精品解析：安徽省合肥市第四十五中学芙蓉分校2025-2026学年第二学期期末考试七年级数学试题

2025-2026学年第二学期芙蓉集团七年级期末练习卷 一、单选题（本题共10小题，每题4分，满分40分） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据无理数和有理数的定义判断选项，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，化简各选项后即可得出结论． 【详解】解：A、 开立方不能得到整数或分数，是无限不循环小数，是无理数； B、，是分数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是整数，属于有理数． 2. 中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据0.000000014可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 若，则下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到结果．不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；同时乘同一个正数，不等号方向不变；同时乘同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A．不等式两边同时减5，得，故A成立，不符合题意； B．不等式两边同时乘正数5，得，故B成立，不符合题意； C．不等式两边先乘正数2得，再两边同时加，得，故C成立，不符合题意； D．不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得，再两边同时加1，得，因此原式不成立，符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A，，A错误； 对于选项B，，B错误； 对于选项C，，C错误； 对于选项D， ，D正确． 5. 若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 6. 若且，则的结果为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据同分母分式加减法则计算原式，再利用平方差公式因式分解约分，最后代入已知条件计算结果即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、，右边中不是整式，不符合要求； D、，原式变形错误，不符合要求． 8. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题可知：， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 9. 已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为，根据最小整数解是，可知不是解而是解，从而得出关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式： ∵  ∴ ． 解第二个不等式： ∵  两边乘：  展开：  移项：  ∴ ． 即 ． ∴ 不等式组的解集为 ． ∵ 最小整数解是 ∴ 不是解，故 ． 又 ∵ 是解，故  ∵  ∴ ． 即 ． ∵  且  ∴ ． 即 ． ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点一元一次不等式组的整数解，解题关键是根据最小整数解的条件，建立关于的不等式，从而确定 的取值范围． 10. 如图，已知，截于点A、B，①若平分，则；②若平分，则；③若，则平分；④若，平分，则平分．则上述结论正确的是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用角平分线的性质以及平行线的性质求解； ②利用角平分线的性质以及平行线的性质求解； ③根据垂直无法得出结论； ④根据平行线的性质求出相关角的度数，根据角平分线的定义可得结论． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①选项符合题意； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②选项不符合题意； ③根据，无法得出平分，故③选项不符合题意； ④∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分，故④选项符合题意． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 当分式有意义时，满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，根据条件列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义， 分母， 解得． 12. 若，则的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且 ∴ ， 解得， 的平方根为． 13. 若分式方程有增根，则k的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ， 因为方程有增根， 所以， 所以， 所以把代入整式方程，得， 解得， 故答案为：1． 14. 将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，可得，依次计算角度、、、、，即可得出结果． 【详解】解：过点作，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 按要求解答： （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】按照解分式方程的步骤进行即可． 【详解】解：两边同乘得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 所以原方程的解为． 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中． （1）把进行平移，得到，使点A与对应，请在网格中画出； （2）线段与线段的关系是：______； （3）求出△ABC的面积． 【答案】（1）答案见解析； （2）平行且相等； （3）3.5 【解析】 【分析】（1）根据图形可得，点A向右平移5个单位，向上平移4个单位，分别将B、C按照点A平移的路径进行平移，然后顺次连接； （2）根据平移可得线段AA′与线段CC′相互平行； （3）用△ABC所在矩形的面积减去三个小三角形的面积即可得解． 【小问1详解】 解：所作图形如图所示： 【小问2详解】 线段AA′与线段CC′相互平行且相等， 故答案为：平行且相等， 【小问3详解】 ． 【点睛】本题考查了平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构做出对应点的位置，然后顺次连接． 18. 先化简：，并在，，1，2中选一个合适的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的减法，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵当a的值为，1，2时，原分式无意义， ∴， ∴原式． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： （1）写出第6个等式∶ ； （2）写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 【答案】（1） （2）第n个等式为，见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索、分式的混合运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察各等式即可得出第个等式； （2）观察各等式即可得出第个等式，将左边式子括号内先通分，再约分进行化简，右边式子进行通分化简，比较左右两边是否相等即可得解． 【小问1详解】 解：观察各等式可得，第个等式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：第n个等式为， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原等式成立． 20. 如图，在三角形中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由推出，再根据平行线的性质得到，结合推出，从而证明． （2）先由，得．进而求得．再根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴−−． ∵， ∴， ∵， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．利用上述规定可说明等式成立．说明如下： 设，，则，． 所以，所以， 即． （1）根据上述规定，填空： ①________； ②________； ③________； ④________； （2）记，，．说明：． 【答案】（1）①4；②4；③0；④ （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意及零次幂，负指数幂可进行求解； （2）根据题意易得，，，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：①∵，∴； ②∵，∴； ③∵，∴； ④∵，∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 某体育用品店借抚州赣超联赛热潮，购进A、B两款抚州本土球队球迷装备．相关信息如下： 信息1：每个A款球迷装备的进价比每个B款多元； 信息2：该店用元购进A款装备的数量，是用元购进B款装备数量的一半． （1）求每个A款、B款球迷装备的进价分别是多少元？ （2）厂家联动赣超推出优惠：购买1个A款装备，赠送1个B款装备．若B款装备的总数量，是A款数量的倍少个，且购买总费用不超过元，求该店最多可购买多少个A款装备？ 【答案】（1）每个A款装备的进价为元，每个B款装备的进价为元； （2）该店最多可购买个A款装备． 【解析】 【分析】（1）设每个B款装备进价为元，则每个A款装备的进价为元，根据信息2列出方程，解方程即可求解； （2）设该体育用品商店购买个A款装备，则有个B款装备，根据题目要求列出不等式组，即可求得的取值范围，这里注意根据题目信息B款装备总数量应该不少于购买的A款装备数量． 【小问1详解】 解：设每个B款装备进价为元，则每个A款装备的进价为元， 根据题意得，解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意， 则（元/个）， 答：每个A款装备的进价为元，每个B款装备的进价为元； 【小问2详解】 解：设该体育用品商店购买个A款装备，则有个B款装备， 根据题意得，解得， 答：该体育用品商店最多可购买个A款装备． 八、（本题满分14分） 23. 在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． （1）如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； （2）如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； （3）将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：， 理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：①当点在直线的上方时，；②当点在直线与直线之间时，；③当点在直线的下方时，． 理由如下： ①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作． ∵，， ， ，， ， ； ②当点在直线与直线之间时，由（2）可知，； ③当点在直线的下方时，过点作． ∵，， ， ，， ， ． 综上所述，①当点在直线的上方时，；②当点在直线与直线之间时，；③当点在直线的下方时，． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可知，结合，可求出的度数； （2）过点作，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可； （3）分三种情形：①如图3−1中，当点F在直线的上方时，②当点F在直线与直线之间时，．③当点F在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期芙蓉集团七年级期末练习卷 一、单选题（本题共10小题，每题4分，满分40分） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据0.000000014可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（ ） A. B. C. D. 6. 若且，则的结果为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 7. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ）． A. B. C. D. 9. 已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，截于点A、B，①若平分，则；②若平分，则；③若，则平分；④若，平分，则平分．则上述结论正确的是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 当分式有意义时，满足的条件是________． 12. 若，则的平方根是__________． 13. 若分式方程有增根，则k的值是________． 14. 将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 按要求解答： （1）计算：； （2）解不等式：． 16. 解方程： 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中． （1）把进行平移，得到，使点A与对应，请在网格中画出； （2）线段与线段的关系是：______； （3）求出△ABC的面积． 18. 先化简：，并在，，1，2中选一个合适的值代入求值． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： （1）写出第6个等式∶ ； （2）写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 20. 如图，在三角形中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 六、（本题满分12分） 21. 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．利用上述规定可说明等式成立．说明如下： 设，，则，． 所以，所以， 即． （1）根据上述规定，填空： ①________； ②________； ③________； ④________； （2）记，，．说明：． 七、（本题满分12分） 22. 某体育用品店借抚州赣超联赛热潮，购进A、B两款抚州本土球队球迷装备．相关信息如下： 信息1：每个A款球迷装备的进价比每个B款多元； 信息2：该店用元购进A款装备的数量，是用元购进B款装备数量的一半． （1）求每个A款、B款球迷装备的进价分别是多少元？ （2）厂家联动赣超推出优惠：购买1个A款装备，赠送1个B款装备．若B款装备的总数量，是A款数量的倍少个，且购买总费用不超过元，求该店最多可购买多少个A款装备？ 八、（本题满分14分） 23. 在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． （1）如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； （2）如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； （3）将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $