精品解析：上海市实验学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

上海市实验学校2025学年第二学期高二数学期末考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 设全集，，则________ 2. 不等式的解集为______. 3. 的展开式中的系数为_______． 4. 若，则的最小值是______. 5. 已知，则_____． 6. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 7. 满足方程的的值为______ 8. 一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为_______． 9. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______． 10. 设集合，的子集满足，，这样的子集的个数为________． 11. 设27元集合，，、分别为空间直角坐标系轴、 轴、轴正方向的单位向量．是中所有元素的一个排列，满足，这样的排列的个数为________．（结果用数字作答） 12. 设随机变量，（其中，表示、中的较大者）．已知的均值，则的方差________． 二、（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知四组不同数据的两个变量的线性相关系数如下：数据组①的相关系数；数据组②的相关系数；数据组③的相关系数；数据组④的相关系数.则下列说法正确的是（ ） A. 数据组①对应的数据点都在同一直线上 B. 数据组②中的两个变量线性相关性最强 C. 数据组③中的两个变量线性相关性最强 D. 数据组④中的两个变量线性相关性最强 14. 已知，则“”是“事件与事件互相独立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知、，且，对任意均有，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 16. 已知定义在上的函数的导函数为．有以下两个结论： ①对任意实数，均存在实数、，满足且； ②若在上为严格增函数，且不等式的解集为，则函数在上为增函数． 则下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①不正确，②正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②不正确 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 上海市实验学校进行一次校内常规体检后，该校的数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86． （1）求该组数据的极差和第25百分位数； （2）依据体检数据，求得这10名学生体重 （单位：）关于身高 （单位：）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1）． 18. 如图，在三棱柱中，，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 设函数（，且）． （1）设，，，求的极值； （2）设为偶数，，，求的最小值和最大值； （3）设，若对任意，，都有，求的取值范围． 20. 在上海市实验学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． （1）时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的概率； （2）时，若两人共进行（，）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由． 21. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． （1）若，求的元素个数及； （2）当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市实验学校2025学年第二学期高二数学期末考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 设全集，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由补集的定义求解. 【详解】全集，，则. 故答案为：. 2. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】移项，通分即可求解； 【详解】由， 可得， 即，即， 所以， 所以解集为：， 故答案为： 3. 的展开式中的系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项定理展开通项，求得的值，进而求得系数． 【详解】根据二项定理展开式的通项式得 所以 ，解得 所以系数 故答案为： 【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题． 4. 若，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用“添项”的方法，将已知条件改写为符合基本不等式的形式，即可求解. 【详解】根据题意知， 当且仅当，即时，上式等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 5. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义以及基本初等函数的导数即可求解. 【详解】由题意得：，所以. 6. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据古典概型计算即可 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 7. 满足方程的的值为______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数相等的条件列方程求解即可. 【详解】由可得， 或，化简得或， 解得：或；或， 因为是非负整数，则， 解不等式组得，所以或. 8. 一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为_______． 【答案】40 【解析】 【详解】设B层中的个体数为，则，则总体中的个体数为 9. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得. 【考点】导数的几何意义 【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同． 10. 设集合，的子集满足，，这样的子集的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求使成立的的子集的个数，以及的集合的个数，即可求解. 【详解】先求使成立的的子集的个数， 在中取出至少一个元素 的方式有7种，而集合的子集有个， 因此， 再扣除其中使的集合的个数，这些取法中均被取出，而集合的子集有个，因此, 从而满足条件的子集的个数为 11. 设27元集合，，、分别为空间直角坐标系轴、 轴、轴正方向的单位向量．是中所有元素的一个排列，满足，这样的排列的个数为________．（结果用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先计算，再令，，分类讨论的取值和的个数的所有情况，结合计数原理和排列知识可求. 【详解】由题意得，， 令，， 因为，所以的取值和的个数有以下几种情况： 的值 的个数 的值 的个数 含个 个 各有个 个 含个，个 个 含个 个 含个，个 个 含个 个 含个，个 个 含个，个 个 含个，个 个 含个，个 个 故从小到大排列依次为， 其对应的的个数依次为， 故符合题意的排列的个数为 12. 设随机变量，（其中，表示、中的较大者）．已知的均值，则的方差________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态分布的性质以及与的关系即可解. 【详解】令 ∵，∴，。 ∴，. ∵， ∴当时，；当时，. ∴， . ∴. 二、（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知四组不同数据的两个变量的线性相关系数如下：数据组①的相关系数；数据组②的相关系数；数据组③的相关系数；数据组④的相关系数.则下列说法正确的是（ ） A. 数据组①对应的数据点都在同一直线上 B. 数据组②中的两个变量线性相关性最强 C. 数据组③中的两个变量线性相关性最强 D. 数据组④中的两个变量线性相关性最强 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关系数的绝对值越接近于，两个变量线性相关性越强可得答案. 【详解】因为，所以数据组①中的两个变量不是线性相关关系，对应的数据点不可能都在同一直线上，故A不正确； 因为最大，所以数据组②中的两个变量线性相关性最强，故B正确，C D不正确. 故选：B 14. 已知，则“”是“事件与事件互相独立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由条件概率定义：，， 充分性证明，由，得到， 即， 展开得到， 即， 根据概率加法公式， 所以， 所以事件与事件互相独立，充分性成立； 必要性证明，由事件与事件互相独立，则事件与事件互相独立， 得到，， 所以， ， 所以，必要性成立. 所以“”是“事件与事件互相独立”的充要条件. 15. 已知、，且，对任意均有，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】推导出与符号相同，构造函数，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项. 【详解】，故与的符号相同， 当时，；当时，. 所以，与的符号相同. ， 令，所以，当时，恒成立， 令，可得，，. ，分以下四种情况讨论： 对于A选项，当，时，则，当时，，不合乎题意，A选项错误； 对于B选项，当，时，则， 若，若、、均为正数， ①若，则，当时，，不合乎题意； ②若，则，当时，，不合乎题意. ③若、、都不相等，记，则当时，，不合乎题意. 由上可知，，当时，若使得恒成立，则，如下图所示， 所以，当，时，且，时，当时，恒成立； 对于C选项，当，时，则， ①若时，则当时，，不合乎题意； ②当时，构造函数，其中，， 函数在上单调递增，则，. 当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误； 对于D选项，当，时，则，此时、、为正数. ①当、、都不相等时，记，当时，，不合乎题意； ②若，则，当时，，不合乎题意； ③当时，，当时，， 不合乎题意. 所以，D选项错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）分析与同号； （2）对、、的大小关系进行讨论，结合穿针引线法进行验证. 16. 已知定义在上的函数的导函数为．有以下两个结论： ①对任意实数，均存在实数、，满足且； ②若在上为严格增函数，且不等式的解集为，则函数在上为增函数． 则下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①不正确，②正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②不正确 【答案】B 【解析】 【分析】举反例：如，计算可判断①；利用反证法计算可判断②. 【详解】对于①，如，， 当时，，得， 在上单调递增，所以当时，， 此时不存在实数、，满足且，故①不正确； 对于②假设存在，使得， 若，由在上为严格增函数， 所以当时，都有，即在上单调递减； 此时，当时，， 则必然存在使得，这与不等式的解集为矛盾； 若，由在上为严格增函数， 所以当时，都有，即在上单调递减； 若不等式的解集为，则， 所以当时，，这与不等式的解集为矛盾； 综上：不存在的点，即对恒成立，所以函数在上为增函数，故②正确. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 上海市实验学校进行一次校内常规体检后，该校的数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86． （1）求该组数据的极差和第25百分位数； （2）依据体检数据，求得这10名学生体重 （单位：）关于身高 （单位：）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1）． 【答案】（1）极差为36，第25百分位数为55 （2） 【解析】 【分析】（1）将这组数据从小到大排列，结合极差和百分位数的计算方法，即可求解； （2）先求得这10名学生体重的平均数为，结合回归直线方程经过样本中心，即可求解. 【小问1详解】 解：把这组数据从小到大排列为：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88， 共有10个数据，其中数据的极差为， 因为，所以第25百分位数为第3个数，即为55. 【小问2详解】 解：根据统计数据，这10名学生体重的平均数为， 因为回归直线方程为经过样本中心，且， 所以. 18. 如图，在三棱柱中，，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，交于点，连接， 为的中点，在平行四边形中为的中点， 是的中位线，可得， 平面，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，设点的坐标为，由平面，则即可求出，从而确定点坐标，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，，又， 故以点C为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 设点的坐标为，则，， 因为平面，平面，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 所以 ，则， 又，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 设函数（，且）． （1）设，，，求的极值； （2）设为偶数，，，求的最小值和最大值； （3）设，若对任意，，都有，求的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）最大值为，最小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到的单调性，进而求得函数的极值； （2）根据题意，求得，，联立方程组，求得的表达式，结合不等式的性质，即可求解； （3）先转化为在上恒成立，令函数，进而转化为在上恒成立，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 当，，，可得，则， 令，即，可得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 当为偶数时，且，可得，， 联立方程组，可得， 所以， 因为，，即， 可得，所以， 即，所以的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 当时，对于任意，都有， 等价于在上满足， 因为是常数，不影响的值，所以只需研究函数， 即在上恒成立，且， ①当时，，单调递增， 所以， 则，解得，所以； ②令，即，解得，即， 若，即，可得，此时在上恒成立， 则，解得，所以； 若，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极大值为，极小值为， 且 所以函数的最大值为，最小值为， 又因为，可得，所以，， 则最值差为， 即当时，恒成立， （i）先研究最小值的集合， 由， 当时，可得，则； 当时，可得，则； 当时，可得，则； （ii）在研究最大值的集合， 由， 当时，可得，则； 当时，可得，则； 当时，可得，则， 所以当时，， 满足，即恒成立； 当时，，满足， 即恒成立； 当时， 满足，即恒成立， 所以当时，满足恒成立， 即当时，恒成立， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 20. 在上海市实验学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． （1）时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的概率； （2）时，若两人共进行（，）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），，，. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用进行5局比赛，两人所赢局数之差的绝对值为，即为甲赢3局乙赢2局或甲赢2局乙赢3局可解. （2）分析前局甲赢k局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据k的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1. （3）利用全概率公式求得，求出，求出，利用基本不等式得证. 【小问1详解】 总共进行5局，是甲乙赢局数之差的绝对值，即为甲赢3局乙赢2局、甲赢2局乙赢3局. 所以. 【小问2详解】 当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为；； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故，，，. 【小问3详解】 由全概率公式得 因为，所以，.所以. 因为，所以，即. 21. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． （1）若，求的元素个数及； （2）当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 【答案】（1）的元素个数为2， （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（i）知，，所以， 此时，，， 由（i）知，在单调递增， 所以当时，，所以，即， 故若，则，因此若存在正整数使得，则，从而， 重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，， 下面我们先证明当时，， 设，， 所以，所以在单调递减， 所以，即当时，， 从而当时，， 从而，即， 故，即， 由于，，所以，，故， 故时，， 所以，. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，令，利用导数求出函数的单调性，即可求出零点，即可求出集合，从而得解； （2）（i）结合（1）可得，令，求出函数的导函数，再分，两种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的零点个数，从而确定集合； （ii）由（i）可得，即可得到，即可得到，先利用导数证明当时，，即可得到，故，即，从而得到，即可放缩得到，利用等比数列求和公式求出，即可得解. 【小问1详解】 当时，，其定义域为. 由得. 设，则， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减， 注意到，所以在恰有一个零点，且， 又，所以，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点， 所以，所以的元素个数为， 又因为，所以. 【小问2详解】 （i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意； 当时，，其定义域为， 由得. 设，则， 设，则， ①当时，，所以在单调递增， 又，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，符合题意； ②当，故恰有两个零点. 又因为，所以， 当时，；当时，； 当时，； 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增； 注意到，所以在恰有一个零点， 且， 又时，，所以在恰有一个零点， 从而至少有两个不动点，不符合题意； 所以的取值范围为，即集合. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $