第一章 勾股定理 单元检测 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦勾股定理，融合文化传承（赵爽弦图、《九章算术》）与实际应用（最短路径、物理实验），通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，适配八年级上册第一章单元复习，有效培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、定理验证、正方形面积关系|第3题以四幅图验证勾股定理，强化几何直观| |填空题|5/15|面积计算、规律探究|第13题探究勾股数规律，培养推理意识| |解答题|8/75|最短路径、实际问题、定理证明|第18题"引葭赴岸"体现文化传承，第22题圆柱侧面展开最短路径发展空间观念|

2026-2027-1八年级上册第一章勾股定理 单元检测 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数中，是勾股数的是(    ) A. ，， B. C. ，， D. 2.如图，中，，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能验证勾股定理的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，有一个长、宽各，高为且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点要沿外表面爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为  (    ) A. B. C. D. 6.如图，在正方形网格中有线段，，点，，在网格的格点上，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，将长方形沿着对角线折叠，点落在点处，交边于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计范围是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，分别以这个三角形的三边长为边长作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 10.中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心如图，每根雕龙木柱高为米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为          ． 12.如图，在中，，的面积为，在同侧分别以，，为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为          ． 13.勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，股与弦相差为柏拉图研究了勾为偶数，股与弦相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若此类勾股数的勾为为正整数，则其股是          ，弦是          结果均用含的式子表示． 14.在一块长为，宽为的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长的等边三角形，一只蚂蚁从点处到点处需要走的最短路程是           15.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于点，则长方形的面积为          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分如图，在一棵树的高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树的池塘处，另一只爬到树顶后直接一跃，跳到池塘的处若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树有多高 17.本小题分如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度向南偏西方向航行，乙轮船以海里时的速度航行，小时后，两艘轮船分别到达，处，此时相距海里，求乙轮船航行的方向． 18.本小题分我国经典数学著作九章算术中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺丈尺 19.本小题分如图，在中，，，，求的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作于点，设，用含的代数式表示          ； 根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； 利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 20.本小题分 如图是由两直角边长分别为，，斜边长为的四个全等的直角三角形拼成的一个边长为的正方形，根据图验证勾股定理． 解：因为大正方形的面积可以表示为          ， 又可以表示为， 所以          ， 所以                    ， 整理，得          ， 即直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方． 仿照的验证过程根据图验证勾股定理． 21.本小题分物理课上，老师带着科技小组进行物理实验同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点 求的长． 如图，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 22.本小题分如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． 现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是___________． A. B. C. D. 金属丝的长为          ． 如图，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？杯壁厚度不计 23.本小题分著名的赵爽弦图如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理； 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，且测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 在第问中若时，，，，，设，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027-1八年级上册第一章勾股定理 单元检测 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列各组数中，是勾股数的是() A安子吉 B.0.5,1.2,1.3 C.32,42,52 D.5,12,13 2.如图，△ABC中，AC=3,BC=4,LC=90°，则AB2的值为() A.5 B.9 C.16 D.25 3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能验证勾股定理的是() b ab a a A B b a 第1页，共8页 4.如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A,B,D的面积依次为6， 10,24,则正方形C的面积为() D A.4 B.6 C.8 D.12 5.如图所示，有一个长、宽各2m,高为3m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要沿外表面爬到顶 点B,那么这只昆虫爬行的最短路程为() A.3m B.4m C.5m D.6m 6.如图，在正方形网格中有线段AC,BC,点A,B,C在网格的格点上，则∠1+∠2=() C A 2 B A.35° B.45° C.55 D.65° 7.如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，点C落在点C'处，BC'交边AD于点E.若AD=8,AB=4, 则DE的长为() D B A.3 B.4 C.5 D.6 第2页，共8页 8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸 管露在罐外部分α的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是() A.4≤a≤5 B.3≤a≤4 C.2≤a≤3 D.1≤a≤2 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以这个三角形的三边长为边长作正方形，面积分别记为S1, S2,S3,若S1+S3-S2=32,则阴影部分的面积为() A S3 S B S2 A.8 B.14 C.16 D.18 10.中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号己经深入人心.如图，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为 1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点A沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点D,则雕刻在木柱上的巨 龙长至少为() D B A A.7.5米 B.8米 C.9米 D.10米 第3页，共8页 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图所示的一块地，己知∠ADC=90°，AD=12m,CD=9m,AB=25m,BC=20m,则这块地 的面积为m2. ◇D 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的面积为24cm2,在AB同侧分别以AB,BC,AC为直径作 三个半圆，则阴影部分的面积为_c2. 13.勾股定理最早出现在商高的绸髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：3,4,5： 5,12,13;7,24,25;,这类勾股数的特点是：勾为奇数，股与弦相差为1.柏拉图研究了勾为偶数， 股与弦相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正 整数)，则其股是一，弦是（结果均用含的式子表示） 14.在一块长为22m,宽为10m的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大 于场地宽AD,从正面看木块是边长2的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程 是m. D 15.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票.如 图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=3,AB=4,分别以AB,AC,BC为边向外作正方形ABMN,正 方形ACKL,正方形BCDE,并按如图所示作长方形HFPQ,延长BC交PQ于点G,则长方形CDPG的面积 第4页，共8页 为 M B EAAAE-APX.2508 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)如图，在一棵树的10m高D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接一跃，跳到池塘的A处若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树有多高？ B 17.(本小题9分)如图，甲、乙两艘轮船同时从港口0出发，甲轮船以15海里/时的速度向南偏西45°方向 航行，乙轮船以20海里/时的速度航行，2小时后，两艘轮船分别到达A,B处，此时相距50海里，求乙 轮船航行的方向. 北 →东 18.(本小题9分)我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题 目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是： 有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰 好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈=10尺) 第5页，共8页 D B A 19.(本小题9分)如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程. B D (1)作AD L BC于点D,设BD=x,用含x的代数式表示CD=: (2)根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积. 20.(本小题9分) 6 ① ② (1)如图①是由两直角边长分别为a,b,斜边长为c的四个全等的直角三角形拼成的一个边长为c的正方 形，根据图①验证勾股定理. 解：因为大正方形的面积可以表示为一， 又可以表示为4×亏ab+(b-a)2, 所以 _=4×2ab+6-a2, 所以一=一’ 第6页，共8页 整理，得， 即直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方， (2)仿照(1)的验证过程根据图②证勾股定理 21.(本小题10分)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑 轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动 来调节物体C的升降.实验初始状态如图1所示(AC1BC),物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距 离是6dm,绳长(AB+AC)为18dm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A、滑块B和物体C的大 小忽略不计，都看作一点) B B 图1 图2 (1)求AB的长， (2)如图2，若滑块B水平向左滑动9dm,求物体C上升的高度. 22.(本小题10分)如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A,C嵌有一 圈长度最短的金属丝， ① ② (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 人☑ (2)金属丝的长为 第7页，共8页 (3)如图②，圆柱形玻璃杯的高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的 最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 23.(本小题10分)著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长 都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为2，也可以表示为4×b+(a-b)2,由此推导出重 要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2, (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种 原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直 线上)，并新修一条路CH,且CH1AB.测得CH=1.2千米，HB=0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千 米？ (3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH1AB,AC=4,BC=5,AB=6,设AH=X,求x的值. D H b ------------ E B 图① 图② 图3 第8页，共8页参考答案 1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】A 10.【答案】A 11.【答案】96 12.【答案】24 13.【答案】m2-1 m2+1 14.【答案】26 15.【答案】12 16.【答案】解：设树高为xm,则CD=(x-10)m, 由题意可知，BD+AB=10+20=30(m), .∴.AC=30-CD=30-（x-10)=40-x)m :△ABC为直角三角形， AC=AB+BC2 (40-x=20+x 解得x=15】 答：树高为15m. 17.【答案】解：根据题意得OA=15×2=30(海里).OB=20×2=40海里)， 第1页，共1页 AB=50海里. .30+40=2500,502=2500, ..OA+OB=A B. ..∠AOB=90°. .甲轮船向南偏西45°方向航行， ∴.乙轮船向南偏东45°方向航行. 18.【答案】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长度为(x+1)尺，根据题意可得X+5=(x+1.解得x=12' x+1=13. 答：水深为12尺，芦苇的长为13尺. 19.【答案】【小题1】 14-x 【小题2】 由勾股定理得AD=AB2-BD2=15-XAD2=AC2-CD2=132-(14-x2 152-x2=132-(14-x,解得x=9 【小题3】 AD-=Ar-BD=12.BC:AD-×14×2=84. 20.【答案】【小题1】 c2 2ab+b2-2ab+a2 c2=a2+b2 【小题2】 因为大正方形的面积可以表示为a+b,又可以表示为c2+4×b,所以a+bP=d+4×ab,所以 a+b2+2ab=c2+2ab,所以a+b=c2,即直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 第2页，共1页 21.【答案】【小题1】 解：由题意，得BC=6dm,AB+AC=18dm.设AB=xdm,则AC=(18-x)dm.由勾股定理，得 BC2+AC2=AB,即62+(18-x=X解得x=10.答：AB的长为10dm 【小题2】 由题意，得BE=9dm,CD⊥BD,.∴.BD=BE+ED=9+6=15(dm): 由(1)可得，AD=18-10=8(dm). 在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD=289,∴.AB=17dm. 17-10=7(dm). 答：物体C上升的高度为7dm. 22.【答案】【小题1】 A 【小题2】 20 【小题3】 如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B',连接AB'交EF于点M,易知AB'为最短路程作 B'D⊥AF,交AF的延长线于点D, B D 易得B'D=方×16=8cm.AD=A+DF=9-4+1=6am,在Rt△ADB'中，由勾股定理得 AB'=10cm,即蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为10cm. 第3页，共1页 23.【答案】解：(1形ABCD的面积为a+b(a+b=2d+ab+, 2 也可以表示为ab+号b+号， 2 2 ab+j-a+@b+b. 即a2+b2=c2: (2).CA=x ∴.AH=x-0.9 在Rt△ACH中，CA2=CH+AH2, 即x2=1.22+(x-0.92 解得：x=1.25, 即CA=1.25, CA-CH=1.25-1.2=0.05(千米 答：新路CH比原路CA少0.05千米： (3设AH=X则BH=6-X 在Rt△ACH中，CH=CA2-AH2, 在Rt△BCH中，CH=CB-BH, ∴.CA2-AH2=CB2-BH2 即4-X2=52-(6-x2 、9 解得：X=4 第4页，共1页