山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试模拟练习

**基本信息** 聚焦高二数学核心内容，通过函数单调性分析、正态分布应用、教师体育活动概率模型等问题，融合数学抽象与逻辑推理，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、正态分布、导数几何意义|基础概念与运算结合，如第2题体能测试正态分布应用| |多选题|3/18|排列组合、概率性质、函数奇偶性|多知识点辨析，如第9题排列组合与计数原理综合| |填空题|3/15|二项式定理、函数不等式、独立性检验|情境化设计，如第14题中学生追星独立性检验| |解答题|5/77|集合运算、二项式定理、概率分布列、导数应用|分层递进，第18题教师体育活动概率模型考查数据意识，第19题导数零点证明体现逻辑推理|

山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试模拟练习 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布，若，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（   ） A．1 B．5 C．9 D．50 3．（本题5分）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D．1 4．（本题5分）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 5．（本题5分）已知函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）设 ，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）关于样本相关系数，下列说法正确的是（ ） A．样本相关系数 B．当样本相关系数时，称成对数据成正相关 C．两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近-1 D．两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近1 8．（本题5分）已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 10．（本题6分）下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，且，则 B．若随机变量，，则， C．已知事件A，B，若，且，，则 D．有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 11．（本题6分）已知函数均为定义在上的非常值函数，且为的导函数.对且，则（ ） A． B．为偶函数 C． D． 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）设，则________. 13．（本题5分）设函数，若，则的取值范围为______． 14．（本题5分）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．（本题15分）已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的有理项． 17．（本题15分）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的图象经过原点，求在的值域. 18．（本题17分）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加. (1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望. 19．（本题17分）已知函数. (1)讨论函数的单调区间： (2)若函数有两个不同的零点， ①求的取值范围， ②证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试模拟练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D B B A D BCD ACD 题号 11 答案 BC 1．C 【详解】由题意知集合，， 故. 2．B 【分析】由正态分布的性质求出的概率，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 故500名学生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为. 故选：B. 3．C 【分析】根据导函数的几何意义，求出曲线上一点的切线斜率，根据切线斜率和导函数值求出切点坐标，进而求出线段长度. 【详解】由得，则当时，； 则曲线在点处的切线斜率为， 令，则，当时，解得， 所以，可知，则， 故选：C. 4．D 【分析】按照②③①④分步进行即可，计算出每个区域的涂色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】区域②有种选择，区域③有种选择，区域①和④各有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为种. 故选：D. 5．B 【分析】根据对数函数和二次函数的性质，列出不等式组求解即可. 【详解】由在单调递增，应满足，当时，为增函数，则， 当时，为增函数，则，且， 综上所述，解得， 故选：B． 6．B 【分析】用对立事件概率公式和全概率公式求解. 【详解】由题意，，，，， 由全概率公式， 因为，则， ，解得. 7．A 【详解】根据相关系数，可知A正确； 时，数据成负相关，时，数据成正相关，故B错误； 越接近1，线性相关性越强，越接近0，相关性越弱，故C错误； 对于D，两个随机变量线性相关越强，相关系数也可能接近，故D错误. 故选：A. 8．D 【分析】求导，判断函数的单调性、极值，作出的图象，由，得或，结合图象得解. 【详解】由，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，，， 作出的图象，如图，    令，得， 或， 当时，仅存在唯一的满足；因此，必须有两个根， 结合的图象，可得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 9．BCD 【分析】应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D. 【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有， 若甲与丙不相邻，则共有种，错； B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对； C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对； D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对. 故选：BCD 10．ACD 【分析】选项A:已知随机变量的正态分布关于对称，得出，结合题给条件求解；选项B：根据题给条件求出随机变量的期望和方差，结合，根据期望和方差的性质进行判断；选项C:根据事件的包含关系和互斥性进行计算，求出条件概率值；选项D：根据超几何分布的期望公式进行计算. 【详解】选项A：∵，∴， 因为对称轴为，∴， ∴，故A正确； 选项B：由可得，，， 对于，根据期望和方差的性质： ∴正确，错误，故B错. 选项C：∵，∴，∴ ，故C正确； 选项D：X服从超几何分布，总数,白球数,抽取数,根据超几何分布期望公式计算可得，,选项D对. 故选：ACD． 11．BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合复合函数求导及周期函数的意义，逐项计算判断. 【详解】，且， 对于A，令，得，解得或， 若，令，得，则，不符合题意，因此，A错误； 对于B，令，得，即， 则为偶函数，B正确； 对于C，令，得，即， 求导得，则，即， 又，求导得，即， 因此， ，因此，C正确； 对于D，令，得，则， 以上两式相加并结合选项C知，， 即，D错误. 故选：BC 12． 【分析】令，再将两式相加即可. 【详解】令，则， 令，则， 两式相加得，. 故答案为： 13． 【分析】变形给定不等式，再构造函数与，求出它们的最值即可得解. 【详解】函数定义域为， 不等式， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，； 设，则，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，因此， 于是，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 14． 【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令， 设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则，由，解得， 由题知应为6的整数倍， 而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用并集和补集的定义可求得集合； （2）分析可知，分、两种情况讨论，求出两种情况下的取值范围，综合可得结果. 【详解】（1）若，则，  ， 所以，故或. （2）若是的必要不充分条件，则，      因为， 所以，当时，，满足题意； 当时，由得 .     综上，的取值范围为． 16．(1)， (2)有理项有3项，分别为 【分析】（1）利用赋值法可得各项系数和，结合题意列式计算可得，由二项式系数性质可得二项式系数最大项； （2）求得展开式通项公式，令，且，计算即可. 【详解】（1）令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为， 则，解得， 展开式有5项，二项式系数最大的为第3项; （2）二项式的展开式的通项公式为， 令，且，解得， 则展开式中含的有理项有3项，分别为. 17．(1) (2) 【分析】（1）求出的解析式，再解对数不等式即可； （2）根据图象经过原点可求得的值，结合单调性即可求值域. 【详解】（1）由，得， 由，得，即， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 由，得， 即， 因为在上是增函数， 所以，即在上的值域为. 18．(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）参加活动的女教师人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望. （2）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，由结合期望的性质求得. 【详解】（1）依题意，X的可能值为0，1，2，服从超几何分布，， ，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P （2）设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为， 则的所有可能取值为3，6，的所有可能取值为6，9， ，， ，， 有X名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，， 所以. 即两个教师得分之和的期望为13分. 19．(1) 答案见详解 (2)①；②见答案详解. 【分析】（1）写出，求导，根据的正负判断的符号，进而求出单调区间. （2）①分离参数求导，有两个交点即可；②把变成整式，作差得到，把中换掉，变量集中，令，得到，求导证明即可. 【详解】（1），定义域为， 当时，，在递增； 当时，，，，， 递增，在递减. 综上所述：当时，递增区间为，无递减区间； 当时，递增区间为，递减区间为. （2）①有两个不同的零点，有两个根，即有两个根， 令，则， 则时，，递增；时，，递减， 极大值为，当时，，当时，， 的范围为. ②有两个不同的零点，， 两式作差得，，要证，及证， 即证：，同除，得到 不妨设，令，则， 则证明，即证， 令，则， 则在上增，且，，.得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $