第十章 二元一次方程组 教学设计 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学教学设计围绕二元一次方程组的概念、解法（代入与加减消元法）及实际应用展开，通过新疆采棉机等现实情境导入，从一元一次方程过渡到二元，以消元思想为支架构建知识脉络。 注重用数学眼光观察现实（如采棉机问题抽象数量关系），通过问题驱动与小组讨论培养数学思维（化归思想转化二元为一元），实际问题列表分析强化数学语言表达（模型意识）。助力学生提升抽象与推理能力，为教师提供结构化教学流程与情境素材。

巩昌中学2025-2026学年度第二学期教学设计 主备教师 审核教师 授课周次 授课时间 课 题 10.1二元一次方程组的概念 课型 新授课 教学目标 1、 理解二元一次方程（组）及其解的概念；会判断一对数值是不是某个二元一次方程（组）的解；能针对实际问题列出二元一次方程（组）. 2、 经历从实际问题抽象出二元一次方程（组）的过程，体会建模思想；通过类比一元一次方程探究二元一次方程（组）的概念，体会类比思想. 3、 在分析实际问题、列出方程（组）的过程中，培养数学抽象能力和逻辑推理能力. 教学重点 二元一次方程、二一元一次方程组及其解的概念. 教学难点 根据实际问题列出二一元一次方程组. 教学方法 与手段 情境导入法、问题驱动法、小组讨论法 教学准备 多媒体课件 第1课时 课时数 1 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【新课导入】 问题呈现： 新疆是我国棉花的主要产地之一。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ 追问1：这个问题中包含哪些相等关系？ 追问2：如果只设一个未知数（如大型机x台），如何列方程？ 追问3：若直接设两个未知数（大型机x台，小型机y台），如何列方程？ 【新知探究】 探究点1 二元一次方程的特征 观察思考：呈现方程①x+y=6，②2x+y=8， 追问1：这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？ 归纳总结：二元一次方程的定义——每个方程都含有两个未知数（x和y），且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程. 追问2：判断方程等，是否为二元一次方程？并说明理由。 探究点2 二元一次方程组的特征 情境回顾：回到采棉机问题列出的两个方程x+y=6与2x+y=8，将它们组合在一起。 归纳定义：二元一次方程组的定义——这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 追问：判断方程等，是否为二元一次方程组？并说明理由。 探究点3 二元一次方程（组）的解 探究活动1： 二元一次方程的解：以方程x+y=6为例，探究满足方程且符合实际意义的x，y的值（如x=1,y=5；x=2,y=4等），将这些值填入表格。 追问1：如果不考虑方程与实际问题联系，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 归纳：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解；二元一次方程有无数个解。 追问2：判断下列各组值是否是二元一次方程的解？为什么？ 探究活动2 二元一次方程组的解 对于方程组，尝试找出既满足第一个方程，又满足第二个方程的x，y的值。 归纳总结：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。 典型例题 例1：已知是关于的二元一次方程，则m+n=______。 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【随堂练习】 课本P89练习1、2 【课堂小结】 1、二元一次方程（组）的定义 2、二元一次方程（组）的解。 【作业布置】 1、 基础性作业：课本练习第1、2题. 2、 练习册 教学反思： 板书设计： 巩昌中学2025-2026学年度第二学期教学设计 主备教师 审核教师 授课周次 授课时间 课 题 10.2.1代入消元法 课型 新授课 教学目标 1.理解消元思想，会用代入消元法解简单的二元一次方程组． 2．经历将二元一次方程组转化为一元一次方程求解的过程，体会化归思想，发展运算能力． 教学重点 理解并掌握代入消元法及意义. 教学难点 会用代入消元法解二元一次方程组. 教学方法 与手段 情境导入法、讲练结合法、小组讨论法 教学准备 多媒体课件 第1课时 课时数 1 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【新课导入】 在上一节中，我们根据本章引言中的问题列出了方程组，并结合未知数的实际意义，通过逐一尝试的方法，找出了方程组的解．那么，是否有更一般的解法呢？ 【新知探究】 问题 1：能否结合已有知识，将二元一次方程组转化为一元一次方程进行求解呢？ 若设两个未知数：租用了 x 台大型采棉机，y 台小型采棉机，可以列方程组 若设一个未知数：租用了 x 台大型采棉机，则租用了台小型采棉机，得到一元一次方程 这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想． 步骤： 解：由①得y＝6−x． ③ 把③代入②得 2x+(6−x)＝8． 解得 x＝2． 把x＝2代入③，得y＝4． 所以这个方程组的解是 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法． 【例题讲解】 例1　用代入法解方程组 解:由①,得x=y+3.③ 把③代入②,得3(y+3)-8y=14. 解这个方程,得y=-1. 把y=-1代入③,得x=2. 所以这个方程组的解是 例2　用代入法解方程组 分析:方程②中y的系数是-1,用含x的式子表示y,再代入方程①,比较简便. 解:由②,得y=2x-16.③ 把③代入①,得3x-5(2x-16)=3. 解这个方程,得x=11. 把x=11代入③,得y=6. 所以这个方程组的解是 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【随堂练习】 课本P93练习1、2 【课堂小结】 【作业布置】 3、 基础性作业：课本练习第1、2题. 4、 练习册 板书设计： 教学反思： 教研组长（签名）： 教务主任（签名）： 巩昌中学2025-2026学年度第二学期教学设计 主备教师 审核教师 授课周次 授课时间 课 题 10.2.2加减消元法 课型 新授课 教学目标 1、掌握用加减消元法解一般二元一次方程组的步骤，能根据方程组中未知数的系数特点，通过适当变形（乘数）使某个未知数的系数相等或互为相反数，再用加减法求解. 2、能够准确找出两个方程中同一未知数系数的最小公倍数，正确确定每个方程应乘的数，并规范完成求解过程. 3、经历从“系数相等”到“系数不相等”的探究过程，体会转化思想在数学中的应用． 教学重点 准确应用消元法解二元一次方程组. 教学难点 确定如何对方程变形（找最小公倍数、确定乘数），以及变形后符号的正确处理. 教学方法 与手段 讲授法、练习法 教学准备 多媒体课件 第2课时 课时数 2 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【新课导入】 问题：快速口答解法. 第一组： 第二组： 追问：第二组方程组能用直接加减消元吗？为什么？ 设疑：那这样的方程组又该如何求解呢？今天我们继续学习加减消元法，解决这类更一般的问题. 【新知探究】探究点1　如何变形实现消元 问题：以方程组为例，探究能否用加减法求解. 观察思考：追问1：我们想消去y，需要使y的系数满足什么条件？ 追问2：现在y的系数分别是-2和4，怎样才能使它们互为相反数呢？ 找2和4的最小公倍数4，方程①乘2，与方程②相加. 学生板演：规范解答： 追问3：如果消去x，应该怎样变形？试一试，比较哪种更简便. 探究点2 加减消元法的步骤 师生共同归纳：用加减消元法解系数不成倍数关系的二元一次方程组的一般步骤： 1. 变形：观察两个方程中同一未知数的系数，找出它们的最小公倍数；将每个方程两边乘适当的数，使该未知数的系数相等或互为相反数. 2. 加减：将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一元一次方程. 3. 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值. 4. 回代：将求出的值代入原方程组中较简单的方程，求出另一个未知数的值. 5. 写解：写出方程组的解，并检验. 探究点3：代入法与加减法的选择 问题：用两种方法解方程组 小组讨论：比较代入法和加减法（消x或消y）的繁简程度，说说自己的看法. 归纳：有些方程组用代入法简便，有些用加减法简便，有些两种都可以。解方程组时，应先观察系数特点，选择最优方法. 例7：我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛三、羊二、直全十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直全几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊、共值金8两、那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？ 解：设每头牛和每只羊分别值金两和y两.根据问题中的相等关系，列得方程组 ①×2， 得 ②×5， 得 ④-③，得 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 把代入①，得 所以这个方程组的解是 答每头牛和每只羊分别值金两和两. 【巩固练习】 课本P98练习1、2题 【课堂小结】 （1） 加减消元法的完整步骤：变形→加减→求解→回代→写解. （2） 变形方法：找出同一未知数系数的最小公倍数，确定每个方程应乘的数. （3） 选择策略：优先选择系数绝对值较小、最小公倍数较小的未知数消元. 【作业布置】 5、 基础性作业：课本P99复习巩固第5、7题. 6、 练习册 板书设计： 教学反思： 教研组长（签名）： 教务主任（签名）： 巩昌中学2025-2026学年度第二学期教学设计 主备教师 审核教师 授课周次 授课时间 课 题 10.2.2加减消元法 课型 新授课 教学目标 1.理解消元思想，会用代入消元法解简单的二元一次方程组． 2．经历将二元一次方程组转化为一元一次方程求解的过程，体会化归思想，发展运 算能力． 教学重点 用加减法解同一个未知数的系数相等或互为相反数的二元一次方程组. 教学难点 进一步理解在用加减法解方程组时所体现的整体思想. 教学方法 与手段 讲授法、练习法 教学准备 多媒体课件 第1课时 课时数 2 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【新课导入】 前面我们用代入法求出了方程组的解,这个方程组的两个方程中,y的系数有什么关系?利用这种关系,你能发现新的消元方法吗? 【新知探究】 用加减法解同一未知数的系数相等或互为相反数的二元一次方程组 [课堂引入]的两个方程中,未知数y的系数相等,②-①可以消去未知数y,得x=2. 把x=2代入①,得y=4. 所以这个方程组的解是 思考:联系上面的解法,想一想怎样解方程组 引导学生观察未知数的系数的特点,发现y的系数互为相反数,这样可以启发学生进一步思考,让两个方程进行什么运算可以消去y呢? 两个方程相加即可,让每个小组试试,并展示成果. 归纳加减法的概念:当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法,简称加减法. 特点:某个未知数的系数互为相反数或相等. 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法． 基本思路:加减消元法:二元一次方程组一元一次方程. 主要步骤: 加减——消去一个元; 求解——分别求出两个未知数的值; 写解——写出方程组的解. 【例题讲解】 例5　用加减法解方程组 解:①+②,得5x=15,x=3. 把x=3代入①,得3×3+=0,y=-18. 所以这个方程组的解是 【新知应用】 1、用加减法解下列方程组: (1)　(2)　(3) 2、用加减法解下列方程组: (1) (2) (3) (4) 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【课堂小结】 用加减法解同一个未知数的系数相等或互为相反数的二元一次方程组: 【作业布置】 7、 基础性作业：课本P99复习巩固第3题. 8、 练习册 板书设计： 教学反思： 教研组长（签名）： 教务主任（签名）： 巩昌中学2025-2026学年度第二学期教学设计 主备教师 审核教师 授课周次 授课时间 课 题 10.3.1实际问题与二元一次方程组 课型 新授课 教学目标 1.能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组. 2.学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答. 3.通过方程模型建立二元一次方程组,从而解决实际问题. 教学重点 能够列方程组解决和差倍分问题. 教学难点 以方程组为工具,分析、解决含有多个未知数的实际问题. 教学方法 与手段 讲授法、练习法 教学准备 多媒体课件 第 1课时 课时数 3 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【新课导入】 前面我们结合实际问题,讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节课我们继续探究如何用方程组解决实际问题. 【新知探究】 探究1 和差倍分问题 养牛场原有30头大牛和15头小牛,一天约用饲料675 kg;一周后又购进12头大牛和5头小牛,这时一天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20 kg,每头小牛1天需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗? 请同学们讨论: (1)问题中有几个未知量? (2)你准备设哪几个未知数? (3)你能在问题中把表示相等关系的语句找出来,并用等式进行表示吗? (4)你能依据上面的相等关系列出方程或方程组吗? 总结:解和差倍分问题常用的基本相等关系: 较大量=较小量+多余量; 总量=一份的量×倍数; 各分量相加=总量. 【巩固练习】 例1　为了节能减排,一家工厂将照明灯换成了节能灯.A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯,共花费50元;B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯,共花费88元.1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元? 解:设1盏甲型节能灯的售价为x元,1盏乙型节能灯的售价为y元. 根据题意,得解得 答:1盏甲型节能灯的售价为5元,1盏乙型节能灯的售价为7元. 例2　学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅.第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》,共花费151元;第二次买了4套《西游记》和2套《水浒传》,共花费178元.每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元? 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 解:设每套《西游记》的价格是x元,每套《水浒传》的价格是y元. 根据题意,得解得 答:每套《西游记》的价格是29元,每套《水浒传》的价格是31元. 【课堂小结】 列二元一次方程组解应用题的一般步骤: 设　用两个字母表示问题中的两个未知数 列　列出方程组 解　解方程组,求出未知数的值 验　检验求得的值是否正确和符合实际意义 答　写出答案 【作业布置】 9、 基础性作业：课本P99复习巩固第2、4题. 10、 练习册 板书设计： 教学反思： 教研组长（签名）： 教务主任（签名）： 巩昌中学2025-2026学年度第二学期教学设计 主备教师 审核教师 授课周次 授课时间 课 题 10.3.2实际问题与二元一次方程组 课型 新授课 教学目标 1.能够借助画图、列表等方式分析实际问题中的数量关系，找出相等关系，列出二元一次方程组. 2.通过图形分割的探究活动，培养数形结合意识和几何直观能力. 3.在探究不同设计方案的过程中，培养创新意识和实践能力. 教学重点 能够列方程组解决和差倍分问题. 教学难点 理解比例条件的含义，正确表示总产量的比，以及多角度寻求设计方案. 教学方法 与手段 讲授法、练习法 第 2课时 课时数 3 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【新课导入】 复习回顾：列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么？关键步骤是什么？ 追问1：总产量、单位面积产量、种植面积三者之间有什么关系？ 【新知探究】 探究点1　比例的条件 问题 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物。怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？ 交流讨论：把一个大长方形分割成两个小长方形，可能有哪些划分方案？ 归纳：有两种基本划分方式——①沿长边方向分割（竖切）；②沿宽边方向分割（横切）. 方案一探究（沿长边分割）： 画出示意图：如图，长方形ABCD中，AB=200 m，AD=100 m.在AB上取一点E，过E作AD的平行线，将长方形分为两个小长方形AEFD和EBCF. 设AE = x m，BE = y m，则x + y = 200. 根据总产量比3∶4，得 100x : 200y = 3 : 4，即 x : 2y = 3 : 4，化简得 4x = 6y，即 2x = 3y. 列方程组 解得. 方案描述：过长方形土地的长边上离一端120 m处作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块种甲种作物，较小一块种乙种作物. 方案二探究（沿宽边分割） 问题：如果沿宽边方向分割（横切），应该如何划分？ 展示交流：如图，在AD上取一点M，过M作AB的平行线，将长方形分为两个小长方形AMNB和DMNC. 设DM= x m，AM = y m，则x + y = 100. 甲种作物区域AMNB，面积200y，总产量200y×1 = 200y 乙种作物区域DMNC，面积200x，总产量200x×2 = 400x 根据总产量比3∶4，得 200y : 400x = 3 : 4，即 y : 2x = 3 : 4，化简得 4y = 6x，即 2y = 3x。 列方程组 解得. 方案描述：过长方形土地的短边上离一端40 m处作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块种甲种作物，较小一块种乙种作物. 【巩固练习】课本课堂练习2、3. 1.根据题意、列得方程组 解得． 2、设A工程队清理xm，B 工程队清理ym. 根据题意，列得方程组 解得 【课堂小结】 (1) 总产量 = 单位面积产量 × 种植面积 (2) 处理比例条件的常用方法：见比设参数列方程组解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答. 【作业布置】 基础性作业：课本P105复习巩固第5、6题. 练习册 板书设计： 教学反思： 教研组长（签名）： 教务主任（签名）： 巩昌中学2025-2026学年度第二学期教学设计 主备教师 审核教师 授课周次 授课时间 课 题 10.3.3实际问题与二元一次方程组 课型 新授课 教学目标 1.能够借助表格分析复杂实际问题中的数量关系，找出相等关系，列出二元一次方程组. 2.通过表格工具的运用，培养信息整理和分析能力. 教学重点 列二元一次方程组解决实际问题. 教学难点 分析实际问题中的等量关系. 教学方法 与手段 讲授法、练习法 第 3课时 课时数 3 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【新课导入】 问题引入 如图，丝路纺织厂与A，B两地有公路、铁路相连。这家纺织厂从A地购进一批长路相连，这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08 万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁运价为0.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长棉的价格）与运输费的和多多少元？ 引导思考： 追问1：题目要求什么？ 追问2：销售款、原料费分别与什么有关？ 追问3：要解决这个问题，我们需要先知道什么？ 【新知探究】 探究点1　列表分析——梳理数量关系 问题：题目中涉及哪些量？它们之间有什么关系？ 师生共同列表：教师引导学生完成表格： 项目 产品x吨 原料y吨 合计 公路运费(元) 铁路运费(元) 追问1：20、10、110、120这些数据是怎么来的？ 追问2：公路运费合计15000元，可以列出什么方程？ 追问3：铁路运费合计97200元，可以列出什么方程？ 探究点2 列方程组求解 列方程组：根据表格中的等量关系，列出方程组 解得 探究点3 求出结果 追问1：通过计算销售款是多少？ 追问2：通过计算原料费是多少？ 追问3：通过计算运输费是多少？ 追问4：通过计算差额是多少？ 追问5：怎样作答？ 归纳总结：用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义. 【新知应用】 1.某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t, 5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t.3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨? 2.七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查.上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元.缆车票价如表所示，他们购买了往返票和单程票各多少张? 3. 甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练.如果他保持上坡的速度为30 km/h,平路的速度为40km/h,下坡的速度为50 km/h,那么他从甲地骑到乙地需54 min,从乙地骑到甲地需42 min.甲地到乙地全程是多少千米? 【课堂小结】 【作业布置】 1、基础性作业：课本P105复习巩固第7题. 2、练习册 板书设计： 教学反思： 教研组长（签名）： 教务主任（签名）： 巩昌中学2025-2026学年度第二学期教学设计 主备教师 审核教师 授课周次 授课时间 课 题 10.4三元一次方程组的解法 课型 新授课 教学目标 掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法. 教学重点 三元一次方程组的解法. 教学难点 三元一次方程组的解法的选择. 教学方法 与手段 讲授法、小组讨论法、练习法 第 1课时 课时数 1 课堂教学实施设计 学情研判，设计意图 【新课导入】 在一次足球联赛中,一支球队共参加了22场比赛,积47分,且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则,胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,那么这支球队胜、平、负各多少场? 【新知探究】 探究1 三元一次方程组的有关概念 设这个球队胜、平、负的场数分别为x,y,z,根据题意,可以得到下面三个方程:x+y+z=22,3x+y=47,x=4z+2.这个问题的解必须同时满足上面三个条件,因此,我们把这三个方程合在一起,写成 这个方程组含有三个未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是1,一共有三个方程,像这样的方程组叫作三元一次方程组. 探究2 三元一次方程组的解法 让我们看前面列出的三元一次方程组 把③分别代入①②并化简,得到两个只含y,z的方程y+5z=20和y+12z=41,它们组成方程组解这个二元一次方程组,可以求出y和z,进而可以求出x. 归纳总结： 例1　解三元一次方程组 解:②×3+③,得11x+10z=35.④ ①与④组成方程组 解得 把x=5,z=-2代入②,得2×5+3y-2=9,y=. 因此,这个三元一次方程组的解为 【新知应用】 练习：解下列三元一次方程组: (1)(2)(3)　 【课堂小结】 【作业布置】 11、 基础性作业：课本P111复习巩固第1题. 12、 练习册 教学反思： 板书设计： 教研组长（签名）： 教务主任（签名）： 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $