第七章 第2节 与球有关的切、接问题 训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦球与多面体、旋转体切接问题，通过补形、轴截面转化等方法构建空间几何直观，系统训练空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础几何体|4题|正方体/圆柱外接球用体对角线、勾股定理|从棱长与直径关系切入，建立空间量的关联| |旋转体|2题|圆台切接问题转化为轴截面直角三角形|利用母线、半径、高的几何关系推导| |多面体|6题|三棱锥补成长方体、正四面体等体积法求内切球|从线面垂直、面面垂直构建外接球模型，体现空间转化思想| |综合应用|2题|四棱台切球体积关系、多球叠放空隙计算|整合表面积与体积公式，强化复杂空间问题的推理能力|

第2节　与球有关的切、接问题 一、单选题 1.棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为(　　) A.1 B. C. D.2 2.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) A.π B.3π C.6π D.8π 3.正方体的外接球与内切球的表面积比值为 (　　) A. B.3 C.3 D. 4.已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，体积为，则该圆台外接球的表面积为(　　) A.π B.25π C.27π D.100π 5.(2026·绵阳模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA⊥CB，AB＝CC1＝2，该三棱柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为(　　) A. B. C.8π D. 6.(2026·济南调研)若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为S1，S2，侧面积为S，则(　　) A.S2＝S1S2 B.S＝S1＋S2 C. D.S＝2 7.已知三棱锥S－ABC，SA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，若三棱锥外接球的表面积为28π，则此三棱锥的体积为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 8.(2026·广州调研)在三棱锥P－ABC中，△PAB，△ABC均为边长为2的等边三角形，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的外接球表面积为(　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.(2026·昆明诊断)已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有(　　) A.圆台的母线长为4 B.圆台的体积为26π C.圆台的表面积为26π D.球O的表面积为12π 10.设棱长为 a的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为h，r，R，则下列结论正确的是(　　) A.h＝R＋r B.R＝3r C.r＝a D.R＝a 11.(2026·兰州诊断)如图所示，长方体ABCD－EFGH的表面积为6，AE＝1，则 (　　) A.该长方体不可能为正方体 B.该长方体体积的最大值为1 C.若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥H－AFC的体积为 D.该长方体外接球表面积的最小值为3π 三、填空题 12.在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.  13.把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为　　　　 .  14.在三棱锥A－BCD中，∠ABD＝∠ABC＝60°，BC＝BD＝3，AB＝6，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为　　　　.   第2节　与球有关的切、接问题 一、单选题 1.棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　C 解析　因正方体的体对角线长l＝×2＝2， 所以正方体的外接球的直径2R＝2，则R＝. 2.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) A.π B.3π C.6π D.8π 答案　C 解析　由题可知该圆柱底面直径为 ＝2， 所以底面半径为， 所以圆柱体积为π×()2×2＝6π. 3.正方体的外接球与内切球的表面积比值为 (　　) A. B.3 C.3 D. 答案　C 解析　设正方体的棱长为a，其外接球的半径为R，内切球的半径为r， 则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长， 即2R＝a，所以R＝， 正方体内切球的直径为正方体的棱长， 即2r＝a，即r＝，所以， 所以正方体的外接球与内切球的表面积比值为＝3. 4.已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，体积为，则该圆台外接球的表面积为(　　) A.π B.25π C.27π D.100π 答案　D 解析　设圆台的高为h， 则(32＋3×4＋42)h＝， 解得h＝1， 设圆台外接球半径为R，则R≥4，球心到圆台上、下底面圆距离分别为>1，， 因此＝1，或＝1(舍去)， 解得R2＝25， 所以该圆台外接球的表面积为4πR2＝100π. 5.(2026·绵阳模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA⊥CB，AB＝CC1＝2，该三棱柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为(　　) A. B. C.8π D. 答案　A 解析　如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体， 则长方体的体对角线|A1B|＝＝2，为该三棱柱外接球的直径， 所以其半径为R＝， 球O的体积为V＝πR3＝π×2π，故选A. 6.(2026·济南调研)若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为S1，S2，侧面积为S，则(　　) A.S2＝S1S2 B.S＝S1＋S2 C. D.S＝2 答案　C 解析　设小球半径为R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，所以四棱台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，其高都是球的半径R，且棱台的高是2R， 则四棱台的体积为V＝RS1＋RS2＋RS＝(S1＋S2＋)·2R. 得S＝S1＋S2＋2＝()2， 即， 故选C. 7.已知三棱锥S－ABC，SA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，若三棱锥外接球的表面积为28π，则此三棱锥的体积为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　因为AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， 所以∠ABC＝∠ACB＝30°， S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×2×2×， 设△ABC外接圆的半径为r， 则2r＝＝4，即r＝2， 设三棱锥外接球的半径为R，4πR2＝28π， 解得R＝(负值舍去); 因为SA⊥平面ABC， 把三棱锥S－ABC补成直三棱柱(图略)， 可得R2＝r2＋， 即7＝4＋， 解得SA＝2(负值舍去)， 所以V三棱锥S－ABC＝S△ABC·SA＝××2＝2. 8.(2026·广州调研)在三棱锥P－ABC中，△PAB，△ABC均为边长为2的等边三角形，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的外接球表面积为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，取AB的中点E，连接PE，CE， 则PE⊥AB，CE⊥AB， 由平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，CE⊂平面ABC， 得PE⊥平面ABC，CE⊥平面PAB. 取△PAB的外心O1，△ABC的外心O2， 分别过O1，O2作平面PAB、平面ABC的垂线交于点O，O即为球心，连接OC， 于是OO1∥CE，OO2∥PE，四边形OO1EO2为平行四边形，CO2＝，OO2＝O1E＝， 因此三棱锥P－ABC的外接球半径R满足R2＝OC2＝C＋O， 所以三棱锥P－ABC的外接球表面积 S＝4πR2＝. 二、多选题 9.(2026·昆明诊断)已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有(　　) A.圆台的母线长为4 B.圆台的体积为26π C.圆台的表面积为26π D.球O的表面积为12π 答案　ACD 解析　画出圆台的轴截面，如图所示. 则四边形ABCD是等腰梯形，且DN＝1，AM＝3，内切圆圆心即球心O， 所以圆台的母线长为AD＝AE＋ED＝AM＋DN＝3＋1＝4，A正确; 连接OA，OD和OE，则△AOD是直角三角形，且OE2＝AE·ED＝3， 所以球的半径r＝OE＝， 所以圆台的体积V＝π(12＋32＋)×2π，故B错误; 圆台的表面积S＝π×(12＋32)＋π×(1＋3)×4＝26π，故C正确; 球O的表面积S'＝4π×()2＝12π，故D正确. 10.设棱长为 a的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为h，r，R，则下列结论正确的是(　　) A.h＝R＋r B.R＝3r C.r＝a D.R＝a 答案　AB 解析　对于正四面体ABCD，其棱长为a，过A作AH⊥平面BCD， 显然H为平面BCD的中心，连接HD，如图所示. 在△AHD中，HD＝×a＝a， 故可得h＝AH＝a; 不妨设内切球球心为O， 连接OA，OB，OC，OD， 又正四面体A－BCD的表面积S＝4×a2＝a2， 由等体积法可得VA－BCD＝rS， 即×a2×a＝r×a2， 解得r＝a; 在棱长为a的 正方体中，其外接球即为正四面体ABCD的外接球， 故R＝×a＝a; 对于A，R＋r＝a＋a＝a＝h，故A正确; 对于B，R＝a＝3×a＝3r，故B正确; 对于C，D，显然错误. 11.(2026·兰州诊断)如图所示，长方体ABCD－EFGH的表面积为6，AE＝1，则 (　　) A.该长方体不可能为正方体 B.该长方体体积的最大值为1 C.若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥H－AFC的体积为 D.该长方体外接球表面积的最小值为3π 答案　BD 解析　对于A，当长方体的所有棱长都为1时，表面积为6，长方体为正方体，错误; 对于B，设AD＝a，AB＝b， 则2(ab＋a＋b)＝6，ab＋a＋b＝3， V长方体＝ab·1＝ab＝3－(a＋b)≤3－2， 解得0<ab≤1， 当且仅当a＝b时取“＝”，故长方体体积的最大值为1，正确; 对于C，当长方体底面的一条边长为2时，可得与其相邻的边长为， VH－AFC＝V长方体－4VF－ABC ＝2××1－4××2×××1＝，错误; 对于D，设AD＝a，AB＝b. 长方体外接球的直径为其体对角线，长为， S球＝4πR2＝4π ＝π(a2＋b2＋1)， 因为ab＋a＋b＝3，所以a＋b＝3－ab， 则y＝a2＋b2＋1＝(a＋b)2－2ab＋1 ＝(3－ab)2－2ab＋1＝(ab)2－8ab＋10， ＝(ab－4)2－6， 又0<ab≤1，所以当ab＝1时，ymin＝3， 所以外接球表面积的最小值为3π，正确. 三、填空题 12.在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.  答案　20π 解析　根据题意得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内，如图所示， 该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点， 即外接球的半径为长方体体对角线长的一半， 此时AC为长方体的体对角线，即为外接球的直径， 所以该球的表面积 S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π. 13.把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为　　　　 .  答案　－2 解析　如图，点E为下层三个球中的一个球的球心，连接各球的球心，可得到棱长为4的正四面体，这个正四面体的外接球的球心O就是放入空隙的最大半径的小球的球心， 连接OE，OE与球E的交点为K，正四面体的外接球半径R＝， 即OE＝， 故OK＝－2， 所以所求的最大半径为－2. 14.在三棱锥A－BCD中，∠ABD＝∠ABC＝60°，BC＝BD＝3，AB＝6，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为　　　　.   答案　72π 解析　由题意知∠ABD＝∠ABC＝60°，BC＝BD＝3，AB＝6， 在△ABC中，由余弦定理可得 AC＝＝＝3， 所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC， 在△ABD中，由余弦定理可得 AD＝＝＝3， 所以AD2＋BD2＝AB2，则AD⊥BD， 取AB的中点O，则在Rt△ABC和Rt△ABD中，OA＝OB＝OC＝OD， 则三棱锥A－BCD外接球的球心为O，其半径为＝3， 所以三棱锥A－BCD外接球的表面积为4π·＝4π×(3)2＝72π. 学科网（北京）股份有限公司 $