第20章《勾股定理》暑假复习巩固综合练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，整合概念辨析、几何推理与实际应用，通过分层题型培养几何直观、推理能力及应用意识，构建暑假系统性复习体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题（单选1-2）|勾股数判断、直角三角形判定|从勾股定理定义出发，辨析数与形的基本关系| |几何计算|10题（单选3-6、填空11-16）|网格计算、图形拼接、实际情境（梯子/台风）|结合几何直观，运用勾股定理解决长度、面积计算| |证明与综合|9题（解答17-25）|面积法证明、折叠问题、动态探究（双求法）|以赵爽弦图等经典模型为载体，推导原理并拓展至综合几何应用|

人教版八年级上册暑假综合练习 第20章 勾股定理 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.下列各组数中，是勾股数的是（        ） A. 9，12，15 B.10，11，12 C.0.7，2.4，2.5 D.，， 2.已知的三边长分别为a、b、c，则下列不能判断为直角三角形的是（    ） A.，， B. C.，， D.，， 3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（       ） A. B. C. D. 4.在中，，若，则等于（     ） A.9 B.12 C.18 D.24 5.两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（        ）     A. B. C. D. 6.如图，两树高分别为米和米，相距米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（       ） A.米 B.米 C.米 D.米 7.《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（       ） A.①代表 B.②代表 C.③代表正方形 D.④代表 8.如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠得，连接，若四边形为平行四边形，则的值是（ ）     A. B.2 C. D. 9.如图，已知线段，连接，，点E，F分别是边，的中点，连接，且，，则的长为（     ） A.8 B.6 C.10 D. 10.如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点，连接，，，，则下列结论：；；；，正确的是（        ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是___________． 12.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2． 13.如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为________． 14.如图， 中，， 为的中点，以为边作正方形．若的长为2，则的长为_______． 15.某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为_______m． 16.如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（5分）观察下列勾股数：，，；，，；，，；…；，，根据你的发现，求出当时，，的值. 18.(6分) 已知点，根据下列条件求点的值． （1）点在轴上； （2）点到原点的距离为5． 19.(6分) 已知a，b，c满足（a﹣）2++＝0． （1）求a，b，c的值； （2）试判断以a，b，c为边长能否构成直角三角形，并说明理由．   20.(7分) 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． （1）______，______； （2）连接，判断是什么三角形，并说明理由． 21.(8分) 如图，E、F是等腰Rt 的斜边BC上的两动点，且．     求证：（1）； （2）．  22.(8分) 如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形、正方形和正方形，过点作的垂线，垂足为，延长交于点． （1）连接，，证明； （2）连，先直接写出与数量关系_____，再证明：． 23.(9分) 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点与监测点所在的直线由东向西移动，已知点为一海港，且点与， 两点的距离分别为、 ，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点与监测点之间的距离； （2）请判断海港是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 24.(11分) 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 （1）请借助图2补全勾股定理的验证过程． （2）如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_______ （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 25.(12分) 如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． （1）如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； （2）若为直角三角形，求长； （3）线段的最小值为__________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册暑假综合练习 第20章 勾股定理 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.下列各组数中，是勾股数的是（        ） A. 9，12，15 B.10，11，12 C.0.7，2.4，2.5 D.，， 【答案】 A 【解析】 根据勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此验证各选项即可得到答案. 【解答】 解：A、，，，且9，12，15都是正整数，符合勾股数定义，故本选项符合题意. B、，，，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、0.7，2.4，2.5都不是正整数，不符合勾股数定义，故本选项不符合题意； D、，，都不是正整数，不符合勾股数定义，故本选项不符合题意； 故选：A. 2.已知的三边长分别为a、b、c，则下列不能判断为直角三角形的是（    ） A.，， B. C.，， D.，， 【答案】 D 【解析】 本题考查了勾股定理逆定理，二次根式的混合运算，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可. 【解答】 解：A、 ， ， ，最大边为5，验证 ，满足勾股定理，能判断为直角三角形，不符合题意； B、 ，设三边为3k、4k、5k()，最大边为5k，验证 ，满足勾股定理，能判断为直角三角形，不符合题意； C、 ， ， ，最大边为 ，验证 ，满足勾股定理，能判断为直角三角形，不符合题意； D、 ， ， ，最大边为7，验证 ，不满足勾股定理，不能判断为直角三角形，符合题意。 故选：D. 3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了勾股定理以及逆定理，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用. 先由勾股定理求解AB,AC,BC，再由勾股定理逆定理证明∠BAC=90°，即可求解ΔABC的面积. 【解答】 解：在正方形网格中，每个小正方形的边长是1， 由勾股定理得，AC=，AB=，BC=， ，BC^{2}=5^{2}=25， ， ， ， 故D错误，A、B、C正确， 故选：D. 4.在中，，若，则等于（     ） A.9 B.12 C.18 D.24 【答案】 B 【解析】 根据勾股定理得出 ，再根据 ，求出结果即可． 【解答】 解： 在Rt 中， ， ， ，  故选：B. 5.两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（        ）     A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查勾股定理的证法，解题核心为用两种不同的方式计算同一个图形的面积，通过建立等式化简推导结论. 【解答】 解：由题意可知，所构成的图形为直角梯形， ， 化简得.  故选：A. 6.如图，两树高分别为米和米，相距米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（       ） A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】 B 【解析】 根据图像构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【解答】 解：如图所示： 米，米， ， 小鸟至少要飞米， 故选：B． 7.《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（       ） A.①代表 B.②代表 C.③代表正方形 D.④代表 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的S相等，即可得到结论. 【解答】 解：如图所示，延长MN交BC于G， 方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与 ， 拼成，则 方法二：将五边形ABCDE看成是由正方形ABGM，正方形CDNG， ， 拼成，则 根据面积相等可以得到 即 故C选项错误，符合题意. 故选：C. 8.如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠得，连接，若四边形为平行四边形，则的值是（ ）     A. B.2 C. D. 【答案】 A 【解析】 连接CE，延长AD交于F，可证 ，从而可证AF CE，可求 ，从而可求 即可求解. 【解答】 解：如图，连接CE，延长AD交于F， ， 在 和 中 （SAS） 四边形ABED是平行四边形， ， 在Rt 中： 在Rt 中： 在Rt 中： 故选：A. 9.如图，已知线段，连接，，点E，F分别是边，的中点，连接，且，，则的长为（     ） A.8 B.6 C.10 D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解决此题的关键。连接BD，取BD中点G，连接EG，FG，根据三角形中位线定理求得EG，FG的值，证得 ，然后利用勾股定理即可求出EF的长. 【解答】 解：连接BD，取BD中点G，连接EG，FG， ，G分别是AD，BD中点， ，EG//AB， 同理可得FG ，FG 在Rt 中，EF 故选：C. 10.如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点，连接，，，，则下列结论：；；；，正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 先根据角平分线和平行线的性质证明 是等边三角形，得出 为 中点，进而求出 和 的度数判断①；利用勾股定理求出 的长，再在 中求出 的长，从而得到 的长判断②；根据 ，再通过面积公式即可判断③；根据三角形中位线定理判断④。 【解答】 解：①\becauseABCD$ 是平行四边形， ，， ， 平分 ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②\because \angle B = 60^\circ\angle ACB = 30^\circ$， ， 在 中，， 四边形 是平行四边形， ，， ， 在 中，， ，故②正确； ③由②知 ，即 ， ，故③正确； ④\because OA = OCBE = EC$， 是 的中位线， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是____25_______． 【答案】 【解析】 构成一个直角三角形的三边的一组正整数，叫做勾股数，根据勾股数的定义列式计算即可． 【解答】 解：设第三个数为， 是一组勾股数， ①， 解得（不合题意，舍去）， ②， 解得：， 故答案为：25. 12.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2． 【答案】 【解析】 根据勾股定理计算即可. 【解答】 解：最大的正方形E的边长为 面积为： 由勾股定理和正方形的性质可知， 正方形F,G的面积之和为正方形E的面积， 正方形A,B的面积之和为正方形F的面积， 正方形C,D的面积之和为正方形G的面积， 正方形A、B、C、D的面积之和为正方形E的面积为： 故答案为：.  13.如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为___24_____． 【答案】 24 【解析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接AC，由勾股定理得 ，即得 ，进而得到 是直角三角形，且 ，再根据绿地的面积 解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键. 【解答】 解：如图，连接AC， 是直角三角形，且 这块绿地的面积 故答案为：24.  14.如图， 中，， 为的中点，以为边作正方形．若的长为2，则的长为________． 【答案】 【解析】 由正方形的性质和勾股定理可求出CD的长，由直角三角形的性质可得AB=2CD，据此求解即可. 【解答】 解： 四边形CDEF是正方形， ，D为AB的中点， . 故答案为：. 15.某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为___2.7_____m． 【答案】 2.7 【解析】 先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论. 【解答】 在Rt△ACB中，∵ ∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米， ∵ AD²=0.7²+2.4²=6.25. 在Rt△A'BD中，∵ ∠ABC=90°，BC=1.5米，AB²+BC²=AC²， ∴ AB²+1.5²=6.25， ∴ AB²=4. ∵ AB>0, ∴ AB=2米. ∴ BE=AE+AB=0.7+2=2.7米. 故答案为2.7. 16.如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 作 ，且使 ，连接 .作点C（0,3）关于x轴的对称点 （0，-3），连接 交x轴于点W，连接 ，推出当点A在点W处时， 最小，最小值是 的长，再利用勾股定理求出 的长即可. 【解答】 解：如图，作 且使 ，连接 四边形 是平行四边形， 点 设点 点 作点 C (0,3)关于x轴的对称点 连接 交x轴于点W, 当点 在点W处时， 最小，最小值是 的长. 的最小值是 故答案为 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（5分）观察下列勾股数：，，；，，；，，；…；，，根据你的发现，求出当时，，的值. 【答案】 ， 【解析】 时，，，；时，，，…得出，，（，为正整数），满足勾股数． 【解答】 时,，时,， 时,，… 勾股数(⩾为正整数). 当时,,则， 故答案为， 18.(6分) 已知点，根据下列条件求点的值． （1）点在轴上； （2）点到原点的距离为5． 【答案】 0 【解析】 （1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值即可； （2）根据两点间距离公式可进行求解. 【解答】 （1）解：点P在y轴上， ， 解得：； （2）解：点P到原点的距离为5， ， 即 ， 整理得：， 解得：. 19.(6分) 已知a，b，c满足（a﹣）2++＝0． （1）求a，b，c的值； （2）试判断以a，b，c为边长能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】 以a，b，c为边长能构成直角三角形，理由见解析. 【解析】 （1）根据绝对值的非负性、平方的非负性和二次根式的非负性即可求出a，b，c的值； （2）根据勾股定理的逆定理判定即可. 【解答】 （1）根据题意得：， 解得： （2）以a，b，c为边长能构成直角三角形，理由如下： 以a，b，c为边长能构成直角三角形.   20.(7分) 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． （1）______，___ ___； （2）连接，判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】 ， 是等腰直角三角形，见解析 【解析】 （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理可求出BC，BD，CD的长，则可证明 ， ，据此可得结论 【解答】 （1）解：由勾股定理得： ，AD 故答案为： ， ； （2）解： 是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得： 是等腰直角三角形.   21.(8分) 如图，E、F是等腰Rt 的斜边BC上的两动点，且．     求证：（1）； （2）． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）根据条件证 即可； （2）根据条件证 ，从而得到 .由（1）得 .进而在Rt 中，根据勾股定理即可求证. 【解答】 （1）证明： 是等腰直角三角形， 在 和 中， （2）证明：由（1）知， (2) 证明：由（1）知， 在 与 中， (SAS) 在 中，根据勾股定理得，   22.(8分) 如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形、正方形和正方形，过点作的垂线，垂足为，延长交于点． （1）连接，，证明； （2）连，先直接写出与数量关系__相等___，再证明：． 【答案】 见解析 ，见解析 【解析】 （1）根据证明三角形全等即可； （2）利用勾股定理得到，即，然后证明，得到，再推理得到，即可解题． 【解答】 （1）解：证明：四边形， 四边形都是正方形， ， ， ； （2）解：结论：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 同法可证：， ，， ， 故答案为：相等.  23.(9分) 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点与监测点所在的直线由东向西移动，已知点为一海港，且点与， 两点的距离分别为、 ，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点与监测点之间的距离； （2）请判断海港是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】 监测点与监测点之间的距离是 海港会受到此次台风的影响，见解析 台风影响该海港小时 【解析】 （1）利用勾股定理直接求解； （2）利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出受影响的界点与离点的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】 （1）解：在中，， 由勾股定理得 答：监测点与监测点之间的距离是 ． 海港会受到此次台风的影响，理由如下： ， 解得：． 海港会受到此次台风的影响． 如图，海港在台风中心从点移动到点这段时间内受影响． 在中，，即 解得： 同理得： 台风的速度为 台风影响该海港的时长为： 答：台风影响该海港小时．  24.(11分) 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 （1）请借助图2补全勾股定理的验证过程． （2）如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】 见解析 【解析】 （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证 ; （2）计算出 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得 边上的高; （3）运用勾股定理在 Rt 和 Rt 中求出 ，列出方程求解即可; 【解答】 （1）解： ， ， ， ， ， ， ， ; （2）解： , ， ; （3）解： 是高， ， ， ， ， ， ， ， ， .  25.(12分) 如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． （1）如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； （2）若为直角三角形，求长； （3）线段的最小值为____ _______． 【答案】 见解析 (3) 【解析】 （1）由折叠的性质得： ，再结合中点的定义可得 ，从而得到 ，即可解答； （2）先根据勾股定理可得 ，然后分两种情况：当 时，当 时，结合直角三角形的性质以及合等三角形解答即可； B'点在AD上时，AB取得最小值，最小值为 ，根据勾股定理求出AD的长即可解答. 【解答】 （1）证明：由折叠的性质得： . BD = CD 点D是BC中点， 即 为直角三角形； （2）解：在Rt 中， （2）解：在Rt 中， 点D是BC中点， 当 时，此时 由折叠的性质得： . 如图，当 时，过点E作EG 交 于点G，连接AD，则 设 ，则 在Rt 和Rt 中， 在Rt 中， 解得： 解得： （3）解：如图，连接 AD， 根据题意得： 即当 点在AD上时，AB'取得最小值，最小值为 在Rt 中， 的最小值为 故答案为： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $