10.3实际问题与二元一次方程组 教学设计 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 人教版(2024) 10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时） 一、教学目标 1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组并解决简单的实际问题； 2.会利用二元一次方程组解决和差倍分、数字与配套问题； 3.通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力. 二、教学重点及难点 重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程. 难点：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系并列出方程组，由方程组的解解释实际问题. 三、教学过程 【复习引入】 1.解二元一次方程组的方法有哪些？ 代入法、加减法 2.这两种方法的具体步骤是什么? 代入法：变形→代入→求解→回代→写解 加减法：变形→加减→求解→回代→写解 设计意图：复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过提问，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫. 【探究新知】 探究1：和差倍分问题 问题：（教材P101探究1）前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些简单的实际问题．本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题． 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20 kg，每头小牛1天需饲料7~8 kg．你能通过计算检验他的估计吗？ 问题①：题目中有哪些未知量？ 【师生活动】教师提出问题，引导学生关注有2个未知量. 预设答案：每头大牛1天需用的饲料和每头小牛1天需用的饲料. 问题②：题目中有哪些等量关系？ 【师生活动】引导学生关注有2个等量关系. 预设答案：30头大牛1天用的饲料＋15头小牛1天用的饲料＝675 kg 42头大牛1天用的饲料＋20头小牛1天用的饲料＝940 kg 问题③：如何根据等量关系列方程组？ 【师生活动】引导学生根据题中的等量关系，建立方程组. 解：设每头大牛和每头小牛1天分别约用饲料x kg和y kg，根据题意，得： 设计意图：让学生经历分析数量关系，得到等量关系，列方程组的过程，培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力. 问题④：如何解这个方程组呢？ 【师生活动】提出问题，学生解方程组，并让学生交流、讨论，教师引导学生对比，发现先化简再解更简捷. 设计意图：让学生认识到，由实际问题列出的方程组，有时系数较为复杂，先化简再求解，可以简化运算. 问题⑤：饲养员李大叔估计的准确吗？ 【师生活动】引导学生对比计算结果和李大叔的估计，得到结论. 预设答案：饲养员李大叔对大牛的食量估计准确，对小牛的食量估计偏高. 设计意图：引导学生用方程组的解去分析、解释实际问题. 归纳：和、差、倍、分问题的求解策略 列方程组解决和、差、倍、分问题时，要抓住题目中反映数量关系的关键字（词）：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等. 列方程时，要明确这些关键字(词) 的含义，寻找等量关系，设出合适的未知数. 归纳：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 【师生活动】组织学生小组讨论，然后组内选取代表回答，教师汇总并补充： 审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系； 设：恰当地设未知数； 列：依据题中的等量关系列出方程组； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义； 答：写出答. 设计意图：引导学生总结运用方程组建立数学模型，解决实际问题的步骤. 探究2：数字问题 问题：有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比原数小45，又知原百位数字的9倍比由原十位数字和个位数字组成的两位数 (原个位数字仍作为个位数字) 小3，求原三位数. 问题①：题目中有哪些等量关系？ 【师生活动】引导学生关注有2个等量关系. 预设答案：将最左边的数字移到最右边后得到的数＝原数－45. 9×原百位数字＝由原十位数字和个位数字组成的两位数－3. 问题②：如何根据等量关系列方程组？ 【师生活动】引导学生根据题中的等量关系，建立方程组. 解：设原百位数字为x，由原十位数字和个位数字组成的两位数为y，根据题意，得： 设计意图：让学生经历分析数量关系，得到等量关系，列方程组的过程，培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力. 归纳：数字问题的求解策略 1.列方程组解决数字问题的关键在于正确地用式子表示一个多位数，如一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则这个三位数为100a＋10b＋c. 2.利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数. 探究3：配套问题 问题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母. 1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？ 问题①：题目中有哪些等量关系？ 【师生活动】引导学生关注有2个等量关系. 预设答案：所需人数总和为22. 螺母总产量是螺钉的2倍. 问题②：如何根据等量关系列方程组？ 【师生活动】引导学生根据题中的等量关系，建立方程组. 解：设安排x人生产螺钉，y人生产螺母，根据题意，得： 设计意图：让学生经历分析数量关系，得到等量关系，列方程组的过程，培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力. 归纳：配套问题中隐含的等量关系 如果a件甲产品和b件乙产品配成一套， 则， 即b×甲产品的件数＝a×乙产品的件数. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带领学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤 2.和差倍分、数字与配套问题的求解策略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 人教版(2024) 10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时） 一、教学目标 1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组并解决稍复杂的实际问题； 2.会利用二元一次方程组解决几何图形、图文信息与工程问题； 3.通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力. 二、教学重点及难点 重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程. 难点：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系并列出方程组，由方程组的解解释实际问题. 三、教学过程 【复习引入】 提问：列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么？ 1.审：审题，分析已知量与未知量，明确题目中的等量关系. 2.设：设未知数. 3.列：根据等量关系列出方程组. 4.解：解方程组，求出未知数的值. 5.验：检验所求的解是否正确，是否符合实际意义. 6.答：写出答案. 设计意图：回顾列二元一次方程组解应用题的一般步骤.为接下来用二元一次方程组解决实际问题做铺垫. 【探究新知】 探究1：几何图形问题 问题：（教材P102探究2）前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些简单的实际问题．本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题． 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？ 问题①：题目转化成数学语言是什么呢？ 【师生活动】教师提出问题，引导学生. 预设答案：长方形ABCD，AB＝CD＝200m，AD＝BC＝100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1∶2.. 问题②：目标是什么？这里研究的实际上是什么问题？ 预设答案：目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4. 实际上研究的是长方形的面积分割. 问题③：把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？ 【师生活动】引导学生动手操作，完成作答. （1）竖着画，把长分成两段，则宽不变； （2）横着画，把宽分成两段，则长不变. 设计意图：让学生通过动手操作，知道按面积分割长方形的问题可转化为分割边长的问题，激发学生的学习兴趣，为学习建立二元一次方程组模型解决几何问题作准备． 问题④：竖着画等量关系有哪些？ 【师生活动】引导学生关注有2个等量关系. 预设答案：大长方形的长＝200 m. 甲、乙两种作物总产量比＝3 : 4. 问题⑤：如何根据等量关系列方程组？ 【师生活动】引导学生根据题中的等量关系，建立方程组. 解：设AE＝x m，BE＝y m. 根据题意，得： 同理，引导学生写出横着画时的等量关系和方程组. 探究2：图文信息问题 问题：如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式. 为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，x，y各应取什么值？ 问题①：题目中有哪些等量关系？ 预设答案：各行、各列及对角线上三个数之和都相等. 问题②：如何根据等量关系列方程组？ 【师生活动】引导学生根据题中的等量关系，建立方程组. 解：根据各行，各列及对角线上三个数之和都相等，得： 设计意图：让学生经历分析数量关系，得到等量关系，列方程组的过程，培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力. 探究3：工程问题 问题：在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成. (1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义： x表示______________________，y表示______________________ ； 并写出该方程组中△处的数应是________，☐处的数应是________. 【师生活动】引导学生研读题目，总结出：4000米长的公路＝工作总量； 甲队每天修建200米，乙队每天修建250米＝甲、乙工作效率； 一共用18天完成＝工作时间. 预设答案：甲队修建的时间；乙队修建的时间；18；4000 (2)陈彬同学的思路是设甲工程队一共修建了a米公路，乙工程队一共修建了b米公路.请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天. 【师生活动】学生独立思考，完成作答，教师讲评． 归纳：工程问题中的数量关系 工作量＝工作效率×工作时间； 合作的效率＝各部分单独做的效率和； 总工作量＝各部分工作量之和. 当工作总量未给出具体数值时，常将工作总量看作单位“1”. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带领学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.图形问题 2.图文与信息问题 3.工程问题 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 人教版(2024) 10.3 实际问题与二元一次方程组（第3课时） 一、教学目标 1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组并解决稍复杂的实际问题； 2.会利用二元一次方程组解决形成问题、销售问题； 3.通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力. 二、教学重点及难点 重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程. 难点：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系并列出方程组，由方程组的解解释实际问题. 三、教学过程 【复习引入】 1.解二元一次方程组的方法有哪些？ 代入法、加减法 2.这两种方法的具体步骤是什么? 代入法：变形→代入→求解→回代→写解 加减法：变形→加减→求解→回代→写解 设计意图：复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过提问，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫. 【探究新知】 探究1：较复杂的实际问题 问题：（教材P103探究3）见课本 问题①：要求“这批产品的销售额比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？ 【师生活动】教师带领学生分析题目的关键信息：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品数量和原料数量． 教师提问：怎样设未知数？ 学生独立思考，设出未知数：设制成x t长绒棉，购买y t纺织面料． 追问：本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式分析问题．本题涉及哪两类量呢？ 学生小组讨论作答：一类是公路运费、铁路运费、价值；另一类是产品数量、原料数量． 设计意图：使学生明确在直接设要求的量为未知数不容易列方程组时，应设间接未知数；让学生认识到，解较复杂的实际问题时，可以用列表的方式分析问题中蕴含的数量关系． 追问2：你能根据题中数量关系完成下表吗？ x t长绒棉 y t纺织面料 合计 公路运费/元 铁路运费/元 价值/元 【师生活动】学生先独立思考，教师给出题中涉及的数量关系：总价＝单价×数量，运输费＝数量×运价×距离． 学生根据数量关系，小组讨论，完成表格： x t长绒棉 y t纺织面料 合计 公路运费/元 0.5×10x 0.5×20y 0.5(10x＋20y) 铁路运费/元 0.2×120x 0.2×110y 0.2(120x＋110y) 价值/元 30800x 42500y 追问3：你发现相等关系了吗？如何列方程组并求解？ 【师生活动】学生独立思考，列出方程组： 解题过程见课件. 归纳：从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义． 若在直接设要求的量为未知数不容易列方程（组）时，应设间接未知数，求得未知数的值后再计算要求的量． 设计意图：通过问题，引导学生学会利用表格分析复杂问题，找出两个相等关系，并能根据两个相等关系列出二元一次方程组，让学生体会列表在正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组中的作用，加深对数学建模思想的理解． 探究2：行程问题 问题：小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min. 问小华家离学校多远？ 问题①：题目中有哪些等量关系？ 预设答案：走平路的时间＋走下坡路的时间＝10， 走上坡路的时间＋走平路的时间＝10． 问题②：如何根据等量关系直接设元列方程组？ 解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m. 根据题意，得： 问题③：如何根据等量关系间接设元列方程组？ 解：设小华下坡路所花时间为x min，上坡路所花时间为 y min. 根据题意，得： 设计意图：引导学生对比直接设元法与间接设元法两种解题思路，通过表格梳理行程问题中的等量关系，帮助学生理解同一问题的不同建模方式，掌握设未知数的技巧，提升分析复杂应用题、灵活选择解题策略的能力，深化对二元一次方程组应用的理解. 问题：甲、乙两人相距4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，两人0.5 h后相遇. 试问两人的速度各是多少？ 问题①：题目中有哪些等量关系？ 预设答案：同时出发，同向而行：甲2 h行程＝4 km＋乙2 h行程 同时出发，相向而行：甲0.5 h行程＋乙0.5 h行程＝4 km 问题②：如何根据等量关系列方程组？ 解：设甲、乙的速度分别为x km/h，y km/h. 根据题意，得： 设计意图：通过练习，进一步巩固所学知识，加深理解.培养学生在具体情境中分析问题和解决问题的能力. 归纳：相遇及追及问题中常用的等量关系 基本关系：路程＝速度×时间. 相向相遇问题：两者的路程和＝初始时两者间的距离. 同向追及问题：两者的路程差＝初始时两者间的距离. 路程、速度、时间三者中，若其中一个为已知数，另一个设为未知数，则用第三个的等量关系来列方程.如本题中，时间为已知数，速度设为未知数，则利用路程之间的等量关系来列方程. 探究3：销售问题 问题：某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等.求该商品每件的进价和定价分别是多少元？ 问题①：题目中有哪些等量关系？ 预设答案：定价＝进价＋45 定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等 问题②：如何根据等量关系列方程组？ 解：设该商品每件的定价为x元，进价为y元，根据题意，得： 归纳：常用的与销售相关的公式 利润＝售价－进价 进价＝售价 ÷(1＋利润率) 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带领学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.较复杂的实际问题 2.行程问题 3.销售问题 学科网（北京）股份有限公司 $