第四周 第4天 函数的概念（二）暑假自学讲义-2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第四周 第 4天 函数的概念(二) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.会判断两个函数是否为同一个函数. (重点) 2.会求抽象函数的定义域. (难点) 3.会求简单函数的值域. (重点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 同一个函数 ❓ 问题　结合函数的概念，如何才能确定一个函数？ 💬提示　有确定的定义域和对应关系即能确定一个函数. 🎯教材例题下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？ (1)y=()2； (2)u=； (3)y=； (4)m=. 【解】　(1)y=()2=x(x∈{x|x≥0})，它与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数. (2)u==v(v∈R)它与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)是同一个函数. (3)y==|x|=它与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y=x(x∈R)不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数. (4)m==n(n∈{n|n≠0})，它与函数y=x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数. 🎯例1 (多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与g(x)＝ B．f(x)＝－1与g(x)＝|x|－1 C．f(x)＝与g(x)＝x－2 D．f(x)＝与g(x)＝· 【解】 A中，f(x)＝与g(x)＝的定义域及对应关系均相同，是同一个函数； B中，f(x)＝－1＝|x|－1，定义域为R，与g(x)＝|x|－1的定义域及对应关系均相同，是同一个函数； C中，f(x)＝的定义域为{x|x≠－2}，而g(x)＝x－2的定义域为R，所以不是同一个函数； D中，f(x)＝的定义域为{x|x≥2或x≤1}，而g(x)＝·的定义域为{x|x≥2}，所以不是同一个函数， 故选AB. 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 反思 归纳 🎯跟踪练习1 下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝·，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5). 其中表示同一个函数的是________．(填序号) 【解】①不是同一个函数，定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R. ②不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝. ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同． ④不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3. ⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同． 答案：③⑤ 知识点2 求抽象函数的定义域 🎯例2 (1)函数y=f(x)的定义域是[-1，3]，则f(2x+1)的定义域为　　　　. 【解】令-1≤2x+1≤3，解得-1≤x≤1，所以f(2x+1)的定义域为[-1，1]. (2)若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则y=f(x)的定义域是(　　) A.[-1，1] B.[-5，13] C.[-5，1] D.[-1，13] 【解】由题意知，-2≤x≤4，所以-5≤3x+1≤13，所以y=f(x)的定义域是[-5，13]. 求抽象函数的定义域的方法： (1)若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集. (2)若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域. 反思 归纳 🎯一题多变 　若函数f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则f(2x+1)的定义域为　　　　　　. 【解】由例2 (2)知，f(x)的定义域为[-5，13]，令-5≤2x+1≤13，解得-3≤x≤6，所以f(2x+1)的定义域为[-3，6]. 🎯跟踪练习2 已知函数f(x－1)的定义域为[0，3]，则函数f(x)的定义域为________． 【解】由0≤x≤3得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1，2]. 知识点3 求简单函数的值域 🎯例3 求下列函数的值域． (1)y＝－1； (2)f(x)＝x2－4x＋6，x∈[1，5)； (3)f(x)＝； (4)y＝x＋. 【解】　(1)(观察法)因为≥0，所以－1≥－1，所以y＝－1的值域为[－1，＋∞). (2)(配方法)f(x)＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示，所以函数f(x)的值域为[2，11). (3)(分离常数法)f(x)＝＝3－(x≠－1)， 显然可取到0以外的一切实数， 即函数f(x)的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞). (4)(换元法)设u＝(x≥0)， 则x＝u2(u≥0)， y＝u2＋u＝－(u≥0). 由u≥0，可知≥，所以y≥0， 所以函数y＝x＋的值域为[0，＋∞). 求函数值域的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法. (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. (4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. 反思 归纳 🎯跟踪练习3 求下列函数的值域： (1)y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}； (2)y=； (3)y=x4+2x2+3； (4) y=. 【解】　(1)∵y=2x+1，且x∈{1，2，3，4，5}，∴y∈{3，5，7，9，11}. ∴函数的值域为{3，5，7，9，11}. (2)设t=-2x2+x+3，t≥0，则t=-2∴0≤t≤∴0≤y≤ ∴函数的值域为. (3) 令x2=t，则t≥0，y=t2+2t+3=(t+1)2+2，∵t≥0，∴(t+1)2≥1，∴y≥3，∴函数的值域为[3，+∞). (4)∵y==3+≠3，∴函数的值域为(-∞，3)∪(3，+∞). 自学小节 函数的概念（二） 1.知识清单： (1)同一个函数. (2)抽象函数的定义域. (3)简单函数的值域. 2.方法归纳：换元法、配方法、分离常数法，整体代换. 3.常见误区： (1)不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域. (2)求函数值域时忽略函数的定义域. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝　　　　　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1 【解】y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞). 故选B 2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与g(x)＝x B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝x0与g(x)＝ D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1 【解】对于A，f(x)＝＝－x与g(x)＝x的对应关系不同，故不是同一个函数． 对于B，g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应关系不同，故不是同一个函数． 对于C，f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数． 对于D，f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，故是同一个函数． 故选：CD 3.已知函数f(x)的定义域为(-1，1)，则函数g(x)=f+f(x-2)的定义域为(　　) A.(0，2) B.(1，2) C.(2，3) D.(-1，1) 【解】由题意知解得1<x<2. 故所求函数的定义域为(1，2)，选B 4．求下列函数的值域： (1)y＝，x∈[1，2)； (2)y＝. 【解】(1)因为1≤x<2，所以1≤x2<4，所以<≤1. 所以2<≤8. 所以函数的值域是(2，8]. (2)因为y＝＝，所以0≤y≤，所以原函数的值域为. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第四周 第 4天 函数的概念(二) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.会判断两个函数是否为同一个函数. (重点) 2.会求抽象函数的定义域. (难点) 3.会求简单函数的值域. (重点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 同一个函数 ❓ 问题　结合函数的概念，如何才能确定一个函数？ 🎯教材例题下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？ (1)y=()2； (2)u=； (3)y=； (4)m=. 🎯例1 (多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与g(x)＝ B．f(x)＝－1与g(x)＝|x|－1 C．f(x)＝与g(x)＝x－2 D．f(x)＝与g(x)＝· 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 反思 归纳 🎯跟踪练习1 下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝·，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5). 其中表示同一个函数的是________．(填序号) 知识点2 求抽象函数的定义域 🎯例2 (1)函数y=f(x)的定义域是[-1，3]，则f(2x+1)的定义域为　　　　. (2)若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则y=f(x)的定义域是(　　) A.[-1，1] B.[-5，13] C.[-5，1] D.[-1，13] 求抽象函数的定义域的方法： (1)若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集. (2)若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域. 反思 归纳 🎯一题多变 　若函数f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则f(2x+1)的定义域为　　　　　　. 🎯跟踪练习2 已知函数f(x－1)的定义域为[0，3]，则函数f(x)的定义域为________． 知识点3 求简单函数的值域 🎯例3 求下列函数的值域． (1)y＝－1； (2)f(x)＝x2－4x＋6，x∈[1，5)； (3)f(x)＝； (4)y＝x＋. 求函数值域的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法. (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. (4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. 反思 归纳 🎯跟踪练习3 求下列函数的值域： (1)y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}； (2)y=； (3)y=x4+2x2+3； (4) y=. 自学小节 函数的概念（二） 1.知识清单： (1)同一个函数. (2)抽象函数的定义域. (3)简单函数的值域. 2.方法归纳：换元法、配方法、分离常数法，整体代换. 3.常见误区： (1)不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域. (2)求函数值域时忽略函数的定义域. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝　　　　　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1 2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与g(x)＝x B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝x0与g(x)＝ D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1 3.已知函数f(x)的定义域为(-1，1)，则函数g(x)=f+f(x-2)的定义域为(　　) A.(0，2) B.(1，2) C.(2，3) D.(-1，1) 4．求下列函数的值域： (1)y＝，x∈[1，2)； (2)y＝. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $