D-子进而有os0-子应用二倍 角余弦公式求函数值， 【详解】如图所示，取AC的中点O,连接OD,OB, B AB=BC,OA=OC, ,OB⊥AC, .'OB.AC=0, DB.AC DB-DO+OB,DO-(DA+DC), (DO+0BAC-DO.AC+OBAG-(DA+DG)C+0 -i+c)(c-网=Dc-)40. 又AD1DC,则D+DC=AG=4②， 由0@解得Dc-},则Dd- DC 3 ∴.cos6= ad4' c0s20=2c0s20-1=2x9 -81 9.AC【详解】选项A:·2=(4-3i)(2+i)=8+4i-6i-3i=8-2i+3=11-2i,A正确， 选项B:由模长公式=V2+1-√5≠5，B错误， 选项C:+52=(4-3i)+(2+i)=6-2i,+z=6+2i; 三+z2=(4+31)+(2-i)=6+2i,故1+2=+3，C正确， 选项D:-2=(4-31)-(2+i)=2-4i,对应复平面内的点为(2,4)， 实部为正、虚部为负，位于第四象限，不是第二象限，D错误， 10.AC 【分析】根据图象求得f(,=si(2x+乃，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 61 【详解】由图可知，7晋-（治-，4-1， 义TC0>0,所以®=2 将点（臣0代入f,得0=m2+月， 得0名ceZ,解得0-名+低ke乙， 又侧←行所以=石故=m2x+?故A正确，B错误： f(x)max=Lf()m=-1,所以f()ax-∫f(x)n=2,故C正确； 由停=m名+爱=吗=1=0，故x=不是f)的零点，放D错误 6 故选：AC ,AcΦ详解由题意，ScnB=口+c2-b)整理可得公+c-习 acsin B. 由余弦定理可知d2+c2-b2=2 ac cos B,:tanB=V5,B∈(0，x),B=元 3 对A,cos AcosC=cosAcos 4 m24片4》2a-〉m24周 11 .cosAcosC∈ 、24故A正确： 2元 sin -C √3 对B,a sinA 3 cosC+ 1 2 21,因为△ABC是锐角三角形， c sinC sinC sinC tanC 2 <C< 故B错误， 6 对于C,由Sm+Sas=Sac,可得gex RExsinax服如及ex ax sin受 62 62 即a+c=a,可l,a+=(a+4月)-5告号-3倍= "a c a c a c 当且仅当a=2c时等号成立，故C正确： 对D,由正弦定理b。=2R,则b=2W5,则c=公=12，由余弦定理可得 sin B a2+c2-b2=2acc0sB=ac,所以a2+c2=24, 又ac=12,所以a=c=2√5，则三角形ABC为等边三角形，取AB中点M,如图所示： M PA.PB=(PM+MA (PM+MB)=PM+PM.(MA+MB+MA.MB -PM-M2-PM-3,由OP=2,OM=1,可得PM∈[L,3],则PA.PB∈[-2,6]，故D正 确 故选：ACD 1206 【分析】利用三角函数定义求出cos,然后利用二倍角公式可得. 2 2 【详解】由题可得cosx= √5，所以c0s2a=2cosa-1=2x 2 V22+(-1 5 -1 （2刘 【详解】由a.b=m(+1)2<0,得-2<<1. 当ā/16时，有m+1=-2L,解得m=子，此时向量a乃的夹角为元， 1 防以实最a的取宜范田为-2一或（台剖 14.4T【详解】由题可得，M=)(a+A0,B丽=4C-西， 91 4B.AC-4B AC cos60-5. 所以应顾亚+40仔4c-丽=号d}衣五-2空53， 44 W+ac斗号m+4c孤4c-}810- 2 顾列-c-dac+丽-c丽 所以COMPN=-cos, AM.BN 3 4W1 MBN39xV)i91,故答案为： 4V1 91 2 2 51 15.④03=2229 (1)解：由复数=2-3i,可得=2+3i,因为二·=35-1，可得5·(：+1)=3z, 3z3(2-31)2-3i（2-31)(1+i)2-i-3i51: 所以3#13-数=1-=a-1+i1-22 (2)解：因为2-3i为实系数方程x2+x+n=0的一根， 所以(2-3i)2+m(2-3i+n=0,整理得(n+2-5)-(12+3mi=0, 所以n+2m-5=0且12+3m=0,解得m=-4,n=13.所以m+n=-4+13=9. 1 ar 【详解】)tma=tam[(a+月-月-1+an(a+A)tam6 tan(a+B)-tan B 3 1+2 3 sin (a+3r)-cos(n-a)-sina+cosa-tana+1 -7+16 (2) 2ma++mta） -2cosa+sina -2+tana-2+75. (3)sin 2a+cos2a= 2sinacosa+cos2a 2tana +1 2x7+1 3 sin2a+cosa tan2a+172+110 17.aa5 【详解】(1)由正弦定理得，a=b sinA sinB sinC' 则由bcosC+√3 bsinc-a-c=0得：sinBcosC+√3 sinBsinC-sinA-sinC=0, 在△ABC中，A+B+C=π， .sin A=sin(B+C)=sin B cosC+cos Bsin C,3sinBsinc-cos Bsin C-sinC=0, ,sinC≠0，√3sinB-cosB=1, .sin 62 B- ,B-→B= 66 (2)D为4AC的中点，BD=BA+BC), m=保+2通c+c)→2+ac+c2=12,① 由余弦定理得，c0s8-+c-b一d+C2-ac=4,② 2ac 联立①②，解得ac=4, Sc=aci=x4秋55，a4BC的面积5. 2 2 2 18.(1)π， 6 kZ:(2)最大值为2，最小值为：(3)5. 【分析】(1化简函数为fx)=sm2x-+1,由周期公式可得周期，再由 6 吾+22x-名≤空2xeZ可得减区侧 62 （2)先得到()=血2x+》+1,再求得2x+”∈[三7匹 6 666 结合正弦函数的性质可得最 值； (③)先由三角方程得A=于，再由面积公式得c=8,结合余弦定理可得解 o21=m2x1 最小正周期T=2” =， 令号+22x君空2必xez得草调减送间为红+号尔+ 6 (kez). 2由已知得)m2引1，引21g-[后] 六8-周-2,8间m-}号 3)md1子m4副 、,死人A-<6，且=， 66 又Se-csm要=5c-25,k=8, 34 根据余弦定理：-+c2-2ccos号b+c户弥， 又b+c=7,∴.a=5 【点睛】本题主要三角函数图像性质进而解三角形的综合题，涉及三角恒等变换的化简、正 弦型函数的周期单调区间及最值、余弦定理和面积公式，属于中档题 19.①∠APC-2红，am0=5(2012:②5 3 4 【详解】(1) P B 在△ABC中，ZABC=,AC=2,4B=】 所以cos∠C4B=子而<C1B为领角，故<C4B 3,所以∠ACB= 61 防以acg0,而or0,改AC=-晋-9：9号 12 又4p至0，做48=t-货-00-月 AP AC 43 在△APC中，由正弦定理有sinm日 in2π3，所以4P=43、 sin 3in, 3 AP AB 在△4PB中，由正弦定理有sim =1 -0sin，所以AP=cos6, 2 2 所以43 3 n6=c0s6,故tan6=5 4 (2)PPB c.C.AC. 1 因为0=，所以S=(PAAB+PB,BC+PC-AC,即PAAB+PB-BC+PC4C=4S, 6 4 ①S=√3，所以PA.AB+PB.BC+PCAC=4V3 在A8中，PB=MP+h8-2MPB-ces君 在△CPB中，PC2=BP2+CB-2 BP-CB-co86, 在△APC中，PAP=Cp2+AC2-2CP.AC.cos 6' 三式相加得 PA+PC2+PB2=PA+PC2+PB+AB+CB+AC2-2cos "(PA.AB+PB.BC+PC.AC), 整理得：a2+b2+c2=AB2+CB2+AC2=V3(PA·AB+PB·BC+PCAC)=V3×4V3=12. d2+c2-b2 2 又由①知a2+b2+c2=V3(PA·AB+PB·BC+PCAC)=4V3S, 所以a2+b2+c2=2W3ac 1- c+e-6, 故(d2+b+c2)2=12ac2-3(d2-b+c22, 2ac 整理得：a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0, 即(a2-b2)}+(d-c2}+(c2-b=0,所以a2=b2=c2,即a=b=c=2,